2017年高考数学真题试卷（上海卷）
一、填空题
1．（2017·上海）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．
【答案】{3，4}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，
∴A∩B={3，4}．
故答案为：{3，4}．
【分析】利用交集定义直接求解．
2．（2017·上海）若排列数 =6×5×4，则m= ．
【答案】3
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：∵排列数 =6×5×4，
∴由排列数公式得 ，
∴m=3．
故答案为：m=3．
【分析】利用排列数公式直接求解．
3．（2017·上海）不等式 ＞1的解集为 ．
【答案】（﹣∞，0）
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由 ＞1得：
，
故不等式的解集为：（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．
4．（2017·上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．
【答案】9π
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：球的体积为36π，
设球的半径为R，可得 πR3=36π，
可得R=3，
该球主视图为半径为3的圆，
可得面积为πR2=9π．
故答案为：9π．
【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．
5．（2017·上海）已知复数z满足z+ =0，则|z|= ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z+ =0，
得z2=﹣3，
设z=a+bi（a，b∈R），
由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，
即 ，解得： ．
∴ ．
则|z|= ．
故答案为： ．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．
6．（2017·上海）设双曲线 ﹣ =1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= ．
【答案】11
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： ﹣ =1，
其中a= =3，
则有||PF1|﹣|PF2||=6，
又由|PF1|=5，
解可得|PF2|=11或﹣1（舍）
故|PF2|=11，
故答案为：11．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．
7．（2017·上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为（4，3，2），则 的坐标是 ．
【答案】（﹣4，3，2）
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵ 的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），
∴ ．
故答案为：（﹣4，3，2）．
【分析】由 的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．
8．（2017·上海）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）= 为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为 ．
【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：若g（x）= 为奇函数，
可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，
由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），
则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，
由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），
且f﹣1（x）=2，
可由f（2）=1﹣3﹣2= ，
可得f﹣1（x）=2的解为x= ．
故答案为： ．
【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
9．（2017·上海）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣ ，③y=x3，④y=x ，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣ ，③y=x3，④y=x ，
从四个函数中任选2个，基本事件总数n= ，
③④有两个公共点（0，0），（1，1）．
事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：
①③，①④共2个，
∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）= = ．
故答案为： ．
【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n= ，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．
10．（2017·上海）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则 = ．
【答案】2
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：∵an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项，
∴ = = ．
∴b1=a1=1， =b4， =b9， =b16．
∴b1b4b9b16= ．
∴ =2．
故答案为：2．
【分析】an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项，可得 = = ．于是b1=a1=1， =b4， =b9， =b16．即可得出．
11．（2017·上海）设a1、a2∈R，且 + =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于 ．
【答案】
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，
要使 + =2，
∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．
则： ，k1∈Z．
，即 ，k2∈Z．
那么：α1+α2=（2k1+k2）π ，k1、k2∈Z．
∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π ﹣（2k1+k2）π|的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】由题意，要使 + =2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值
12．（2017·上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为 ．
【答案】P1、P3、P4
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，
易知EFGH为平行四边形；如图所示，
四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，
即符合条件的直线lP一定经过点P2，
因此：经过点P2的直线有无数条；
同时经过点P1和P2的直线仅有1条，
同时经过点P3和P2的直线仅有1条，
同时经过点P4和P2的直线仅有1条，
所以符合条件的点为P1、P3、P4．
故答案为：P1、P3、P4．
【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论．
二、选择题
13．（2017·上海）关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式D为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二阶矩阵
【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式：
D= ．
故选：C．
【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．
14．（2017·上海）在数列{an}中，an=（﹣ ）n，n∈N*，则 an（ ）
A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在
【答案】B
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：数列{an}中，an=（﹣ ）n，n∈N*，
则 an= =0．
故选：B．
【分析】根据极限的定义，求出 an= 的值．
15．（2017·上海）已知a、b、c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．
∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．
故选：A．
【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+kx300+k，代入化简即可得出．
16．（2017·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： =1和C2：x2+ =1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是 的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}，则Ω中元素个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆C1： =1和C2：x2+ =1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，
可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，
则 =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），
当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，
则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}中的元素有无穷多对．
另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，
由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，
当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，
