《1.3正方形的性质与判定》同步能力达标训练（附解析）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步能力达标训练（附答案）
1．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
2．如图的正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC＝10，CF＝8．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（　　）
A．4 B．5 C．4 D．5
3．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（　　）
A．或2+ B．或2﹣ C．2± D．或
4．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　）
A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°
C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE
7．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（　　）
A．（6，3） B．（3，6） C．（0，6） D．（6，6）
8．已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　）
A．（，2） B．（2，2） C．（，2） D．（4，2）
10．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
11．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　 　．
12．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 　 　．
13．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有 　 个．
14．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为　 　．
16．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有　 　（把所有正确结论的序号都填上）．
17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为　 　°．
18．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝　 　°．
19．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
20．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．
21．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．
22．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．
23．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
求证：△AHF为等腰直角三角形．
24．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．
25．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∵AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
2．解：如图，
过点F，作FM⊥AC交AC于点M，
此时FM为FP的最小值，
∵∠ACD＝60°，∠FCD＝90°，
∴∠FCM＝180°﹣∠ACB﹣∠FCD
＝180°﹣60°﹣90°
＝30°，
又∵∠FMC＝90°，
∴MF＝FC＝4，
即PF的长度最小值为4，
故选：A．
3．解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．
由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，
∵y＝，
∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，
∴OA?2＝1.5，
∴OA＝，
∴AM＝1+＝．
如图2中，当点A在正方形外部时，
由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，
∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，
解得AN＝，
∴AM＝2+，
综上所述，满足条件的AM的值为或2+，
故选：A．
4．解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，可以是平行四边形，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；
故选：B．
5．解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有4条．
故选：B．
6．解：∵ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE（A正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（B错误），
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE（C正确），
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴AG⊥BE（第四个正确），
所以不正确的是B，
故选：B．
7．解：∵四边形OBCD是正方形，
∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，
∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），
∴OD＝6，
∴OB＝BC＝CD＝6，
∴C（6，6）．
故选：D．
8．解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；
B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；
故选：B．
9．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．
∴，
∴，
∴，
∵∠ACB＝90°，边BC在x轴上，∴C点的坐标为（﹣2，0），
∴正方形OCDE的边长为2，
∴E（0，2），设点E沿x轴平移后落在AB边上的坐标为（a，2），
由y＝﹣得，2＝﹣a+，
∴a＝4，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），
故选：B．
10．解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①→②，①→③错误，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
11．解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，
∴E（4，﹣2），F（2，3），
∵G为EF的中点，
∴G（3，），
设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：
﹣2＝4k，解得k＝﹣，
∴直线OE解析式为y＝﹣x，
令x＝2得y＝﹣1，
∴H（2，﹣1），
∴GH＝＝，
方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，
∵O为正方形对角线AC和BD的交点，
∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，
∴点H、点G分别为OE、FE的中点，
∴GH为△OEF的中位线，
∴GH＝OF，
在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，
∴GH＝OF＝，
故答案为：．
12．解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H,如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D,
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CD＝AC,
∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝BH,
∴DH＝BC,
若AC＝6，则BC＝3，此时DH＝，即点D到直线AB的距离为；
若AB＝BC＝6，则DH＝BC＝3，即点D到直线AB的距离为3；
②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D,
∴△CDH是等腰直角三角，AD＝DH＝CH,
在△ABD和△HBD中，
,
∴△ABD≌△HBD(AAS),
∴AB＝BH,
若AB＝AC＝6时，BH＝6，BC＝＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣6，
∴AD＝6﹣6，即此时点D到直线AB的距离为6﹣6；
若BC＝6，则AB＝3，
∴BH＝3，
∴CH＝6﹣3，
∴AD＝6﹣3，即此时点D到直线AB的距离为6﹣3；
综上所述，点D到直线AB的距离为或3或6﹣6或6﹣3．
故答案为：或3或6﹣6或6﹣3．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
故①正确；
∵∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
故③正确；
∵∠ECF＝90°，EG＝FG，
∴CG＝EF，
设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，
∴CG＝EF＝x＝CE，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个
14．解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：＝，
故阴影部分的面积是：＝4，
故答案为：4．
15．解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AH＝HC，
又∵Q是AB中点，
∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，
同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，
∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，
∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，
∵OT⊥QH，
∴四边形POTQ是矩形，
∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，
∴TH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴MN＝2OH＝4，
故答案为：4．
16．解：如图，连接DH，HM．
由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②④．
故答案为①②④．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
18．解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
19．解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF,
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝
故四边形BEDF的周长为8．
20．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，
∴∠DOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE＝DF．
21．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝90°＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形BFDE是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形BFDE不可能是平行四边形．
22．解：证明：在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵CE＝DF，
∴BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AE＝BF．
23．证明：∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°
∵AD∥BC，AH∥DG
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH＝DG，AD＝HG＝CD
∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG
∴△DCG≌△HGF（SAS）
∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD
∴AH＝HF，
∵∠HGD+∠DGF＝90°
∴∠HFG+∠DGF＝90°
∴DG⊥HF，且AH∥DG
∴AH⊥HF，且AH＝HF
∴△AHF为等腰直角三角形．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，
∴EF＝AE＝5．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵EG∥BF，
∴∠CBF＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CEG+∠BEA＝90°，
∴AE⊥EG，
∴AE⊥BF；
（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：
则AP＝CE，∠EBP＝90°，
∴∠P＝45°，
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，
∴∠ECG＝45°，
∴∠P＝∠ECG，
由（1）得∠BAE＝∠CEG，
在△APE和△ECG中，，
∴△APE≌△ECG（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE＝BF，
∴EG＝BF，
∵EG∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形．