华师大版13.5.3角平分线的性质（30张PPT）

(共30张PPT)
　在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
　问题2：在生产生活中，这些方法是否可行呢？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
导入
明德双语学校
张华平
华师大版八年级数学上册
13.5.3角平分线的性质
第1课时
　　
　　
　1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．
　2．探索并证明角的平分线的性质．
　3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
探索并证明角的平分线的性质．
学习目标：
学习重点：
自主探究
请大家认真翻阅课本96页，完成下面题目。
1、角平分线的性质：角平分线上的点_______________________。也可以表示为：如图，若∠1=∠2，且MH⊥PA，MK⊥PB，则____________。
?
2、如图，BM为∠ABC的角平分线，P为BM上一点，PE⊥AB于E，若PE=4cm，画图表示点P到BC的距离，则距离为_________
3、如图，AB∥CD，用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E。（保留作图痕迹，不写作法）
4、如图，∠A=∠C=90°，根据角平分线的性质填空：
1）若∠1=∠2，则_______=__________；
2）若∠3=∠4，则_______=__________.
合作探究
请将各自的学习成果在组内展示，组长记录意见不一致的地方，组内就意见不一致的地方展开讨论，统一意见。确定一名代表作为展示代表，再选出一名代表作为评价代表。
　　下图是一个平分角的仪器，其中AB
=AD，
BC
=DC，将点A
放在角的顶点，AB
和AD
沿着角的两
边放下，沿AC
画一条射线AE，AE
就是∠DAB
的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
教师精讲
1、感悟实践经验，用尺规作角的平分线：
B
D
A
C
E
【解析】
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
所以△ACD≌
△ACB（SSS）
所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
所以AC平分∠DAB（角平分线的定义）
　　从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
利用尺规作角的平分线的具体方法:
A
B
O
M
N
C
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
1/2
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
　你能说明为什么射线OC
是∠AOB
的平分线吗？
A
B
O
M
N
C
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴
△OMC≌
△ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
2.角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1.
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2.
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
教师精讲
　　已知：∠AOC
=
∠BOC，点
P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E．
求证：PD
=PE．
通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
A
B
O
P
C
D
E
证明：∵
PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴
PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠
PDO=
∠
PEO
∠
AOC=
∠
BOC
OP=OP
∴
△
PDO≌
△
PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言：
∵
OC平分∠AOB，
且PD⊥OA，
PE⊥OB
∴
PD=
PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的性质：
O
D
E
P
A
C
B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
练习一
小练笔:
∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，（
）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
如图，
∵
OC是∠AOB的平分线，
又
________________
∴PD=PE
(
)
PD⊥OA，PE⊥OB
B
O
A
C
D
P
E
角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
解
作∠AOB的角平分线，交EF于一点，则这点即为所
求作的点P.（提示：用尺规作图）
2.如图，在直线EF上求作一点P
，使点P到∠AOB两边
的距离相等.
P
练习二
3、如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=________.
练习三
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质：
∵
OC是∠AOB的平分线,
又
PD⊥OA,PE⊥OB
∴
PD=PE
(角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
E
D
O
A
B
P
C
几何语言:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
小结:
反过来，到一个角的两边的距离相等
的点是否一定在这个角的平分线上呢？
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上
拓展:
P
C
证明:
经过点P作射线OC
∵
PD⊥OA，PE⊥OB
　∴
∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
　
PO＝PO
PD=PE
∴
Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
　∴
∠
POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
1、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O，
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
则OD与OE的大小关系是（
）
A、OD
>
OE
B、OD=OE
C、OD
<
OE
D、不能确定
作业:
作业:
2.如图，BD平分∠ABC，∠DAB+∠DCB=180°，
求证：AD=CD.
That`s
all！
Thank
you!