《1.1菱形的性质与判定》同步能力达标训练（附解析）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步能力达标训练（附答案）
1．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（　　）
A．15° B．30° C．40° D．50°
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8．P是AB边上的一点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（　　）
A．8 B．2 C．4 D．2
4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④4S△ADE＝2AB2，其中正确的结论有（　　）（填序号）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①②③④
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
7．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
9．如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（　　）
A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．如图，丝带重叠的部分一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
11．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于　 　．
13．在菱形ABCD中，∠A＝60°，其所对的对角线长为2，则菱形ABCD的面积是　 　．
14．已知菱形的面积为16，一条对角线长为16，那么这个菱形的另一条对角线长为　 　．
15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF．给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC；
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是　 　（只填写序号）．
16．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD其中正确结论的为　 　（请将所有正确的序号都填上）．
17．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝　 　度．
18．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　．
19．如图，四边形ABCD为菱形，顶点A、B在x轴上，AB＝5，点C在第一象限，且菱形ABCD的面积为20，A坐标为（﹣2，0），则顶点C的坐标为　 　．
20．若菱形两条对角线的长的乘积等于48，则这个菱形的面积为　 　．
21．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝　 　．
22．感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF．
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在?ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
参考答案
1．解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴＝8，即ab＝16，
S△AEF＝＝ab＝3．
故选：B．
2．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
∵，
∴△BCF≌△DCF（SAS）
∴∠CBF＝∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°
∴∠ABF＝∠BAF＝50°
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°
∴∠CDF＝30°．
故选：B．
3．解：如图连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝8，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA＝AD＝8，
∵PE＝ED，PF＝FB，
∴EF＝BD＝4．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD．∠A＝∠BCD．
∵∠A＝60°，
∴∠BCD＝60°，△ABD是等边三角形，
∴△BDC是等边三角形．∠ADB＝∠ABD＝60°，
∴∠CDB＝∠CBD＝60°．
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴∠BFD＝∠DEB＝90°，
∴∠GDB＝∠GBD＝30°，
∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，
∴∠BGD＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，故①正确；
在△CDG和△CBG中，
，
∴△CDG≌△CBG（SSS），
∴∠DGC＝∠BGC＝60°．
∴∠GCD＝30°，
∴CG＝2GD＝GD+GD，
∴CG＝DG+BG．故②正确．
∵△GBC为直角三角形，
∴CG＞BC，
∴CG≠BD，
∴△BDF与△CGB不全等．故③错误；
∵S△ADE＝S△ADB＝×AB2，
∴4S△ADE＝AB2，
故④错误
∴正确的有：①②共两个．
故选：B．
5．解：∵ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°＝∠DBC，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB，故①、②正确；
当点E，F分别是AB，AD中点时，
由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE＝∠DBG＝30°，
∴DG＝BG，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG＝∠BCG，
∴CH⊥BD，
即CG⊥BD，故③错误；
∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：B．
6．解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：D．
7．解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，
∴DH＝，
在△ADE和△BDF中
，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为．
故选：D．
8．解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB＝，
同理：BF＝，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝，
∴S菱形ABCD＝AD?BE＝．
故选：C．
9．解：连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE＝DE，EC＝BE，∠AED＝∠BEC＝60°；
∴∠AEC＝∠DEB＝120°；
∴△AEC≌△DEB（SAS）；
∴AC＝BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN＝AC；
同理可证得：NP＝DB，QP＝AC，MQ＝BD；
∴MN＝NP＝PQ＝MQ，
∴四边形NPQM是菱形；
故选：C．
10．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．又AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
11．解：∵菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），
∴CD∥AB，OA＝6，OB＝4，CD＝AB＝AD＝10，
∴OD＝＝＝8，
∴点D（0，8）
∵CD∥AB，CD＝10，
∴点C（﹣10，8）
故答案为：（﹣10，8）．
12．解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
13．解：如图所示：
∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其所对的对角线长为2，
∴AD＝AB，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，
∴△ABD是等边三角形，
则AB＝AD＝2，
故BO＝DO＝1，
则AO＝＝＝，故AC＝2，
则菱形ABCD的面积＝×2×2＝2．
故答案为：2．
14．解：设另一条对角线长为x，
由题意可得：16＝，
解得x＝2，
故答案为2．
15．解：由题意得：BD＝CD，ED＝FD，
∴四边形EBFC是平行四边形，
①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，
②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，
③AB＝AC，
∵，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠BAD＝∠CAD
∴△AEB≌△AEC（SAS），
∴BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
故答案为：③．
16．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴HF＝BD，故④说法正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；
故②说法不正确；
∴AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③说法正确，
故答案为：①③④．
17．解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO＝∠AED＝50°，
CD＝CB，∠BCO＝∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO＝∠CDO＝50°．
故答案为50．
18．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2＝AB2+32，
解得AB＝2，
∴S四边形ABCD＝BC?AE＝2×3＝6．
故答案是：6．
19．解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为E，
∵S菱形ABCD＝20，
∴AB?CE＝20，即5CE＝20，
∴CE＝4，
在Rt△BCE中，BC＝AB＝5，CE＝4，
∴BE＝3，
∴AE＝AB+BE＝5+3＝8．
又∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣2＝6，
∴C（6，4），
故答案为：（6，4）
20．解：∵菱形两条对角线的长的乘积等于48，
∴菱形的面积为：×48＝24，
故答案为：24．
21．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD?AG＝AB?OE+AD?OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
22．解：探究：△ADE和△DBF全等．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵AB＝BD，
∴AB＝AD＝BD．
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB＝∠ADB＝60°．
∴∠EAD＝∠FDB＝120°．
∵AE＝DF，
∴△ADE≌△DBF；
拓展：
∵点O在AD的垂直平分线上，
∴OA＝OD．
∴∠DAO＝∠ADB＝50°．
∴∠EAD＝∠FDB．
∵AE＝DF，AD＝DB，
∴△ADE≌△DBF．
∴∠DEA＝∠AFB＝32°．
∴∠EDA＝18°．
23．（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
24．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG＝，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝＝＝4．
25．（1）解：四边形AEFD能够成为菱形，理由是：
由题意得：AE＝2t，CD＝4t，
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DF＝CD＝×4t＝2t，
∴AE＝DF；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠B＝90°，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AE＝AD，四边形AEFD是菱形，
∵AC＝100，CD＝4t，
∴AD＝100﹣4t，
∴2t＝100﹣4t，
t＝，
∴当t＝时，四边形AEFD能够成为菱形；
（3）分三种情况：
①当∠EDF＝90°时，如图3，
则四边形DFBE为矩形，
∴DF＝BE＝2t，
∵AB＝AC＝50，AE＝2t，
∴2t＝50﹣2t，
t＝，
②当∠DEF＝90°时，如图4，
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
在Rt△ADE中，∠A＝60°，AE＝2t，
∴AD＝t，
∴AC＝AD+CD，
则100＝t+4t，
t＝20，
③当∠DFE＝90°不成立；
综上所述：当t为s或20s时，△DEF为直角三角形．