《1.2矩形的性质与判定》同步能力达标训练（附解析）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步能力达标训练（附答案）
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（　　）
A．菱形 B．矩形 C．菱形或矩形 D．无法判断
2．如图平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③∠BAD+∠ABC＝180°，④AC⊥BD，⑤AB＝CD，正确结论的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）
A．1.2 B．1.25 C．2.4 D．2.5
4．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　）
A． B．2 C． D．
6．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
8．如图，矩形ABCD由3×4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（　　）
A．34个 B．36个 C．38个 D．40个
9．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝3，点E是AB的中点，点P在边DC上运动，若△APE是腰长为5的等腰三角形，则DP的长为　 　．
10．如图，矩形ABCD中，BC＝8，AB＝6，点E为CD边上一动点（不与C，D重合）．以CE为边向外作矩形CEFG，且CE：CG＝3：4，连接BF，点O是线段BF的中点．连接OE，则OE的最小值为　 　．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，BC＝8，OE+EF＝，则线段AB的长为　 　．
12．已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝　 　．
13．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝　 　．
14．如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为　 　．
15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为　 　．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为　 　．
17．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．
（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若DF＝BF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．
19．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．
（1）如图1，
①∠BEC＝　 　°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB＝6，AH＝3，求NE的长．
20．如图，四边形ABCD是矩形，∠ACP＝90°，∠APC＝∠PAD+∠PCD．
（1）求∠ACD的度数；
（2）过点D作DE⊥AP，垂足为点E，延长DE交AC于点F．请补全图形，探究线段AF，CF，PC的数量关系，并证明．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
2．解：根据平行四边形的性质可知：
①平行四边形的对角线互相平分，则OA＝OC，故①正确；
②平行四边形的对角相等，则∠BAD＝∠BCD，故②正确；
③平行四边形的邻角互补，则∠BAD+∠ABC＝180°，故③正确；
④平行四边形的对角线互相平分，不一定垂直，故④错误；
⑤平行四边形对边相等，则AB＝CD，故⑤正确；
故选：B．
3．解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．
4．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
5．解：连接DH，并延长交EG于N，
∵AD∥EG，
∴∠DAH＝∠AGN，
∵点H是AG的中点，
∴AH＝HG，
在△ADH和△GNH中，
，
∴△ADH≌△GNH（ASA），
∴DH＝HN，NG＝AD＝2，
∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，
∴DE＝EN＝2，
又∵∠DEN＝90°，
∴DN＝DE＝2，
∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，
∴EH＝DN＝，
故选：A
6．解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
7．解：
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：C．
8．解：在由3×4个小正方形组成矩形ABCD中，
共有矩形60个，是正方形的有20个，
其中，边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个；
不是正方形的矩形有40个，
其中，两边长分别为2和1的有17个；
两边长分别为3和1的有10个；
两边长分别为4和1的有3个；
两边长分别为3和2的有7个；
两边长分别为3和4的有1个；
两边长分别为4和2的有2个；
故选：D．
9．解：∵AB＝10，E为AB的中点，
∴AE＝BE＝5，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，∠D＝90°，
有三种情况：①AP＝PE＝5，作AE的垂直平分线MN，MN交AB于N，
此时P在AE的垂直平分线MN上，
即AN＝NE＝2.5，则DP＝AN＝2.5，
∵AD2+DP2＝32+2.52≠52，
即此时不存在；
②当AP＝AE＝5时，由勾股定理得：DP＝＝＝4；
③当PE＝AE＝5时，有P和P′两种情况，过P作PN⊥AB于N，
由勾股定理得：NE＝＝＝4，
即DP＝5﹣4＝1；DP′＝5+4＝9，
所以DP的长是4或1或9，
故答案为：4或1或9．
10．解：延长OE，与BG交于M点，如图所示：
∵O为BF中点，EF∥BG，
∴OB＝OF，∠EFO＝MBO，
在△OEF和△OMB中，
∴△OEF≌△OMB（ASA），
∴EF＝BM，OE＝OM，
设EC＝3x（0＜3x＜6），
则CG＝EF＝BM＝4x，
∴MC＝BC﹣BM＝8﹣4x，
∴EM＝＝＝＝，
当EM最小时，OE最小，此时x＝，
即EC＝3x＝，
EM＝＝，
∴OE＝EM＝．
故答案为：．
11．解：∵矩形ABCD中，BC＝8，
∴AC＝＝，
∴AO＝AC，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积＝矩形ABCD的面积＝×AB?BC＝2AB，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，
即2AB＝AO×EO+DO×EF，
∴2AB＝×AO（EO+EF）＝AC×＝AC，
∴2AB＝，
∴5AB＝3，
解得AB＝6或AB＝﹣6（舍去），
故答案为：6．
12．解：过点P作GH∥BC交AB、CD于点G、H，
