广东省揭阳市揭西县2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 图片版含答案

高一数学期末测试题参考答案及评分标准
BCAD ABDC
9. ACD 10. AC 11. AB 12. BD
13.
14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．
(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
【解】(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得
所以或
故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)．-----------------------------------------------------------------5分
(注：设更方便)
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，
所以a·(a－2b)＝0. -------------------------------------------------------------------------------------6分
即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，
故cos θ＝＝，------------------------------------------------------------------------------8分

又
所以 θ＝.-----------------------------------------------------------------------------------------------10分
18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
【解】(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，--------------------------------------------------------------------4分
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. -------------------------------------------------------6分
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.-------------------------------------------------------------------8分
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.------------------------------------------------------------------11分
所以m的最小值为.-----------------------------------------------------------------------------12分
19. (本小题满分12分)
在条件①：；条件②：这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 的内角，，所对的边分别是，，，且，若______.
（1）a的值：
（2）和 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解】选择条件①（1）
-------------------------------------------------------------------------------6分
（2）---------------------8分
由正弦定理得：-----------------------10分
--------------------------------------------------12分
选择条件②（1）
-----------------------------3分
由正弦定理得：----------------------------------6分
（2）- ------------------------------10分
--------------------------------------------12分

20．(本小题满分12分)
某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量(单位：g)分别在
[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)中，经统计得频率分布
直方图如图所示．
(1)求该组数据的众数、中位数，并估计这组数据的平均数（精确到整数位）；
1718945479425(2)现按分层随机抽样从质量在[200，250)，[250，300)中的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率.

【解】：(1)由频率分布直方图知，这组数据的众数为275（g），----------------------------------1分
其中位数是（g） --------------------------3分
这组数据的平均数
≈ 0.07×125＋0.15×175＋0.20×225＋0.30×275＋0.25×325＋0.03×375＝255（g）.
------------------------------------------6分
(2)利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，
记为a1，a2，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为b1，b2，b3.
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，
(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)．-------------------9分
记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A有4个样本点：
(a1，a2)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，
从而P(A)＝＝，
故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.------------------------------------------------12分
21．（(本小题满分12分)）
3538855288290如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，
E，F分别为AD，PB的中点．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（2）求证：EF∥平面PCD．
【证明】（1）由于底面ABCD为矩形，所以 ------------------------------------------1分
又平面PAD⊥平面ABCD，且其交线为AD，CD?平面ABCD
所以 平面PAD，-------------------------------------------------------------------------------------3分
又AP?平面ABCD
所以 -----------------------------------------------------------------------------4分
又 且
所以PA⊥平面PCD，--------------------------------------------------------------------------------------5分
又PA?平面PAB
所以平面PAB⊥平面PCD。----------------------------------------------------------------------- ------6分
（2）取PC的中点H，连接DH，FH，-------------------------------------------------------------------7分
在三角形PBC中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH=BC，
由题意可得 DE∥BC，DE=BC，
可得DE=FH，DE∥FH，--------------------------------------------------------------------------------------9分
四边形EFHD为平行四边形，
3125470313690可得EF∥DH，-----------------------------------------------------------------------------------------------10分
EF?平面PCD，DH?平面PCD，
即有EF∥平面PCD．-------------------------12分
22． (本小题满分12分)
已知函数（其中，且）的图象关于原点对称.
（1）求，的值；
（2）当时，关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.
【解】（1）由题意知：，------------------------------------------------------------1分
整理得，
即，对于定义域内任意都成立，-------------------------------------3分
∴，
解得或.--------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）由知：，故----------------------------------6分
由已知有 ，可得，
即在区间上有两个不同的解，---------------------------------------------8分
令，
∴
当且仅当时等号成立，-----------------------------------------------------------------------------10分
而在上递减，在上递增，且时.
又该方程有两个不同的解，所以
故K的取值范围是------------------------------------------------------------------------12分