数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程（共16张ppt）

(共16张PPT)
2.4.1圆的标准方程
3.已知两条平行直线方程为:
则它们之间的距离为:
2.平面内一点P(x0,y0)
到直线Ax+By+C=0的距离公式是
复习
1.两点间距离公式
圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
探究
·
r
C
x
y
O
M(x,y)
问题：圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程.
解：设点M
(x,y)为圆C上任一点，
|MC|=
r
则
P
=
{
M
|
|MC|
=
r
}
圆上所有点的集合
圆心C(a,b),半径r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
特别的若圆心为O(0，0),则圆的方程为
x2+y2=r2
思考：圆的标准方程有哪些特点？
①方程明确给出了圆心坐标和半径;
②确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
新知
·
r
C
x
y
O
M(x,y)
⑴圆
(x－1)2+
(y－1)2=9
⑵圆
(x－2)2+
(y+4)2=2
圆心
(2,
－4)
，半径
⑶圆
(x+1)2+
(y+2)2=m2
圆心
(1,
1)
，半径3
圆心
(－1,
－2)
，半径|m|
(4)圆x2+y2=4
(5)圆(x+1)2+y2=1
圆心(0，0)半径2
圆心(-1，0)半径1
练习
求下列圆的圆心和半径
课本P85
练习
1
例1写出圆心为A(2,－3),半径等于5的圆的方程，并判断M1(5,－7),M2(－2,
－1)是否在这个圆上
例题
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.
解:圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，
得(5-2)2+(-7+3)2=25,左右两边相等，
点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25
的左边，
得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右两边不相等，
点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上
探究:点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2
=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2
=r2外的条件又是什么？
若点到圆心的距离为d，
d>r时，点在圆外；
d=r时，点在圆上；
d探究:点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2
=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2
=r2外的条件又是什么？
若点到圆心的距离为d，
d2>r2时，点在圆外；
d2=r2时，点在圆上；
d2若点到圆心的距离为d，
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时，点在圆外；
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在圆上；
(x0-a)2+(y0-b)2新知
例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,－3),C(2,－8)求它的外接圆方程.
例题
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B
(7,-3),C(2,8)都在圆上
故所求圆的方程为
例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,－3),C(2,－8)求它的外接圆方程.
例题
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B
(7,-3),C(2,8)都在圆上
则
待定系数法
待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解——解方程组,求出a,b,r;
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
归纳
练习
求过点A(0,5),B(1,－2),C(－3,－4)的圆的标准方程。
解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
故△ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2
＝25
C
A(1,1)
B(2,-2)
例3
已知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,－2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的标准方程.
例题
解：∵A(1,1),B(2,－2)∴线段AB的中点坐标为
，,kAB＝－3
∴直线AB的垂直平分线方程为
，即为x－3y－3＝0
∵圆心C在直线l:x－y＋1＝0上
所以C(－3,－2)
则圆的半径为r＝|AC|＝
=5
故圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2
＝25
C
A(1,1)
B(2,-2)
例3
已知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,－2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的标准方程.
例题
解：设圆心C的坐标为(a,b)
∵圆心C在直线l:x－y＋1＝0上
∴a－b＋1＝0
①
因为A、B是圆上的两点，所以|CA|＝|CB|
根据两点间的距离公式，有
即a－3b－3＝0
②
由①②可得a＝－3，b＝－2
所以圆心坐标为(－3,－2)
则圆的半径为r＝|AC|＝
=5
故圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2
＝25
圆的标准方程的两种求法
(1)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解——解方程组,求出a,b,r;
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
(2)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
归纳
小结
1、圆心C(a,b),半径r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
2、点和圆的位置关系;若点到圆心的距离为d，
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时，点在圆外；
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在圆上；
(x0-a)2+(y0-b)23、圆的标准方程的两种求法：待定系数法、几何法
课本P85
练习
3、4
作业