过P作EF∥AB交AD、BC于点E、F，
设AE＝BF＝c，AG＝DH＝a，
GB＝HC＝b，ED＝FC＝d，
∴AP2＝a2+c2，
CP2＝b2+d2，
BP2＝b2+c2，
DP2＝d2+a2，
∵AP＝1，BP＝2，CP＝3，
∴AP2+CP2＝BP2+DP2，
1+9＝4+DP2，
DP2＝6，
DP＝．
故答案为：．
13．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM⊥CF于M，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，
∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，
∴∠DCF＝∠G，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，
∴∠G＝∠ECF，
∴EC＝EG，
∴△ECG是等腰三角形，
∴CM＝MG，
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰三角形，
∵EM⊥CF，FH⊥CE，
∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，
∴EM＝FH＝DF，
∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），
∴CM＝CD＝，
∴CG＝5，
Rt△CBG中，BG＝＝＝3，
设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，
Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴BE＝．
故答案为：．
14．解：根据题意可知：
MN＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，DC⊥AD，CD＝AB＝6，
∴MF⊥AD，MN＝6，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AB＝6，
∴AD＝AB＝6，
∵DF⊥AF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∴点M是AD的中点，
∴FM＝AD＝3，FN为△BCH的中位线，
∴FN＝MN﹣FM＝6﹣3，FN＝CH，
∴CH＝2FN＝12﹣6．
故答案为：12﹣6．
15．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
故答案为16
16．解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE＝BF，
要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，
作D点关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于E，
则DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，
∵AB＝2，AD＝3，
∴CD＝AB＝2，DD′＝2AD＝6，
∴CD′＝＝＝2，
即BF+CE的最小值为2，
故答案为：2．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FBH＝∠EDG，
∵AE＝CF，BG＝DH，
∴DE＝BF，BH＝DG，
在△BFH和△DEG中，，
∴△BFH≌△DEG（SAS）；
（2）解：若DF＝BF，则四边形EGFH是菱形；理由如下：
连接EF交GH于O，如图：
由（1）得：△BFH≌△DEG，
∴FH＝EG，∠BHF＝∠DGE，
∴FH∥EG，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴OG＝OH，
∵BG＝DH，
∴OB＝OD，
∵DF＝BF，
∴EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形．
18．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，FE⊥AC，
又∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO＝FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）在Rt△ABC中，由AB＝5，BC＝12，
根据勾股定理得：AC＝＝13，
∴OA＝，
∴EO＝，
∴EF＝
∴菱形AFCE的面积S＝AC?EF＝
19．解：（1）①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD＝BC．
∵BE平分∠ABC交CD边于点E，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝45°．
故答案为：45．
②△ADE≌△ECF，
证明：∵∠CBE＝∠BEC＝45°，
∴BC＝EC，
∵AD＝BC，
∴AD＝EC．
∵FE⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，
又∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠CEF＝∠DAE．
在△ADE和△ECF中，
，
∴△ADE≌△ECF（ASA）．
（2）在图2中，连接HB．
∵NH∥BE，NB∥HE，
∴四边形HNBE是平行四边形．
∵△ADE≌△ECF，
∴AE＝EF，DE＝CF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥FC，∠D＝90°．
∵FH∥CD，
∴四边形HFCD是平行四边形，
∴HD＝FC，
∴HD＝ED，∠D＝90°，
∴∠DEH＝45°．
又∵∠BEC＝45°，
∴∠HEB＝90°，
∴平行四边形HNBE是矩形，
∴NE＝HB．
在Rt△ABH中，BH＝＝3，
∴NE＝3．
20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
即∠DAP+∠PAC+∠DCA＝90°，
∵∠ACP＝90°，
∴∠APC+∠CAP＝90°，
∵∠APC＝∠PAD+∠PCD．
∴∠CAP+∠PAD+∠PCD＝90°，
∴∠PCD＝∠ACD，
∵∠ACP＝90°，
∴∠PCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝45°；
（2）AF＝CF+PC．
连接BD，交AC于点O，过点C作CN∥AP交BD于点N，如图．
证明：由（1）知，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠DAO＝∠CDO＝45°，∠AOD＝90°，
∵∠ACP＝∠AOD＝90°，
∴MN∥PC，
∵AP∥CN，
∴∠1＝∠2，四边形PCNM为平行四边形，
∴PC＝MN，
∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
在△ADF和△DCN中，
，
∴△ADF≌△DCN（AAS），
∴AF＝DN，
∵∠7+∠ADE＝90°，∠8+∠ADE＝90°，
∴∠7＝∠8，
在△ADM和△DCF中，
，
∴△ADM≌△DCF（ASA），
∴DM＝CF，
∵AF＝DN，PC＝MN，
∴AF＝DN＝DM+MN＝CF+PC．