浙江省东阳市南马高中2011-2012学年高二下学期期中考试数学（理）试题

一、选择题
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真
命题的是（ ）
① ②
③ ④A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
4．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则下列判
断错误的是（ ）
A．与垂直
B．与垂直
C．与平行
D．与平行
5．函数y＝的图象大致是（ ）
6．已知定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，则使不等式f(2x－1)≤f(x－2)
成立的实数x的取值范围是（ ）
A．[－1,1] B．(－∞，1] C．[0,1] D．[－1，＋∞)
7．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．若是方程的解，则属于区间（ ）
A．(,1) B．(,) C．(,) D．(0,)
9．点(0，1)到直线2x—y+2=0的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．双曲线的焦距是10，则实数m的值为 。
12．已知函数的图象如下所示：
给出下列四个命题：
（1）方程有且仅有6个根
（2）方程有且仅有3个根
（3）方程有且仅有5个根
（4）方程有且仅有4个根
其中正确命题是 。
13．若几何体的三视图如图所示，则此几何体的
体积为 。
14．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率
。
15．曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
16．已知函数 。
17．观察下列等式：
，
，
，
，
………………………
由以上等式推测到一个一般的结论：对于，
。
三、解答题
18．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，
（1）求证：平面平面
（2）若，求与平面所成角的正弦值。
19．已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。
（1）求四棱锥P—ABCD的体积；
（2）不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小。
20．已知抛物线：（），焦点为，直线 交抛物线于
、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，
（1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；
（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。
21．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(2, 0)。
（1）求抛物线C的方程；
（2）过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，
求的取值范围。
22．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx.
（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；
6．A
解析：由f(x)在R上为偶函数得f(2x－1)＝f(|2x－1|)，f(x－2)＝f(|x－2|)，
所以原不等式等价于f(|2x－1|)≤f(|x－2|)．
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以|2x－1|≤|x－2|，解得－1≤x≤1.
7. B 8．B 9． A 10．B
11. 16 12．(1)(3)(4) 13． 14. 15．y=3x+1
16. 2 17．
18．（1）得
又
（2）解法一：作,垂足为D,连CD
,
设B点到面的投影为H
由于,有
解得
解法二：B点到面的投影H即落在线段CD上
由可得
解法三：如图建立坐标系，可解得面的一个法向量
设所求线面角为，则
19.
（3）解：
20.解：（1）抛物线的焦点，---------------------------------------------------2分
，得。----------------------------------6分
（或利用得
，或（舍去））
（2）联立方程，消去得，设，
则（），-----------------------------------------------------------------------8分
是线段的中点，，即，
，-----------------------------------------------------------------------------------10分
得，
若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，-----11分
即，结合（）化简得，
即，或（舍去），
存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形。----------------------------15分
21.解：（1）设抛物线方程为，则，
所以，抛物线的方程是． …………………4分
（2）直线的方程是，联立消去得，…6分
显然，由，得． ……………8分
由韦达定理得，，
所以，则中点坐标是，……10分
由 可得 ，
所以，，令，则，其中，…………12分
因为，所以函数是在上增函数．
所以，的取值范围是． ……………………15分
22．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－3＋＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
x (0，) (，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以函数f(x)的单调增区间为(0，)，(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝2x－(2a＋1)＋＝＝，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝.
当a≤时，f(x)在[，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增；
当综上，当a≤1时，f(x)min＝f(1)＝－2a；
（第13题）
D