显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．
故选：D．
【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．
三、解答题
17．（2017·上海）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．
【答案】（1）解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：
V=S△ABC×AA1
=
= =20
（2）解：连结AM，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，
∴AA1⊥底面ABC，AM= = ，
∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，
tan∠A1MA= = = ，
∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1= ，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小．
18．（2017·上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+ ，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a= ，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：函数f（x）=cos2x﹣sin2x+
=cos2x+ ，x∈（0，π），
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ π≤x≤kπ，k∈Z，
k=1时， π≤x≤π，
可得f（x）的增区间为[ ，π）
（2）解：设△ABC为锐角三角形，
角A所对边a= ，角B所对边b=5，
若f（A）=0，即有cos2A+ =0，
解得2A= π，即A= π，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
化为c2﹣5c+6=0，
解得c=2或3，
若c=2，则cosB= ＜0，
即有B为钝角，c=2不成立，
则c=3，
△ABC的面积为S= bcsinA= ×5×3× =
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
19．（2017·上海）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an= ，bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【答案】（1）解：∵an= ，bn=n+5
∴a1=5×14+15=20
a2=5×24+15=95
a3=5×34+15=420
a4=﹣10×4+470=430
b1=1+5=6
b2=2+5=7
b3=3+5=8
b4=4+5=9
∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，
前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，
∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935
（2）解：令an≥bn，显然n≤3时恒成立，
当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤ ，
∴第42个月底，保有量达到最大．
当n≥4，{an}为公差为﹣10等差数列，而{bn}为等差为1的等比数列，
∴到第42个月底，单车保有量为 ×39+535﹣ ×42= ×39+535﹣ ×42=8782．
S42=﹣4×16+8800=8736．
∵8782＞8736，
∴第42个月底单车保有量超过了容纳量
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）计算出{an}和{bn}的前4项和的差即可得出答案；（2）令an≥bn得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．
20．（2017·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；
（2）设P（ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 ， ，求直线AQ的方程．
【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），
∵椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，
P为Γ上异于上、下顶点的动点，
P在第一象限，且|OP|= ，
∴联立 ，
解得P（ ， ）
（2）解：设M（x0，0），A（0，1），
P（ ），
若∠P=90°，则 ，即（x0﹣ ，﹣ ） （﹣ ， ）=0，
∴（﹣ ）x0+ ﹣ =0，解得x0= ．
如图，若∠M=90°，则 =0，即（﹣x0，1） （ ﹣x0， ）=0，
∴ =0，解得x0=1或x0= ，
若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．
∴点M的横坐标为 ，或1，或
（3）解：设C（2cosα，sinα），
∵ ，A（0，1），
∴Q（4cosα，2sinα﹣1），
又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），
∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，
整理得：x0= cosβ，
∵ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， =（﹣ cosβ，﹣sinβ）， ，
∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，
且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，
∴cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），
以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= ，或sinα=﹣1（舍去），
此时，直线AC的斜率kAC=﹣ = （负值已舍去），如图．
∴直线AQ为y= x+1．
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立 ，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（ ），由∠P=90°，求出x0= ；由∠M=90°，求出x0=1或x0= ；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0= cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．
21．（2017·上海）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．
（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．
【答案】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，
∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．
故a的范围是[0，+∞）
（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有
f（x0）=f（x0+Tk），
由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），
∴f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）．
又∵f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，并且
…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，
∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数
（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为Tg，则
h（x）=c1 g（x），则对任意x0∈R，
h（x0+Tg）=c1 g（x0+Tg）=c1 g（x0）=h（x0），
故h（x）是周期函数；
必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th．
若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，
x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1Tk＞x1，
∴f（x2+N1Tk）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1Tk）=h（x2）．
又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而
h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f（x2+N1Tk）＞0≠h（x2），矛盾．
综上，f（x）＞0恒成立．
由f（x）＞0恒成立，
任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg，
即[x0﹣Tg，x0] [x0﹣N2Th，x0]，
∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，
∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…=R．
h（x0）=g（x0） f（x0）=h（x0﹣N2Th）=g（x0﹣N2Th） f（x0﹣N2Th），
∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0．
因此若h（x0）=h（x0﹣N2Th），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2Th），且f（x0）=f（x0﹣N2Th）=c．
而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．
综上，必要性得证
【知识点】函数的周期性
【解析】【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+Tk），证明对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．
1 / 12017年高考数学真题试卷（上海卷）
一、填空题
1．（2017·上海）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．
2．（2017·上海）若排列数 =6×5×4，则m= ．
3．（2017·上海）不等式 ＞1的解集为 ．
