浙江省东阳市南马高中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题

一、选择题（共50分，每小题5分。）
1．若，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．化简（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间内单调递增
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象是关于点成中心对称的图形
D．函数的图象是关于直线成轴对称的图形
4．设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．在中，内角，，的对边分别是，，若，
，则（ ）
A． B． C． D．
6．等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前11项和
为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列为等差数列，若，且它们的前项和有最大值，则使
的的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
8．设变量，满足，则的最大值
和最小值分别为（ ）
A．1，－1
B．2，－2
C．1，－2
D．2，－1
9．若，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所
示，则该几何体的俯视图为（ ）
二、填空题（每题4分，共28分）
11．已知角的终边落在直线（）上，则 。
12．在中，，，则的最大值为 。
13．中，，，，则符合条件的三角形有 个。
14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为的等差数列，则的
面积为 。
15．在等差数列中，，则 。
16．已知，，且，，成等比数列，则的最小值 。
17．下面关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。
三、解答题（共72分）
18．已知函数，且，。
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递减区间；
（3）函数的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？
20．已知数列满足：，（）。数列满足
（）。
（1）若是等差数列，且，求的值及的通项公式；
（2）若是等比数列，求的前项和。
21．设，求在上的最大值和最小值。
22．如图在三棱柱与四棱锥的组合体中，已知平面，四边形是平行四边形，，，，。
（1）设是线段的中点，求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成的角。
答案
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
（2）由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
（3）∵f(x)＝sin，
∴奇函数y＝sin 2x的图象左移个单位，
即得到f(x)的图象，
故函数f(x)的图象右移个单位后对应的函数成为奇函数．
19．解：（1）法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得，(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，
即sinB(2cosA－1)＝0.
∵0∴sinB≠0，∴cosA＝.
∵0法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由余弦定理得，
(2b－c)·－a·＝0，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝.
∵0（2）∵S△ABC＝bcsinA＝，
即bcsin＝，
∴bc＝3，①
∵a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴b2＋c2＝6，②
由①②得b＝c＝，
∴△ABC为等边三角形．
20．解：（1）∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＝a，
∴an＝1＋(n－1)(a－1)．
又∵b3＝12，∴a3a4＝12，
即(2a－1)(3a－2)＝12，解得a＝2或a＝－.
∵a>0，∴a＝2.∴an＝n.
（2）∵数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a>0)，
∴an＝an－1.∴bn＝anan＋1＝a2n－1.
∵＝a2，
∴数列{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列．
当a＝1时，Sn＝n；
当a≠1时，Sn＝＝
21．最大值0
22．解：（1）证明：取B1D1的中点E，连结AE，C1E，OA，OC′，
则A，O，C共线，且C1E＝OA，
因为BCD－B1C1D1为三棱柱，
所以平面BCD∥平面B1C1D1，
故C1E∥OA，所以C1EAO为平行四边形，从而C1O∥EA.
又因为C1O 平面AB1D1，EA 平面AB1D1，
所以C1O∥平面AB1D1.
（2）过B1在平面B1C1D1内作B1A1∥C1D1，使B1A1＝C1D1.
连结A1D1，AA1.过B1作A1D1的垂线，垂足为F，连接AF，则B1F⊥平面ADD1，所以∠B1AF为AB1与平面ADD1所成的角．
在Rt△A1B1F中，B1F＝A1B1·sin 60°＝.
在Rt△AB1F中，AB1＝，
故sin∠B1AF＝＝，所以∠B1AF＝45°.
即直线AB1与平面ADD1所成角的大小为45°.