浙江省东阳市南马高中2011-2012学年高二下学期期中考试数学（文）试题

一、选择题
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真
命题的是（ ）
① ②
③ ④A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
4．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则下列判
断错误的是（ ）
A．与垂直
B．与垂直
C．与平行
D．与平行
5．函数y＝的图象大致是（ ）
6．已知定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，则使不等式f(2x－1)≤f(x－2)
成立的实数x的取值范围是（ ）
A．[－1,1] B．(－∞，1] C．[0,1] D．[－1，＋∞)
7．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．若是方程的解，则属于区间（ ）
A．(,1) B．(,) C．(,) D．(0,)
9．点(0，1)到直线2x—y+2=0的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．设定义在区间上的函数是奇函数（，且），则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．双曲线的焦距是10，则实数m的值为 。
12．已知函数的图象如下所示：
给出下列四个命题：
（1）方程有且仅有6个根 （2）方程有且仅有3个根
（3）方程有且仅有5个根 （4）方程有且仅有4个根
其中正确命题是 。
13．若几何体的三视图如图所示，则此几何体的
体积为 。
14．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率
。
15．曲线在点（0,1）处的切线
方程为 。
16．已知函数 。
17．观察下列等式：
，
，
，
，
………………………
由以上等式推测到一个一般的结论：对于，
。
三、解答题
18．如图，在四棱锥中，底面，，点E在线段AD上，且CE//AB。
（1）求证：CEPAD；
（2）若，AD=3，CD=，，求四棱锥的体积。
19．已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。
（1）求四棱锥P—ABCD的体积；
（2）不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小。
20．已知抛物线：（），焦点为，直线 交抛物线于
、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，
（1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；
（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。
21．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(2, 0)。
（1）求抛物线C的方程；
（2）过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，
求的取值范围。
22．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx.
（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；
1．A
解析：由log0.5(4x－3)＞0且4x－3＞0得0＜4x－3＜1，＜x＜1.
即函数的定义域是(，1)．
7．B
8．B
9．A
10．B
11．16
12．(1)(3)(4)
13．
14．
15．y=3x+1
16．2
17．
18．
19．
（3）解：
20．20.解：（1）抛物线的焦点，---------------------------------------------------2分
，得。----------------------------------6分
（或利用得
，或（舍去））
（2）联立方程，消去得，设，
则（），-----------------------------------------------------------------------8分
是线段的中点，，即，
，-----------------------------------------------------------------------------------10分
得，
若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，-----11分
即，结合（）化简得，
即，或（舍去），
存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形。----------------------------15分
21．解： ．解：（1）设抛物线方程为，则，
所以，抛物线的方程是． …………………4分
（2）直线的方程是，联立消去得，…6分
显然，由，得． ……………8分
由韦达定理得，，
所以，则中点坐标是，……10分
由 可得 ，
所以，，令，则，其中，…………12分
因为，所以函数是在上增函数．
所以，的取值范围是． ……………………15分
22．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－3＋＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
x (0，) (，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以函数f(x)的单调增区间为(0，)，(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝2x－(2a＋1)＋＝＝，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝.
当a≤时，f(x)在[，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增；
当综上，当a≤1时，f(x)min＝f(1)＝－2a；
当1x (1，a) a (a，e)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? a(lna－a－1) ?
所以f(x)min＝f(a)＝a(lna－a－1)；
当a≥e时，f(x)在(0，]，[a，＋∞)上单调增，在(，a)上单调减，所以在[1，e]上单调减．
所以f(x)min＝f(e)＝e2－(2a＋1)e＋a.
（第13题）