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14.3.1提公因式法
一、单选题
1．在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2
B．
C．6
D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．
【详解】设，
∵
，
∴，，
，
解得，，．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
2．下列各式由左边到右边是因式分解且分解结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【详解】A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、，原式分解不正确，故B不符合题意；
C、，分解正确，故C符合题意；
D、，原式分解不正确，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
3．下列从左到右是因式分解的是（
）．
A．（a＋b）（a－b）＝a2－b2
B．（a＋b）2
＝a2＋2ab＋b2
C．（x＋2）（x－5）＝x2－3x＋10
D．x2＋2x－15＝（x－3）（x＋5）
【答案】D
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】A、是整式的乘法，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、符合因式分解，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
4．下列等式中，从左到右的变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别对各选项进行变形，然后对照进行判断即可得到答案．
【详解】A、，原选项变形错误，故不符合题意；
B、，原选项变形错误，故不符合题意；
C、，原选项变形正确，故符合题意；
D、，原选项变形错误，故不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的乘法和因式分解，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
5．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（
）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．
【详解】①，从左到右的变形是整式的乘法；②，从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②因式分解．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．
6．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．
【详解】A、，不是分解因式；
B、，不是分解因式；
C、，是分解因式；
D、，不是分解因式；
故选：C．
【点评】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键．
7．下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
D．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
【答案】B
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【详解】A．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
C．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解的定义.掌握其定义是解答此题的关键.
8．（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ）
A．﹣22019
B．﹣22020
C．22019
D．﹣2
【答案】C
【分析】直接提取公因式（?2）2019，进而计算得出答案．
【详解】（?2）2019＋（?2）2020＝（?2）2019×（1?2）＝22019．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
二、填空题
9．多项式，与的公因式为______．
【答案】
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故答案：．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
10．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】由可得可得：即再把分解因式，再整体代入求值即可．
【详解】
，
故答案为：
【点评】本题考查的是整式的乘法，多项式的恒等，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．
11．多项式因式分解后有一个因式是，则_______．
【答案】
【分析】由于x的多项式y2+2y+m分解因式后有一个因式是(y-1)，所以当y=1时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】∵多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式为（y-1），
∵当y=1时多项式的值为0，
即1+2+m=0，
解得m=-3．
故答案为：-3．
【点评】本题考查了因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
12．已知x2－3x－1＝0，则2x3－3x2－11x＋1＝________．
【答案】4
【分析】根据x2－3x－1＝0可得x2－3x＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．
【详解】∵x2－3x－1＝0，
∴x2－3x＝1，
∴
=
=
将x2－3x＝1代入
原式=
=
将x2－3x＝1代入
原式=，
故答案为：4．
【点评】本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想．
三、解答题
13．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．
则＝＋（n＋2）x＋2n，
∴n＋2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x＋3，m的值为6
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝
；
（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝
；
（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为＋x＋3，k的值为5．
【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可；
（2）仿照题干中给出的方法计算即可；
（3）设出另一个因式为（），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即可．
【详解】（1）∵
＝
＝．
∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，
解得：a＝﹣4.
