安徽省阜阳市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

阜阳市2020-2021学年高一下学期期末考试
数 学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：人教A版（北师大版）必修第一册、第二册。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合false，false，则false中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设向量false，false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某工厂共有980名工人，其中20到30岁的工人有400名，30到40岁的工人有300名，其余工人均在40岁以上．为了解该工厂的健康情况，按照20到30岁，30到40岁，40岁以上三个年龄段进行分层，在各层中按比例分配样本，如果总样本量为196，那么应在40岁以上的工人中应抽取（ ）
A．48名 B．52名 C．56名 D．60名
4．已知false的共轭复数false，则复数false的虚部为（ ）
А．false B．1 C．false D．false
5．若false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．下列函数在false上单调递增且存在零点的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
7．某日下午，甲、乙两人要乘坐火车从合肥站到达阜阳站，他们都从下表中的四个车次中等可能性地选择一个，当日这四个车次都准时出发且准点到达，这四个车次的票都能买到，则甲、乙两人都能在当天18:10之前到达阜阳站的概率为（ ）
车次
发站/到站
发/到时间
运行时间
K892
合肥
阜阳
14:20
16:39
2小时19分
K8514
合肥
阜阳
14:49
17:10
2小时21分
K1396
合肥
阜阳
15:25
18:05
2小时40分
K8512
合肥
阜阳
15:43
18:12
2小时29分
A．false B．false C．false D．false
8．北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为false级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向false处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（ ）
（参考数据：false，false，false）
A．false B．false C．false D．false
9．若false，false，false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．在正方体false中，点false为线段false上一点，当false取得最小值时，直线false与平面false所成角的正切值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．现有四个命题：
①false，false；
②false，false；
③函数false的图象存在对称中心；
④函数函数false的最小为false．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．在底面是正三角形的三棱锥false中，false底面false，且false，false．以false为球心的球false的表面积为false，则球false的球面与三棱锥false的表面的交线总长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知复数false满足false，则false在复平面内对应的点形成区域的面积为▲．
14．已知false，false，false是三个不同的点，false是一个平面，现有如下四个命题：
①false，false，false三点确定一个平面； ②若false，false，则直线false与false相交；
③若false，false到false的距离均为1，则false； ④若false，false，则false．
其中所有真命题的序号是▲．
15．筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为false，筒车的半径为false，筒车转动的周期为false，如图2所示，盛水桶false在false处距水面的距离为false．false后盛水桶false在false处距水面的距离为false，若false，则直线false与水面的夹角为▲．
16．已知直线false与函数false的图象交于false，false两点，则false，false两点间距离最小值为▲，此时false▲（本题第一空3分，第二空2分）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在平行四边形false中，false．
（1）用false，false表示false；
（2）若false，false，且false，求false．
18．（12分）
2020年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得当地果农积压的许多苹果有了销路．为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据按照false，false，false，false分成4组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计这100名果农苹果销售量的平均数；
（2）根据题中的频率分布直方图，估计销售量样本数据的80%分位数（结果精确到0.1）；
（3）假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润．
19．（12分）
已知false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false．
（1）写出余弦定理（只写出一个公式即可），并加以证明；
（2）若锐角false的面积为false，且false，false，求false的周长．
20．（12分）
如图，在四棱锥false中，底面false为正方形，false底面false，false，false，false分别为棱false，false的中点，false为棱false上的的动点．
（1）证明：false平面false；
（2）试问平面false与平面false是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．
21．（12分）
已知函数false的部分图象如图所示．
（1）求false的解析式；
（2）设函数false，若在false内存在唯一的false，使得false对false恒成立，求false的取值范围．
22．（12分）
已知函数false与函数函数false的图象关于直线false对称，函数false的定义域为为false．
（1）求false的值域；
（2）若存在false，使得false成立，求false的取值范围；
（3）已知函数false的图象关于点false中心对称的充要条件是函数false为奇函数．利用上述结论，求函数false的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
阜阳市2020-2021学年高一下学期期末考试
数学参考答案
1．B 【解析】本题考查集合的运算与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力．
