北京市平谷区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

平谷区2020－2021学年度第二学期期末教学质量监控试卷
高二数学
2021.6
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．共150分，考试时间为120分钟．
2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名．
3.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4.考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求保存好．
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1.已知集合false，集合false，那么false（ ）
A.（－1，3） B.（1，3） C.（－1，1） D.false
2.已知a＞b，c＞0，那么（ ）
A.false B.false C.false D.ac＞bc
3.已知false，那么false（ ）
A.false B.0 C.false D.false
4.在false展开式中，含x项的系数为（ ）
A.42 B.35 C.21 D.－35
5.已知等差数列false，那么数列false前6项和false为（ ）
A.54 B.40 C.12 D.27
6.已知函数y＝f（x）的导函数图像，如图所示，那么函数y＝f（x）（ ）
A.在false上单调递增 B.在x＝0处取得极小值
C.在x＝1处切线斜率取得最大值 D.在x＝2处取得最大值
7.由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（ ）
A.180 B.156 C.108 D.58
8.某商场举行“五一购物抽奖”活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为false，二等奖为false，三等奖为false，四等奖为false，其余均为纪念奖．某顾客获得2次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为（ ）
A.false B.false C.false D.false
9.“a≤0”是“函数false在区间false上为单调增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.为参加市级技能大赛，某公司举办技能选拔赛，参加活动的员工需要进行两项比赛．下表是报名的10名员工的各项比赛成绩（单位：分），其中有三个数据模糊．
员工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
项目一成绩
96
92
92
90
88
86
85
84
80
78
项目二成绩
81
78
a
83
78
77
a－1
b
75
70
已知两项成绩均排在前7名的只有5人，公司决定派出这5名员工代表公司参加市级比赛，则下面说法正确的是（ ）
A.2号员工参加市级比赛 B.3号员工参加市级比赛
C.7号员工参加市级比赛 D.8号员工参加市级比赛
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11.false的展开式各项系数之和为 ．
12.已知各项均为正项的等比数列false，则false ．
13.命题“false”，此命题的否定是 命题．（填“真”或“假”）
14.已知不等式false对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为 ．
15.“六一儿童节”到了！某演出团在电影院安排了3场演出．已知第一场有19人出演，第二场有20人出演，第三场有18人出演，且前两场同时出演的人数是10人，后两场同时出演的人数是8人，那么参加此次演出活动的人数至少有 人．
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.（本小题13分）
已知数列false，其前n项和为false，满足 ．
（Ⅰ）求数列false通项公式；
（Ⅱ）当false时，求n的最大值．
请你从①false；②false；③false这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，接第一个解答计分．
17.（本小题14分）
口袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中黄球6个，红球4个．从中不放回的摸2次球，每次摸出一个球．
（Ⅰ）求至少摸到2个红球的概率；
（Ⅱ）若共摸出2个红球，求第三次恰好摸到红球的概率．
18.（本小题14分）
已知函数false．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间，并判断函数f（x）的零点个数．
19.（本小题15分）
近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
false
false
false
false
false
男生（人数）
2
5
8
9
1
女生（人数）
a
b
10
3
2
（Ⅰ）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；
（Ⅱ）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）
20.（本小题15分）
已知函数false．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数false，若false，有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
21.（本小题14分）
在递增数列false中，false，设false，记使得false成立的n的最小值为false．
（Ⅰ）设数列false为1，3，4，5，写出false的值；
（Ⅱ）若false，求false的值；
（Ⅲ）若false，求数列false的前2m项和公式．
平谷区2020—2021学年第二学期期末质量监控
高二数学 2021、7
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
B
D
C
B
C
A
A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11. false 12. false 13. 真 14. 16 15. false
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. （本小题13分）
解：选①：
（I）因为false，即false
所以数列false是首项为1，公差为4的等差数列． ………………3分