（2）∵
＝．
＝．
∴b＝﹣1．
（3）设另一个因式为（），得．
对比左右两边三次项系数可得：a＝1．
于是．
则．
∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．
解得：c＝3，b＝1，k＝5．
故另一个因式为，k的值为5．
【点评】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
14．解答下列各题：
（1）计算：
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式分别计算前后两部分，然后进行加减运算即可；
（2）先提取公因式5m，再利用平方差公式计算．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点评】本题考查整式的混合运算和因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式的法则．
15．将下列各式因式分解：
（1）；
（2）（x﹣y）+6xy（y﹣x）+9（x﹣y）．
【答案】（1）x（x+2y）（x-2y）；（2）（x﹣y）．
【分析】（1）先提取公因式x，后变形成为，用平方差公式分解即可；
（2）先将6xy（y﹣x）变形为－6xy（ｘ﹣ｙ），后提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）
=
=
=x（x+2y）（x-2y）；
（2）（x﹣y）+6xy（y﹣x）+9（x﹣y）
=（x﹣y）－6xy（x﹣y）+9（x﹣y）
=（x﹣y）（－6xy+9）
=（x﹣y）．
【点评】本题考查了提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法分解因式，熟练掌握先提后套用公式分解因式是解题的关键．
16．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．
类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．
（5）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）由大的正方体的体积为
截去的小正方体的体积为
从而可得答案；
（2）由利用长方体的体积公式直接可得答案；
（3）提取公因式，即可得到答案；
（4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案；
（5）利用先求解
再利用，再整体代入求值即可得到答案．
【详解】（1）由大的正方体的体积为
截去的小正方体的体积为
所以截去后得到的几何体的体积为：
故答案为：
（2）
由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为，
所以长方体③的体积为
故答案为：，
（3）由题意得：
故答案为：
（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：
故答案为：
（5）
，，
，
【点评】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键．
17．已知
（1）求的值
（2）求的值
【答案】（1）84；（2）25．
【分析】（1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得；
（2）利用完全平方公式进行变形求值即可得．
【详解】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
【点评】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键．
18．设，，且．求的值．
【答案】1．
【分析】由，可得，令，由变形得可得因式分解，由，，可得．
【详解】∵，
∴，或一正，两负，
说明x，y，z同号，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点评】本题考查立方根条件求值问题，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题关键．
19．已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）68
【分析】（1）根据完全平方公式的变形公式（x﹣y）2=(x+y)2﹣4xy进行求解即可；
（2）利用完全平方公式求解x2+y2，再将所求代数式因式分解，进而代入数值即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴（x﹣y）2=(x+y)2﹣4xy=52﹣4×4=9，
∴x﹣y=±3；
（2）∵（x+y）2=
x2+y2+2xy，
∴x2+y2=52﹣2×4=17，
∴=xy(x2+y2)=4×17=68．
【点评】本题考查代数式求值、完全平方公式、平方根、因式分解、有理数的混合运算，熟记完全平方公式，灵活运用公式是解答的关键．
20．仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
，，
解得，，
∴另一个因式为，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式可分解为，则________；
（2）若二次三项式可分解为，则________；
（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5．
【分析】（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【详解】（1）∵＝x2+（a﹣1）x﹣a＝，
∴a﹣1＝﹣5，
解得：a＝﹣4；
故答案是：﹣4
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，
∴b＝﹣1．
故答案是：﹣1．
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），
则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，
∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，
解得n＝5，k＝5，
∴另一个因式为x+5，k的值为5．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
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14.3.1提公因式法
一、单选题
1．在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2
B．
C．6
D．
2．下列各式由左边到右边是因式分解且分解结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列从左到右是因式分解的是（
）．
A．（a＋b）（a－b）＝a2－b2
B．（a＋b）2
＝a2＋2ab＋b2
C．（x＋2）（x－5）＝x2－3x＋10
D．x2＋2x－15＝（x－3）（x＋5）
4．下列等式中，从左到右的变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（
）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
6．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
D．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
8．（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ）
A．﹣22019
B．﹣22020
C．22019
D．﹣2
二、填空题
9．多项式，与的公因式为______．
10．已知，则的值为______．
11．多项式因式分解后有一个因式是，则_______．
12．已知x2－3x－1＝0，则2x3－3x2－11x＋1＝________．
三、解答题
13．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．
则＝＋（n＋2）x＋2n，
∴n＋2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x＋3，m的值为6
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝
；
（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝
；
（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
14．解答下列各题：
（1）计算：
（2）分解因式：．
15．将下列各式因式分解：
（1）；
（2）（x﹣y）+6xy（y﹣x）+9（x﹣y）．
16．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．
类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．
（5）已知，，求的值．
17．已知
（1）求的值
（2）求的值
18．设，，且．求的值．
19．已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
20．仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
，，
解得，，
∴另一个因式为，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式可分解为，则________；
（2）若二次三项式可分解为，则________；
（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
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