许昌市
2020—2021学年第二学期高中期末考试
高二文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在“条
形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用
2B
铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=｛x|x-5x+6>0｝,，则
A.(-)
B.(3,+)
C.
D.
1.答案：B
2.
A.2-i
B.-2-i
C．2+i
D．-2+i
2.答案：A
3.
A.
B.
C．
D．
3.答案：C
4．下表是某产品1~4月份销量(单位：百件)的一组数据，分析后可知，销量与月份（）之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则预测5月份的销量是（
）
月份
1
2
3
4
销量
4.5
4
3
2.5
A．
B．
C．
D．
4.答案：A
5.函数在处的切线方程为，则
A.10
B.20
C．30
D．40
5.答案：B
6.函数的最小正周期和最小值分别是
A．和
B．和-2
C．和-
D．和-2
6.答案：C
7.
A.
x
B.
yC．zD．z7.答案：A
8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A.
4
CB.
2
．1
D．
8.答案：
D
9.已知双曲线的实轴长为，直线与双曲线交于、两点，、两点的横坐标之积为，则离心率=
A．
B．
C．
D．
9.答案：D
10．若，则“”的一个充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．且
D．或
10．答案：C
11．在区间上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．答案：C
设所取的两个数分别为、，则事件构成的全部区域为，
区域是边长为的正方形区域，
事件“这两个数之和小于”构成的区域为，
如下图所示：
直线交直线于点，区域表示的是图中阴影部分区域.
则三角形区域是直角边长为的等腰直角三角形，
区域的面积为，
因此，事件“这两个数之和小于”的概率为.
故选：C.
12.数列的首项，且，令，则
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
12.答案：2022
解：因为
所以
所以
且
所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列
所以
即
代入得
设数列的前n项和为
则
则
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“?x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为 [0，4） ．
13.答案：[0，4）
14.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m⊥n,
m⊥α,则n∥α;
②若n⊥β,
m⊥α,
n∥m,
则α∥β；
③若m,n是两条异面直线，m?α，n?β,
m∥β,
n∥α,则α∥β;
④若α⊥β，α∩β=m,
n?β,
n⊥m,则n⊥α.
其中正确的命题序号是
14.答案：②③④
15.已知向量，其中，记，图像关于直线对称，则函数的解析式为
15.答案：；
16.已知抛物线C：的焦点为F，点A、B为抛物线上的两个动点，且，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为
16.答案1
解:如图，过作准线的垂直，垂足分别为，设，，则，
是中点，且都与准线垂直，则它们平行，因此，
，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为1．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若求的值；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且BD＝1，求的最小值．
17.解：（1）由正弦定理，得b2﹣3a2＝c2，即b2＝3a2+c2；
……………2分
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，又，所以2a2＝ac；
……………4分
所以．
………………6分
（2）由题意得S△ABC＝S△ABD+S△DBC，
即，
所以ac＝a+c，即；
………………………7分；
则，
当且仅当c＝2a，即时取等号；
所以4a+c的最小值为9．
………………………12分
18.
（12分）
我市的教育改革轰轰烈烈，走在了全省前列.我市全面推进基础教育三年攻坚，一手抓“项目建设强基础”，一手抓“改革创新破难题”，基础建设、教育质量、师资力量、改革创新、教师待遇等方面取得了长足进步。教育是市民密切关注的热点问题，并且人们对教育都有较高的期望度。某调查机构通过不同途径进行调查，按照随机抽样的方法抽取了210名许昌市民，其中45岁以下的占抽查总人数的.所抽取的210名市民中对教育满意的共130人，其中45岁以上对许昌教育的满意的有50人。
(1)请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有的把握认为市民的满意度与年龄分布有关?
岁以下
岁以上
合计
满意
不满意
合计
210
(2)若按照分层抽样的方法从“感觉不满意”的随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求恰有1人是“45岁以上”的概率.
附：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：(1)
根据题意，完成列联表得：
岁以下
岁以上
合计
满意
80
50
130
不满意
60
20
80
合计
2分
5分
所以没有的把握认为市民的满意度与年龄分布有关?
6分
（2）按照分层抽样可知，45岁以下取3人，记为，，，45岁以上抽取1人，记为，所有基本事件为，，，，，，共6种，9分
其中事件“恰有1人是45岁以上”包含的基本事件为：，，，
共3种，
故恰有1人是“恰有1人是45岁以上”的概率.
12分
19.（12分）
在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，△ABC
是正三角形，AC与
BD的交点为M，又PA=AB=4，AD=CD，CDA=120°，点N是
CD的中点.
（1）求证∶
MN平面PAB;（2）求点N到平面PBC的距离.
19.解：
证明：在正?ABC中，AB=BC
在?ACD中，AD=CD
又∵BD=BD
∴
ΔADB?CDB
∴M为AC的中点
∵点N是CD的中点
∴MN∥AD
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥AD
。。。。。。。。。。。。。2分
∵∠CDA=120
∴∠DAC=30
∵∠BAC=60
∴∠BAD=90
即BA⊥AD
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。4分
∵PA∩AB=A
∴
AD⊥平面PAB
∴
MN⊥平面PAB
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
解：设N到平面PBC的距离为h
在t?PAB中，PA=AB=4,
∴PB=4
在t?PAC中，PA=AC=4,
∴PC=4
在?PBC中，PB=4
PC=4
BC=4
∴=4
又在?ADC中，AC=4
∠CDA=120
AD=CD
∴
CD=
由,且
=××4×=,
PA=4
∴×4×h=××4
解得h=
∴点N到平面PBC的距离为
。。。。。。。。。。。。。。12分
20．(12分)
在中，已知，，交于点，为中点，满足，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程：
（2）过点作直线交曲线于，两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点求出定点，若不过定点说明理由.