4．（2017·上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．
5．（2017·上海）已知复数z满足z+ =0，则|z|= ．
6．（2017·上海）设双曲线 ﹣ =1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= ．
7．（2017·上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为（4，3，2），则 的坐标是 ．
8．（2017·上海）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）= 为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为 ．
9．（2017·上海）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣ ，③y=x3，④y=x ，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．
10．（2017·上海）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则 = ．
11．（2017·上海）设a1、a2∈R，且 + =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于 ．
12．（2017·上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为 ．
二、选择题
13．（2017·上海）关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式D为（ ）
A． B． C． D．
14．（2017·上海）在数列{an}中，an=（﹣ ）n，n∈N*，则 an（ ）
A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在
15．（2017·上海）已知a、b、c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0
16．（2017·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： =1和C2：x2+ =1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是 的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}，则Ω中元素个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个
三、解答题
17．（2017·上海）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．
18．（2017·上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+ ，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a= ，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
19．（2017·上海）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an= ，bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20．（2017·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；
（2）设P（ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 ， ，求直线AQ的方程．
21．（2017·上海）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．
（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．
答案解析部分
1．【答案】{3，4}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，
∴A∩B={3，4}．
故答案为：{3，4}．
【分析】利用交集定义直接求解．
2．【答案】3
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：∵排列数 =6×5×4，
∴由排列数公式得 ，
∴m=3．
故答案为：m=3．
【分析】利用排列数公式直接求解．
3．【答案】（﹣∞，0）
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由 ＞1得：
，
故不等式的解集为：（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．
4．【答案】9π
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：球的体积为36π，
设球的半径为R，可得 πR3=36π，
可得R=3，
该球主视图为半径为3的圆，
可得面积为πR2=9π．
故答案为：9π．
【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．
5．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z+ =0，
得z2=﹣3，
设z=a+bi（a，b∈R），
由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，
即 ，解得： ．
∴ ．
则|z|= ．
故答案为： ．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．
6．【答案】11
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： ﹣ =1，
其中a= =3，
则有||PF1|﹣|PF2||=6，
又由|PF1|=5，
解可得|PF2|=11或﹣1（舍）
故|PF2|=11，
故答案为：11．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．
7．【答案】（﹣4，3，2）
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵ 的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），
∴ ．
故答案为：（﹣4，3，2）．
【分析】由 的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．
8．【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：若g（x）= 为奇函数，
可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，
由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），
则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，
由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），
且f﹣1（x）=2，
可由f（2）=1﹣3﹣2= ，
可得f﹣1（x）=2的解为x= ．
故答案为： ．
【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
9．【答案】
【知识点】函数的图象；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣ ，③y=x3，④y=x ，
从四个函数中任选2个，基本事件总数n= ，
③④有两个公共点（0，0），（1，1）．
事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：
①③，①④共2个，
∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）= = ．
故答案为： ．
【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n= ，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．
10．【答案】2
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：∵an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项，
∴ = = ．
∴b1=a1=1， =b4， =b9， =b16．
∴b1b4b9b16= ．
∴ =2．
故答案为：2．
【分析】an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项，可得 = = ．于是b1=a1=1， =b4， =b9， =b16．即可得出．
11．【答案】
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，
要使 + =2，
∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．
则： ，k1∈Z．
，即 ，k2∈Z．
那么：α1+α2=（2k1+k2）π ，k1、k2∈Z．
∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π ﹣（2k1+k2）π|的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】由题意，要使 + =2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值
12．【答案】P1、P3、P4
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，
易知EFGH为平行四边形；如图所示，
四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，
即符合条件的直线lP一定经过点P2，
因此：经过点P2的直线有无数条；
同时经过点P1和P2的直线仅有1条，
同时经过点P3和P2的直线仅有1条，
同时经过点P4和P2的直线仅有1条，
所以符合条件的点为P1、P3、P4．
故答案为：P1、P3、P4．
【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论．
13．【答案】C
【知识点】二阶矩阵
【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式：
D= ．
故选：C．
【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．
14．【答案】B
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：数列{an}中，an=（﹣ ）n，n∈N*，
则 an= =0．
故选：B．
【分析】根据极限的定义，求出 an= 的值．