所以数列false通项公式false ………………6分
（II）false
false ………………10分
当false，即false
解得false
所以false的最大值为7． ………………13分
选②：
（Ⅰ）因为false
所以当false时，false，即false
又false
两式相减，得：当false
整理得false ………………4分
即数列false是首项为1，公比为2的等比数列．
所以数列false通项公式false ………………7分
（II）false
false ………………10分
当false，即false
解得false
所以false的最大值为6 ． ………………13分
选③：
（Ⅰ）因为false，
所以false．
两式相减得 false，
即false． ………………4分
又因为false ………………5分
所以数列false是常数列．
所以数列false的通项公式为false． ………………7分
（Ⅱ）数列false是常数列
所以false ………………10分
当false，即false
所以false的最大值为100. ………………13分
17.（本小题14分）
解：（I）设“至少摸到2个红球”为事件A ………………1分
设“摸到2个红球”为事件false，“摸到3个红球”为事件false，
因为事件false与事件false互斥，所以false
false，false
或者false，false
所以false
即至少摸到2个红球的概率为false ．………………7分
（II）解法一：设“第三次恰好摸到红球”为事件B，………………8分
事件B即为“在前2次中只摸到一个红球，第三次摸到第二个红球”，则有false种情况．摸三次球，样本空间false，false
即第三次恰好摸到红球的概率为false ．………………14分
解法二：设“第三次恰好摸到红球”为事件B，………………8分
设“在前2次中只摸到一个红球”为事件false，“第三次摸到第二个红球”为事件false，
则false ………………14分
18.（本小题14分）
解：（I）函数定义域为false，因false，所以切点为false．………………2分
又false………………4分
所以false即切线斜率为false………………5分
所以切线方程是false，即false………………7分
（II）令false ………………8分
false
false
false
false
1
false
false
false＋
0
_
0
＋
false
107315151765
极大值
18161066040
极小值
22415566040
如表格，函数false的单调增区间是false和false，单调减区间是false．……………12分
又因为函数false的极大值false，………………13分
所以当false时false恒成立，
而函数false在区间false上单调递增，false，false，
所以存在false，使得false，即函数false只有一个零点． ………………14分
19. （本小题15分）
解：（I）设“从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同”为事件A， ………………1分
由表格可得：随机抽取的50名学生中，成绩在80分以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本空间false；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即false．所以事件A包含21个样本点 ，因此false ．………………4分
（II）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为false．即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为false ．．………………6分
因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在80分以上的人数false可取false，且false ．………………7分
false，false，
false，false．………………11分
所以随机变量false的分布列
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
数学期望false
或者false，所以false ．………………13分
（Ⅲ） false ．．………………15分
20. （本小题15分）
解：（I）false，则false，．………………2分
令false，false ．．………………3分
所以false，即false在区间false上单调递减；
false，即false在区间false上单调递增；
所以函数false有极小值false，无极大值． ．………………5分
（II）因为false，有false恒成立
设函数false，
则false恒成立 ． ．………………6分
因为false．………………8分
①当false时，false，
所以falsefalse
即false在区间false上单调递减，在区间false上单调递增．
因此函数false在false时有最小值
当false，即false时，函数false在区间false恒成立
． ．………………10分
当false时，令false，false
②当false，即false时，false恒成立，即：函数false在区间false单调递增．所以函数falsefalse，满足条件 ． ．………………11分
③当false，即false时，falsefalse
若false即false时，false在区间false上单调递减，在区间false上单调递增．
函数false在false时有最小值，
而false恒成立．所以满足条件．
若false即false时，false在区间false上单调递减，在区间false，false上单调递增． 而false ，false，
所以函数false在区间false恒成立． ． ．………14分
综上，当false时，函数false在区间false恒成立． ．………………15分
21.（本小题14分）
解：（Ⅰ）令false时，false的最小值false
令false时，false的最小值false
令false时，false的最小值false
令false时，false的最小值false ． ．………4分
（Ⅱ） 由false ，即数列false是首项为1，公比为2的等比数列
所以使得false成立的false的最小值false为：
false， false，false ， false，
false ， false ，
false ，false
所以
false……． ．………9分
（Ⅲ）由题意false，
对于正整数，由false，得false．
根据false的定义可知
当false时，false；当false时，false．
∴false
false
false．………14分