因为false，false，所以false，故false中元素的的个数为3．
2．B 【解析】本题考查向量的数量积与常用逻辑用语，考查运算求解能力与推理论证能力．
因为false，所以false，即false，又false，
所以“false”是“false”的必要不充分条件．
3．C 【解析】本题考查分层抽样，考查数据处理能力．
因为在40岁以上的的工人有false名，所以应在40岁以上的工人中抽取false名．
4．D 【解析】本题考查复数的四则运算与共轭复数、复数的虚部，考查运算求解能力．
因为false，所以false，false，则false的虚部为false．
5．A 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．
因为false，所以false，故false．
6．D 【解析】本题考查函数的单调性与零点问题，考查推理论证能力．
因为false与false在false上有增有减，所以排除A，C．
因为false为增函数，但无零点，所以排除B．
而false在false上单调递增，且存在零点，故选D．
7．C 【解析】本题考查古典概型的应用，考查推理论证能力．
甲和乙选择车次的所有情况为false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，共16种．
若甲、乙两人都能在当天下午6点10分之前到阜阳站，则甲、乙都不能乘坐false，所以有9种情况，故所求概率为false．
8．A 【解析】本题考查解三角形的应用，考查运算求解能力．
如图所示，由题意可得false，false，false，
由正弦定理可得false，即false，
解得false．
9．D 【解析】本题考查对数大小的比较，考查推理论证能力．
因为false．
所以false．
10．C 【解析】本题考查线面角，考查运算求解能力与空间想象能力．
将正方体中的正false沿false翻折至与点false共面，如图所示，因为false，所以当false为线段false的中点时，false最小值．
连接false，字正方体false中，false平面false，可得false，所以直线false与平面false所成角为false．设正方体false的棱长为false，则false，又点false为false的中点，所以false，false．
11．B 【解析】本题考查基本不等式的应用与方程有解、函数的奇偶性等问题，考查推理论证能力．
因为false在false上单调递增，且false，false，
所以false，false．当false时，false，false，false．
因为false，所以false为奇函数， 图象关于原点对称．
函数false的最小正周期false．故①③为真命题．
12．B 【解析】本题考查球体与三棱锥的综合，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
如图取false的中点false，连接false，false，因为false底面false，所以false．
因为false，所以false．
易证false，所以false，又false，则false．
因为球false的表面积为false，所以球false的半径为2，
故球false的球面与三棱锥false的表面的的交线总长为false．
13．false 【解析】本题考查复平面及复数的模，考查抽象概括能力与运算求解能力．
false的几何意义为false对应的的点到原点的距离false，故所求区域面积false．
14．②④ 【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力．
已知①为假命题，②，④为真命题．若false，false到false的距离均为1，则false或false，false在false的两侧，故③是假命题．
15．false 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算与数学建模的核心素养．
如图，过false作直线false与水面平行，过false作false于false，过false作false于false．
设false，false，false，
则false，false，false，
所以false，整理得false，则false，即false．
16．false；1 【解析】本题考查函数的综合，考查直观想象、数学运算的核心素养以及函数与方程的数学思想．
不妨假设false，则由false，得false，false，
则false，false两点间的距离false，
当且仅当当且仅当false，即false时，等号成立．
17．解：（1）false．
（2）因为false，
所以false
false．
18．解：（1）设这100名果农苹果销售量的平均数为false百千克，
则false，
故这100名果农苹果销售量的平均数为1.4万千克．
（2）因为false，false，
所以80%分位数在第4组内，且80%分位数为false．
（3）销售量在false的每位果农的利润为false万元；
销售量在false的每位果农的利润为false万元；
销售量在false的每位果农的利润为false万元；
销售量在false的每位果农的利润为false万元．
因为false，false，false，false这4组的人数分别为5，20，45，30，
所以这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润约为falsefalse万元．
19．解：（1）余弦定理：false．
证明如下：
设false，false，false，则false，
则false，
即false，
则false，即false．
（2）因为false，所以false，
因为false的面积为false，所以false，
则false，又false为锐角三角形，所以false．
所以false，
故false的周长为10．
20．（1）证明：如图，取false的中点false，连接false，false．
因为false为棱false的中点，所以false，且false．
又false为棱false的中点，且底面false为正方形，所以所以false，且false，
所以false，且false，所以四边形false为平行四边形，
则false，又false平面false，false平面false，
所以false平面false．
（2）解：平面false与平面false垂直．
证明如下：
因为false为棱false的早点，false，所以false．
因为false底面false，所以false，
又false，false，所以false平面false．
因为false平面false，所以false．
因为false，所以false平面false．
因为false平面false，所以平面false平面false．
21．解：（1）根据图象可得false，
所以所以false．
因为因为false，false，所以false．
又因为图象过点false，所以false．
因为false，
所以false，false，即false，false，
又因为false，所以false．
故false．
（2）因为false，
所以false．
依题意可得false，
又false，所以false，
解得false．
22．解：（1）因为函数false与函数false的图象关于直线false对称，
所以false，
则false．
由false得false，故false．
因为false，且false，
所以false的值域为false．
（2）false，即false，则false．
因为存在false，使得false成立，
所以false．
而false，
所以当false，即false时，false取得最小值false．
故false．
（3）函数false图象的对称中心为false．