2021年暑假自主学习《2.4圆周角》能力达标训练 九年级数学苏科版上册（word版含解析）

2021年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》暑假自主学习能力达标训练（附答案）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
2．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　）
A．45° B．30° C．75° D．60°
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为（　　）
A．80° B．100° C．110° D．130°
4．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
5．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为（　　）
A．25° B．50° C．60° D．30°
6．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB＝25°，则∠BAO的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
8．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　）
A．68° B．88° C．90° D．112°
9．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（　　）
A．80° B．100° C．60° D．40°
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（　　）
A．88° B．92° C．106° D．136°
12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
13．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（　　）
A． B．5 C．+1 D．
14．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD长为（　　）
A．6 B．12 C．8 D．不能确定
15．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图：若弦BC经过圆O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则圆O的直径为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
17．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，且⊙O的半径为3．若AP＝4，PB＝1，则OP的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．
18．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝6，BE＝2，CD＝2，则∠AED的度数是（　　）
A．30° B．60° C．45° D．36°
19．如图，点A，B，C，D都在圆上，线段AC与BD交于点M，MB＝MD，当点B，D，M保持不变，点A在圆上自点B向点D运动的过程中（点A不与点B，点D重合），那么线段MA与MC的乘积（　　）
A．不变 B．先变大，后变小
C．变大 D．先变小，后变大
20．如图所示，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP＝6，BP＝2，CP＝4，则PD的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是　 　．
22．如图在⊙O中，弦AB、CD交于点P，如果CP＝6，DP＝3，AB＝11，则AP＝　 　．
23．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP＝9，BP＝4，则PC＝　 　．
24．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM?MB＝CM?MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM?MB的值．
25．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
26．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．
27．（1）在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图试着证明．
（2）利用（1）的结论，解决右图问题：AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10，PA＝4，OP＝5，求⊙O的半径R．
28．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
29．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
30．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．
（1）求证：四边形AOCD是菱形；
（2）若AD＝6，求DE的长．
参考答案
1．解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故选：C．
2．解：作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD＝CD，
∴OD＝OC＝OA，
∴∠OAD＝30°，
又OA＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠APB＝∠AOB＝60°．
故选：D．
3．解：连接OC，如图所示，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝100°，
∵∠1+∠BOC＝360°，
∴∠1＝260°，
∵∠A＝∠1，
∴∠A＝130°．
故选：D．
4．解：作OD⊥AB，如图，
∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，
∴OD＝1，
∴∠OAB＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AEB＝∠AOB＝60°，
∵∠E+∠F＝180°，
∴∠F＝120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．
故选：C．
5．解：∵∠BOC＝2∠BAC，∠BOC＝50°，
∴∠BAC＝25°，
∵AC∥OB，
∴∠BAC＝∠B＝25°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝25°，
故选：A．
6．解：连接OB，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2×25°＝50°，
由OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，
∴∠BAO＝（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
7．解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴＝，
∴∠DOB＝2∠C＝50°．
故选：D．
8．解：如图，∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD＝2∠BDC，
∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝88°，
故选：B．
9．解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，
∴∠A＝∠D＝60°．
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°．
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．
故选：A．
11．解：∵∠BOD＝88°，
∴∠BAD＝88°÷2＝44°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，
即∠BCD的度数是136°．
故选：D．
12．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AE＝＝＝，
∵BC＝3，BE＝1，∴CE＝2，
由相交弦定理得：AE?EF＝BE?CE，
∴EF＝＝，
∴AF＝AE+EF＝；
故选：A．
14．解：∵AP?BP＝CP?DP，
∴PD＝，
∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，
∴PD＝6，
∴CD＝PC+PD＝2+6＝8．
故选：C．
15．解：由相交弦定理得：PA?PB＝PC?PD，
∴DP＝＝＝6．
故选：D．
16．解：延长AO交⊙O于点D，
设⊙O的半径是x，
根据相交弦定理，得＝12，x＝4，
因此⊙O的直径是8．
故选：B．
17．解：延长CP交圆于一点D，连接OC，
∵PC⊥OP，
∴PC＝PD，
∴PC2＝PA?PB，
∵AP＝4，PB＝1，
∴PC2＝4×1，
∴PC＝2，
∴OP＝＝＝．
故选：C．
18．解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．
∴DH＝CH＝CD（垂径定理）；
∵CD＝2，
∴DH＝．
又∵AE＝6，BE＝2，
∴AB＝8，
∴OA＝OD＝4（⊙O的半径）；
∴OE＝2；
∴在Rt△ODH中，OH＝＝＝（勾股定理）；
在Rt△OEH中，sin∠OEH＝＝，
∴∠OEH＝45°，
即∠AED＝45°．
故选：C．
19．解：∵点A，B，C，D都在圆上，
∴MB?MD＝AM?MC，
∵MB＝MD，当点B，D，M保持不变，
∴MB?MD为定值，
∴AM?MC为定值．
故选：A．
20．解：由相交弦定理得AP?PB＝CP?PD，
∵AP＝6，BP＝2，CP＝4，
∴PD＝AP?PB÷CP＝6×2÷4＝3．
故选：D．
21．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG＝GD，CF＝FG＝CG，
∵CF＝2，∴CG＝GD＝2×2＝4，FD＝2+4＝6，
由相交弦定理得EF?AF＝CF?FD（这里利用相似三角形的性质证明），
即EF＝＝＝4，
故EF的长是4．
22．解：根据相交弦定理，得：
AP?PB＝CP?DP
∵AB＝11
∴AP（11﹣AP）＝CP?DP
∴AP2﹣11AP+18＝0
∴AP＝2或9．
23．解：延长CP交⊙O于点D，
∵PC⊥OP，
∴PC＝PD，
∵PC?PD＝PA?PB，
∴PC2＝PA?PB，
∵AP＝9，BP＝4，
∴PC2＝4×9，
解得：PC＝6．
故答案为：6．
24．解：（1）连接AD、BC．
∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴AM?MB＝CM?MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2
∴CD＝CM＝＝＝
由（1）知AM?MB＝CM?MD．
∴AM?MB＝?＝5．
25．（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝5．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
26．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△PAD∽△PCB；
（2）解：∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝，
解得：PD＝4或6，
当PD＝4时，PC＝6，
当PD＝6时，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD＝4．
27．解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知，如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，
求证：AE?BE＝CE?DE．
证明如下：
连AC，BD，如图，
∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，
∴△AEC∽△DEB，
∴AE：DE＝CE：BE，
∴AE?BE＝CE?DE；
所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
（2）过P作直径CD，如图，
∵AB＝10，PA＝4，OP＝5，
∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC﹣OP＝R﹣5，PD＝OD+OP＝R+5，
由（1）中结论得，PA?PB＝PC?PD，
∴4×6＝（R﹣5）×（R+5），
解得R＝7（R＝﹣7舍去）．
所以⊙O的半径R＝7．
28．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠AEB，
∴∠A＝∠AEB；
（2）∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF＝DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED＝EC，
∵DC＝DE，
∴DC＝DE＝EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
29．解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
30．证明：（1）∵点D是AC的中点，连接OD，
∴，
∴AD＝DC，∠AOD＝∠DOC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠AOD＝∠DOC＝60°，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC＝CD＝AD，
∴四边形AOCD是菱形；
（2）由（1）可知，△COD是等边三角形．
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∵CE＝AD，CD＝AD，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝∠OCD＝30°，
∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝6．