四川省成都高新区2020-2021学年高一下学期期末联考数学（理科）试题 Word版含答案

成都高新区2020-2021学年高一下学期期末联考
数学（理科）试题
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.
A． B. C． D．
2.若为实数，则下列命题正确的是
A．若， 则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3. 等比数列中，若，则=
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
4.已知，则
A. B． C . D．
5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A．8－ B．8－ C．8－2π D.
6. 在中，角，，的对边分别为,,, 且
,则是
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
7.随着“一带一路”、长江经济带等发展战略的实施，交通运输发展的外部环境和内在要求面临深层次的调整和变化。内河水运作为现代综合交通运输体系的重要组成部分，迎来了新的历史机遇.为做好航道升级的前期工作，成都市组织相关人员到府河现场进行勘察.现要测量府河岸边两地间的距离。如图，在的正东方向选取一点，测得，位于西北方向，位于北偏东，则两地间的距离为
A. B. C. D.
8.已知、是两条不同直线，是两个不同平面，则下列说法正确的是
A．若//，//，则// B．//， //，
C．若 D．
9.已知数列的通项公式，为数列的前项和，满足，则的最小值为
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
10.如图是一几何体的平面展开图，其中是正方形，其余各面都是全等的等边三角形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点. 在此几何体中，给出下面四个结论，其中正确结论的个数是
①平面EFG∥平面ABCD； ②；
③直线PA∥平面BDG； ④直线与直线的夹角为
A.1 B.2 C. 3 D.4
11.在正方体中，是线段AC（除端点A、C外）上一动点，则的取值范围是
A. B. C. D.
12. 如图。矩形的周长为4，把沿向折叠后成，折过去后交于点。则的最大面积为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13．已知，则＝ .
14. 若关于的不等式的解集为，则 .。
15. 如图所示。体积为16的长方体的8个顶点均在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为 .
16.已知是函数的一个零点，令，为数列的前项和，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等比数列中，公比，是，的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
已知关于的函数.
（Ⅰ）若关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2, 求的取值范围；
（Ⅱ）求关于的不等式的解集.
19. （本小题满分12分）
如图，棱长为4的正方体，分别是正方形的中心.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）证明：．

20.（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求的最大值及此时的值；
（Ⅱ）若，且，求的值.
21. （本小题满分12分）
如图，在平面四边形中，.
（Ⅰ）若求的值；
（Ⅱ）若设， 求的面积的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知是数列的前项和，且（）。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）令，求证：数列是等差数列；
（Ⅲ）若数列满足，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
成都高新区2020-2021学年高一下学期期末联考
数学（理科）试题
参考答案：
1．【解答】解：cos2﹣sin2＝cos（2）＝cos＝，故选：C．
2．【解答】解：对于选项A：x＝1，y＝0，故没意义，故错误．
对于选项B：x＝2π，y＝，所以，故错误．
对于选项C：x＝﹣2，y＝﹣1，则x2＞y2，故错误．
对于选项D：，所以x＜y，故正确．故选：D．
3． 【解答】解：∵等比数列{an}中，a3＝4，∴a2?a4＝＝42＝16．故选：B．
4． 【解答】解：∵sinα＝3cosα，∴tanα＝3．
那么tan2α＝＝＝﹣．故选：D．
5． 【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，
则正方体的体积为V1＝23＝8，圆锥的体积为V2＝?π?12?2＝，则该几何体的体积为V＝8﹣，故选：A．
6． 【解答】解：∵＝，可得acosA＝ccosC，
∴由正弦定理可得：sinAcosA＝sinCcosC，可得：sin2A＝sin2C，
∵A，C∈（0，π），可得：2A，2C∈（0，2π），∴2A＝2C，或2A+2C＝π，
∴解得A＝C，或A+C＝，即△ABC是等腰或直角三角形．故选：D．
7． 【解答】解：在△ABC中，依题意知B＝，C＝，
那么A＝，由正弦定理得，又因为CB＝2km，
所以km，故选：C．
8 【解答】解：由m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：
对于A，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；
对于B，若m∥β，n∥β，m?α，n?α，则α与β相交或平行，故B错误；
对于C，若m∥n，m?α，n?α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故C正确；
对于D，若m∥α，n?a，则m与n平行或异面，故D错误．故选：C．
9．【解答】解：数列{an}的通项公式an＝＝，
所以＝＝．
由于满足Sn＞（n∈N*），所以，解得n＞4，
所以n的最小值为5．故选：D．
10 【解答】解：把几何体的平面展开图还原得到正四棱锥P﹣ABCD，
点E、F、G、H分别是棱PA、PD、PC、PB的中点，
连结AC、BD，交于点O，连结PO，
对于A，∵点E、F、G、H分别是棱PA、PD、PC、PB的中点，
∴EF∥AD，FG∥DC，
∵AD∩DC＝D，EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面ABCD，故①正确；
对于②，∵E是PA中点，G是PC中点，∴EG＝AC，
∵ABCD是正方形，∴AC＝BD，∴EG＝BD，故②正确；
对于③，∵G是PC中点，O是AC中点，∴PA∥OG，
∵OG?平面BDG，∴PA∥平面BDG，故③正确；
对于④，∵PA＝PC，O是AC中点，∴PO⊥BD，
