海南省部分学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

1266190011976100海南省部分学校2020—2021学年第二学期高二期末考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false，false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.若false，则false（ ）
A.1 B.false C.3 D.false
3.随机变量false的分布列如下（false为常数）；
false
0
1
2
false
false
false
0.3
则数学期望false（ ）
A.0.6 B.0.9 C.1 D.1.2
4.false的展开式中有常数项，则false不可能为（ ）
A.6 B.8 C.9 D.12
5.已知点false，false，点false在false轴上，则false（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.直线false是曲线false的一条切线，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.从4名男教师和2名女教师中选出3名教师，分配到3个班担任班主任（每班一个班主任），要求男女教师都要有，则不同的安排方法种数为（ ）
A.96 B.72 C.60 D.16
8.已知函数false满足false，则false的最小值为（ ）
A.-3 B.-2 C.false D.false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知抛物线false焦点与双曲线点false的一个焦点重合，点false在抛物线上，则（ ）
A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线为false
C.false D.点false到抛物线焦点的距离为6
10.某科研机构有甲、乙两个研究所，职工人数分别为100和200.他们的学历结构如图所示：

则下列叙述中正确的是（ ）
A.该科研机构本科学历的职工有140人
B.硕士学历的职工人数，甲研究所比乙研究所多
C.从该科研机构全体职工中随机抽取2人，其中恰有1名博士的概率近似为false
D.从该科研机构其他学历职工中随机抽取2人，这2人来自同一研究所的概率为false
11.已知函数false，则下列论述正确的是（ ）
A.false的最大值为e，最小值为0
B.false是偶函数
C.false是周期函数，且最小正周期为false
D.不等式false的解集为false
12.如图，在三棱锥false中，false平面false，false，false，false，false分别是棱false，false的中点，则（ ）

A.三棱锥false的4个面均为直角三角形
B.平面false将三核锥false分割成的上、下两部分的体积之比为false
C.false是直角三角形
D.点false到平面false的距离为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列false的前四项依次为false，false，false，false，则false的通项公式可能是false______.
14.已知随机变量false，若false在false内取值的概率为0.4，则false在false内取值的概率为______.
15.根据调查，某城市司机的酒后驾驶率为5%，交警部门使用的某型号酒精测试仪的误报率为1%，即饮酒的人有1%的概率被检测出酒精未超标，没饮酒的人有1%的概率被检测出酒精超标，则任意抽取该城市一名司机，其被检测出酒精超标的概率为______.
16.已知false，函数false的图象关于点false对称，则false在false上的值域为______.
四、解答题：共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在正项等比数列false中，false，false.
（Ⅰ）求false的公比false；
（Ⅱ）设false，求数列false的前false项和false.
18.（12分）
在①false，②false这两个条件中任选一个，补充到下面问题中并解答.
已知false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false，false.
（Ⅰ）求false；
（Ⅱ）若______，求false，false，false.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，
19.（12分）
从1990年第四次人口普查开始，我国每隔10年开展一次人口普查，2021年5月11日国家统计局公布了第七次全国人口普查数据情况，其中城镇人口数据变化是社会关注的焦点之一，已知最近几次的人口普查城镇人口比重数据如下表：
第false次人口普查
4
5
6
7
普查年份
1990
2000
2010
2020
城镇人口比重false（%）
26.4
36.2
49.7
63.9
（Ⅰ）通过表中数据发现，人口普查次数false与城镇人口比重false线性相关，请用最小二乘法求出经验回归方程；
（Ⅱ）第七次人口普查全国人口总数约为14.1亿，预计到2030年人口总数在此基础上增长5%，结合（Ⅰ）所得回归方程，预测2030年全国城镇人口数量约为多少亿.（结果精确到0.1）
附：经验回归方程false的斜率与截距的最小二乘估计为：false，false.
参考数据：false，false.
20.（12分）
如图所示，长方体false中，false，点false是棱false的中点，平面false与false交于点false.