20.解:（1）设，，，
因为，所以，即，
整理得：，即.
在中，三顶点不可能共线，所以，
故曲线的方程为.
................................................5分
（2）结论：以为直径的圆经过定点(0,-1)
若直线斜率不存在，可得圆：，
若直线斜率为0，可得圆：，
解得两个圆的公共点为，........7分
若直线斜率存在且不为0时，设其方程为，
，可得，恒成立，设点，，
可得韦达定理：
=
即，以为直径的圆经过定点.
综上所述，以为直径的圆经过定点.
.................................................12分
21.(12分)
已知函数，.
若，求的单调区间；
若在上恒成立，求的取值范围.
解析：（1）若，则，
................................................................................................1分
............2分
令，则，.....................................4分
令，则，.....................................................5分
的单调递增区间为和，单调递减区间为..............6分
注意：单调区间两端处取开或者闭均正确.
（2）........................................................7分
令，，
则.............8分
令，
则.
，，，，
在上单调递减，
.................................................................................................10分
，在上单调递减，
......................................................................................................11分
故............................................................................................................................12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos
θ＝4的曲线C1与曲线C2(
θ为参数)相交于A，B两点，曲线C3是以AB
为直径的圆.
(1)求曲线C3的极坐标方程.
（2）若过点M0(4,3)斜率为的直线l与曲线C3相交于P、Q两点，求线段PQ中点M的坐标和线段M0M的长度.
22.解：
(1)ρcos
θ＝4化为直角坐标方程为x＝4①，
化为普通方程为y2＝x3②，
①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，所以曲线C3的普通方程为③.
故C3的极坐标方程为..............4分
依已知设直线的参数方程为（为参数）并代入③式整理得
由于，所以
所以，=,=,
故M的坐标为（）.....8分
由的几何意义知|M0M|=||=............10分.
23.[选修4-5：不等式选讲](10分)
已知关于实数x的不等式|2x+3|＋|x＋3|（1）求实数t的取值组成的集合M．
（2）已知a，b，c，d且a＋b＝1，cd＝2，求(ac＋bd)(bc＋ad)的最小值．
解:（1）设|2x+3|＋|x＋3|,由于2|x+|＋|x＋3||x+|＋|x＋3||+=|+（当且仅当=—时等号成立），所以函数的最小值为，故只需t+,所以t,M={t|t}.........5分
（2）由（1）知,所以(ac＋bd)·(bc＋ad)＝ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)≥2abcd＋cd·(a2＋b2)＝cd(a2＋2ab+b2)
＝cd(a＋b)2＝2(当且仅当c＝d＝时取等号)．.........10分XCS2020-2021学年第二学期期末教学质量检测
高二文科数学
注意事项
1.答卷前考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形
码粘贴在“条形码粘贴处”
2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改
液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。
选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|lg2x>0},则A∩B=
A.(-∞,-3)
B.(3,+∞)
C.(2,6)
D.(1,+∞)
2.已知复数z满足(1+2i)z=4+3,则x=
A.2-i
B.-2
C.2+i
2+i
3.已知tana=2,则3
sinarcosa=
A
B
10
C
5
4.下表是某产品1-4月份销量(单位:百件)的一组数据,分析后可知,销量y与月份
x(1份的销量是
月份
2
3
4
销量y
4
3
2.5
A.2
B.1.5
C.2.5
D.1.6
5.函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5,则f(4)+f(4)=
A.10
B.20
C.30
D.40
6.函数y=sin2+cos2的最小正周期和最小值分别是
丌和-2
B.2丌和-2
C.4x和-2D.4m和-2
高二文科数学第1页(共4页)
7.若0A
x
B
yD.x8.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为
开始
A.4
S=0
B.2
i=0
C.1
+1
D
a2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为26,直线y=3x与双曲线
9.已知双曲线-2
交于A、B两点,A、B两点的横坐标之积为-9,则离心率e=
/输出S
7
B
C
D.√2C结束
10.若x>0,y>0,则“x+2y=2√2xy”的一个充分不必要条件是
Ax=
y
B.x=2
C.x=2且y=1D.x=y或y
1.在区间[0,1]上任取两个数则这两个数之和小于5的概率是
A.12
B.16
17
D.18声
D
12.数列{an}的首项a1=2,且a11=4a,+6(n∈N),令b=bog2(an+2),则
b1+b2+…+b2
2021
A.2020
B.2021
C.2022
D.202
、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
3.若命题“彐xeR,使得ax2+ax+1≤0”为假命题,则实数a的取值范围为
14.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面a,B,有下列命题:
①若m⊥n,m⊥a,则n∥a;
②若n⊥B,m⊥a,n∥m,则a∥B;
③若m,n是两条异面直线,mCa,nCB,m∥B,n∥a,则a∥B;
④若a⊥B,a∩B=m,nCB,n⊥m,则n⊥a
其中正确的命题序号是
15已知向量a=(3six,ox),b=(cox,oox),其中0八(x)图像关于直线x=3对称,则函数(x)的解析式为
16.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点AB为抛物线上的两个动点,且∠AFB=60°,
过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则4的最小值为
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