又AC⊥BD，PO∩AC＝O，PO，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，∴BD⊥PA，
在△PBD中，F，H分别为PD，PB的中点，∴FH∥BD，
∴FH⊥PA．∴直线FH与直线PA的夹角为90°，故④正确故选：D．
11．【解答】解：因为三角形AD1C是等边三角形，
所以，于是sin∠AD1M+sin∠D1MA
＝＝
＝＝，
又∵，于是，
因此．故选：C．
12．【解答】解：由题意可得∠DPA＝∠B'PC（对顶角相等），∠B'＝∠D＝90°，AD＝BC＝B'C，
所以△B'PC≌△DPA，则PC＝AP，S△APD＝S△B'PC，
设AB＝x，由题意可得BC＝2﹣x，设PC＝a，则DP＝x﹣a，
在Rt△ADP中，AD2+DP2＝AP2，所以（2﹣x）2+（x﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
所以DP＝x﹣a＝，
所以S△ADP＝AD?DP＝（2﹣x）?（x﹣a）＝（2﹣x）＝﹣（x+）+3，
因为x+＝2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，
所以S△ADP≤3﹣2，
所以△B′PC的最大面积3﹣2．故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13． 【解答】解：将sinθ﹣cosθ＝两边平方可得：sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣sin2θ＝，
所以sin2θ＝，故答案为：．
【点评】本题考查同角三角函数的正余弦的平方和及倍角的正弦公式的应用，属于基础题
14【解答】解：由题意不等式ax2﹣bx+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，可知不等式是二次不等式，
故1，2是方程ax2﹣bx+2＝0的两个根，
∴1+2＝，1×2＝∴a＝1，b＝3．∴a+b＝4．
故答案为：4．
15．【解答】解：设BC＝x，则由题意可得AB?x?AA1＝16，而AA1＝4，所以AB＝，
设球的半径为R，则4R2＝x2+（）2+42＝x2++16≥2+16＝24，
当且仅当x2＝时取等号，即x＝4时取等号，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝24π，故答案为：24π．
16．【解答】解： 为 f（x）＝2sin（πx+?） 的零点，则，
∵?∈（0，π），∴，
f（x）+f（1﹣x）＝2cosπx+2cos（π﹣πx）＝2cosπx﹣2cosπx＝0，
an＝f（）+|2n﹣5|＝2cos+|2n﹣5|，
∴S21＝a1+a2+…+a21＝2cos+3+2cos+1+2cos+1+2cos+3+…+2cos+35+2cos+37
＝（2cos+2cos）+（2cos+2cos）+…+（2cos+2cos）+2cos+4+
＝﹣2+4+361
＝363．故答案为：363．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解答】解：（Ⅰ）由公比q＝3，a3是a2，a4﹣12的等差中项，
得，解得a3＝9，
∴，则；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a1＝1，q＝3．
∴．
18． 【解答】解：（Ⅰ）方程f（x）﹣2x2＝0即x2﹣（m+3）x+m＝0，
方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，
令g（x）＝x2﹣（m+3）x+m，
则g（2）＝4﹣2（m+3）+m＝﹣2﹣m＜0，即m＞﹣2．
∴m的取值范围为（﹣2，+∞）；
（Ⅱ）由3x2﹣（m+3）x+m＜0，
得（x﹣1）（3x﹣m）＜0．
若m＝3，不等式化为3（x﹣1）2＜0，x∈?；
若m＜3，则＜1，不等式f（x）＜0的解集为（）；
若m＞3，则＞1，不等式f（x）＜0的解集为（1，）．
综上，若m＝3，不等式f（x）＜0的解集为?；
若m＜3，不等式f（x）＜0的解集为（）；
若m＞3，不等式f（x）＜0的解集为（1，）．
19．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接分别为的中点
（Ⅱ）连接是正方体
为正方形又
20． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin2ωx+2cos2ωx﹣＝sin2ωx+（1+cos2ωx）﹣＝sin2ωx+cos2ωx＝2sin（2ωx+），
因为函数f（x）的最小正周期T＝π，ω＞0，
所以π＝，解得ω＝1，
所以f（x）＝2sin（2x+），
则f（x）max＝2，这时2x+＝+2kπ，k∈Z，解得x＝+kπ，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（）＝2sin（2+）＝2sin（α+）＝，
所以sin（α+）＝，
因为α∈（﹣，），所以α+∈（﹣，），
所以cos（α+）＞0，即cos（α+）＝＝＝，
所以cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝+＝，
即cosα＝．
21． 【解答】解：
（Ⅰ）∵∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝2，AC＝2，
∴△ABC中，由余弦定理，得AC2＝BA2+BC2﹣2BA?BC?cos∠ABC，
∴（2）2＝（2）2+BC2﹣2×（﹣），
∴BC2+6BC﹣40＝0，
∴解得BC＝4或BC＝﹣10（舍去）；
（Ⅱ）∵∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝2，AD＝2，设∠BAC＝θ，
∴△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴AC＝＝＝，
∴S△ACD＝AD?AC?sin∠DAC＝×sin（﹣θ）
＝＝，
∵，tanθ∈（0，），
∴tanθ∈（0，），﹣tanθ∈（0，），
∴S△ACD＝∈（2，+∞）．
22． 【解答】解：（Ⅰ）由an＝Sn+2n（n∈N*），可得a1＝S1+2＝a1+2，
即有a1＝4；
由a2＝S2+4＝（2+a2）+4，解得a2＝12；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，2an﹣1＝Sn﹣1+2n，
又2an＝Sn+2n+1，相减可得2an﹣2an﹣1＝Sn﹣Sn﹣1+2n+1﹣2n，
即为an＝2an﹣1+2n，
可得＝+1，即有bn＝bn﹣1+1，
可得数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得＝n+1，即an＝（n+1）?2n，
可得Sn＝2an﹣2n+1＝n?2n+1，
?n＝1+＝1+（﹣）n+1，
当n为偶数时，?n＝1﹣递增，可得≤?n＜1；
当n为奇数时，?n＝1+递减，可得1＜?n≤，
则|?p﹣?q|的最大值为﹣＝，
可得λ≥．