（Ⅰ）证明：false平面false；
（Ⅱ）求平面false与平面false夹角的余弦值.
21.（12分）
已知函数false.
（Ⅰ）求false的导函数false的单调区间：
（Ⅱ）若当false时，不等式false恒成立，求实数false的取值范围.
22.（12分）
已知椭圆false的短轴长为false，且离心率为false.
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（Ⅱ）过椭圆false上的点false（不是椭圆顶点）作两条相互垂直的直线，分别与false交于另外两点false，false，直线false经过原点false，直线false与false轴、false轴分别交于false，false两点，求false面积的最大值.
海南省2020—2021学年第二学期高二期末考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案 C
命题意图 本题考查集合的表示与运算.
解析 ∵false，∴false.
2.答案 B
命题意图 本题考查复数的概念与运算.
解析 false，所以false.
3.答案 D
命题意图 本题考查随机变量的分布列与数学期望.
解析 依题得false，解得false.∴X的数学期望为false.
4.答案 B
命题意图 本题考查二项式定理的应用.
解析 false，令false，即false，
∵false，false，∴false一定为3的倍数，∴false不可能是8.
5.答案 A
命题意图 本题考查平面向量的数量积的定义.
解析 由题意可得直线false与false轴交于点false，
所以false.
6.答案 C
命题意图 本题考查导数的几何意义.
解析 设false，则false，令false，得false，
又因为false，所以曲线false在false处的切线为false，
即false.
7.答案 A
命题意图 本题考查排列与组合的应用.
解析 选出3名教师分为两男一女和两女一男两类，共有false种方法，
再分配到3个班，故不同的安排方法种数为false.
8.答案 D
命题意图 本题考查三角函数的性质，三角恒等变换.
解析 依题知false即false解得false
∴false，∴false的最小值为false.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.答案 AC
命题意图 本题考查抛物线与双曲线的基本性质.
解析 由双曲线方程可得false，false，false，离心率为false，A正确；
双曲线的渐近线为false，B错误；
因有相同焦点，可得false，即false，C正确；
可得抛物线false的准线方程为false，则点false到抛物线的准线的距离为false，
到焦点的距离也为4，D错误.
10.答案 AD
命题意图 本题考查统计图表，概率的计算.
解析 该科研机构本科学历的职工人数为false，故A正确；
甲研究所硕士学历的职工人数为false，
乙研究所硕士学历的职工人数为false，故B错误；
由图可知博士学历的比例为false，
故从全体职工中随机抽取2人，博士学历的人数近似服从二项分布false，
恰有1名博士的概率为false，故C错误；
甲研究所其他学历职工有10人，乙研究所其他学历职工有20人，随机抽取2人，
这2人来自同一研究所的概率为false，故D正确.
11.答案 BD
命题意图 本题考查函数的性质.
解析 ∵false，∴false，故A错误；
∵false，∴false是偶函数，故B正确；
∵false，∴false是false的周期，故C错误；
由false，得false，解得false的取值范围是false，故D正确.
12.答案 ACD
命题意图 本题考查空间几何体的结构特征以及有关计算.
解析 因为false平面false，所以false，false都是直角三角形，
同时false，false，所以false平面false，
从而三棱锥false的4个面均为直角三角形，故A正确；
因为false是false的中点，所以false，
又因为false是false的中点，所以三棱锥false的高是三棱锥false的高的一半，
所以三棱锥false的体积是三棱锥false的体积的false，
即平面false将三棱锥false分割成的上、下两部分的体积之比为false，故B错误；
分别在各个面内计算可得false，false，false，false，所以false是直角三角形，故C正确；
点false到平面false的距离等于点false到平面false的距离，
设为false，根据三棱锥false的体积计算公式得false，
可解得false，故D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案 false（或其他合理答案）
命题意图 本题考查数列的概念.
解析 false，false，false，false，故false.
14.答案 0.1
命题意图 本题考查正态分布的性质.
解析 根据正态分布的性质，false，
∴false.
15.答案 0.059
命题意图 本题考查条件概率、全概率公式的应用.
解析 设该司机饮酒为事件false，被酒精测试仪检测出酒精超标为事件false.
则根据全概率公式得该司机被检测出酒精超标的概率为
false.
16.答案 false
命题意图 本题考查三次函数的性质，以及导数的应用.
解析 由false知点false在false的图象上，
根据三次函数图象的特点，知点false和false也在false的图象上，
所以false解得false或false
所以false，false，令false，得false，
当false或false时，false，false单调递增，
当false时，false，false单调递减，
又false，false，
所以false在false上的值域为false.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.命题意图 本题考查等比数列的通项公式与求和.
解析（Ⅰ）由条件得false，得false，
又因为false，即false，所以false.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，false.
所以false是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以false.
18.命题意图 本题考查正弦定理与余弦定理的应用.
解析 （Ⅰ）由余弦定理及条件得false，
因为false，所以false.
因为false，
所以false.
（Ⅱ）选择条件①：
由正弦定理得false，可得false，
所以false，解得false，所以false，
再由条件可得false，所以false.
选择条件②：
因为false，所以false，
由正弦定理得false，所以false，
再由条件可得false，所以false.
19.命题意图 本题考查一元线性回归模型的应用.
解析 （Ⅰ）false，
false，
所以false，
false，
因此经验回归方程为false.
（Ⅱ）2030年全国人口总数预计为false亿，
根据题意，2030年将进行第8次人口普查，
在（Ⅰ）所得的回归方程中，令false，得false，
故预测2030年全国城镇人口数量约为false（亿）.
20.命题意图 本题考查线面平行的证明，利用空间向量计算平面与平面夹角的余弦值.
解析 （Ⅰ）如图，连接false.
在长方体false中，平面false平面false，
∴平面false平面false，平面false平面false，
∴false.
同理false，∴四边形false是平行四边形，
∴false.
又∵false，∴false，∴false，
又∵false，即false，∴四边形false是平行四边形，∴false.
而false平面false，false平面false，
∴false平面false.

（Ⅱ）以false为坐标原点，以false，false，false所在直线分别为false，false，false轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设false，则false，false，false.
∴false，false.
设平面false的法向量为false，
则false令false，得false.
而平面false的一个法向量为false.
设平面false与平面false的夹角为false，
则false.
21.命题意图 本题考查利用导数研究函数性质.
解析 （Ⅰ）false，
设false，则false.
令false，则false，或false，
在false上，false，在false上，false，在false上，false，
∴函数false的单调递增区间为false和false，单调递减区间为false.
（Ⅱ）∵false，∴原不等式可化为false.
设false，则false.
∵false，∴false，
当false时，∵false，∴false在false上单调递增，
∴false，符合题意.
当false时，false，false，
又false在false上单调递增，
∴必存在false，满足false，且在false上，false，在false上，false，
∴false在false上单调递减，在false上单调递增，
∴false，不符合题意.
∴false的取值范围为false.
22.命题意图 本题考查椭圆的标准方程与性质，椭圆与直线的位置关系.
解析 （Ⅰ）由题意知false，所以false，
false，可得false.
所以椭圆false的方程为false.
（Ⅱ）设false，false，则false，
设直线false的方程为false，由题意知false，false，
由false可得false.
所以false，因此false.
因为直线false的斜率false，所以直线false的斜率false，
由题意知false，所以false，
所以直线false的方程为false，
令false，得false，即false，令false，得false.
可得false的面积false.
因为false，所以false，
当且仅当false时等号成立，此时false取得最大值false.
所以false面积的最大值为false.