15．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．
∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．
故选：A．
【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+kx300+k，代入化简即可得出．
16．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆C1： =1和C2：x2+ =1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，
可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，
则 =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），
当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，
则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}中的元素有无穷多对．
另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，
由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，
当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，
显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．
故选：D．
【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．
17．【答案】（1）解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：
V=S△ABC×AA1
=
= =20
（2）解：连结AM，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，
∴AA1⊥底面ABC，AM= = ，
∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，
tan∠A1MA= = = ，
∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1= ，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小．
18．【答案】（1）解：函数f（x）=cos2x﹣sin2x+
=cos2x+ ，x∈（0，π），
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ π≤x≤kπ，k∈Z，
k=1时， π≤x≤π，
可得f（x）的增区间为[ ，π）
（2）解：设△ABC为锐角三角形，
角A所对边a= ，角B所对边b=5，
若f（A）=0，即有cos2A+ =0，
解得2A= π，即A= π，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
化为c2﹣5c+6=0，
解得c=2或3，
若c=2，则cosB= ＜0，
即有B为钝角，c=2不成立，
则c=3，
△ABC的面积为S= bcsinA= ×5×3× =
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
19．【答案】（1）解：∵an= ，bn=n+5
∴a1=5×14+15=20
a2=5×24+15=95
a3=5×34+15=420
a4=﹣10×4+470=430
b1=1+5=6
b2=2+5=7
b3=3+5=8
b4=4+5=9
∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，
前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，
∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935
（2）解：令an≥bn，显然n≤3时恒成立，
当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤ ，
∴第42个月底，保有量达到最大．
当n≥4，{an}为公差为﹣10等差数列，而{bn}为等差为1的等比数列，
∴到第42个月底，单车保有量为 ×39+535﹣ ×42= ×39+535﹣ ×42=8782．
S42=﹣4×16+8800=8736．
∵8782＞8736，
∴第42个月底单车保有量超过了容纳量
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）计算出{an}和{bn}的前4项和的差即可得出答案；（2）令an≥bn得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．
20．【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），
∵椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，
P为Γ上异于上、下顶点的动点，
P在第一象限，且|OP|= ，
∴联立 ，
解得P（ ， ）
（2）解：设M（x0，0），A（0，1），
P（ ），
若∠P=90°，则 ，即（x0﹣ ，﹣ ） （﹣ ， ）=0，
∴（﹣ ）x0+ ﹣ =0，解得x0= ．
如图，若∠M=90°，则 =0，即（﹣x0，1） （ ﹣x0， ）=0，
∴ =0，解得x0=1或x0= ，
若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．
∴点M的横坐标为 ，或1，或
（3）解：设C（2cosα，sinα），
∵ ，A（0，1），
∴Q（4cosα，2sinα﹣1），
又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），
∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，
整理得：x0= cosβ，
∵ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， =（﹣ cosβ，﹣sinβ）， ，
∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，
且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，
∴cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），
以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= ，或sinα=﹣1（舍去），
此时，直线AC的斜率kAC=﹣ = （负值已舍去），如图．
∴直线AQ为y= x+1．
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立 ，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（ ），由∠P=90°，求出x0= ；由∠M=90°，求出x0=1或x0= ；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0= cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．
21．【答案】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，
∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．
故a的范围是[0，+∞）
（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有
f（x0）=f（x0+Tk），
由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），
∴f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）．
又∵f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，并且
…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，
∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数
（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为Tg，则
h（x）=c1 g（x），则对任意x0∈R，
h（x0+Tg）=c1 g（x0+Tg）=c1 g（x0）=h（x0），
故h（x）是周期函数；
必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th．
若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，
x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1Tk＞x1，
∴f（x2+N1Tk）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1Tk）=h（x2）．
又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而
h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f（x2+N1Tk）＞0≠h（x2），矛盾．
综上，f（x）＞0恒成立．
由f（x）＞0恒成立，
任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg，
即[x0﹣Tg，x0] [x0﹣N2Th，x0]，
∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，
∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…=R．
h（x0）=g（x0） f（x0）=h（x0﹣N2Th）=g（x0﹣N2Th） f（x0﹣N2Th），
∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0．
因此若h（x0）=h（x0﹣N2Th），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2Th），且f（x0）=f（x0﹣N2Th）=c．
而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．
综上，必要性得证
【知识点】函数的周期性
【解析】【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+Tk），证明对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．
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