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15.1.2分式的基本性质
一、单选题
1．下列约分计算结果正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
①，②，③，④，⑤，⑥．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．多项式x2－6x＋9是完全平方式
B．若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
C．分式是最简分式
D．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题
4．化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列关于分式的各种说法中，错误的是（
）．
A．当时，分式无意义
B．当时，分式的值为负数
C．当时，分式的值为正数
D．当时，分式的值为
7．下列命题中，属于真命题的是（
）
A．如果，那么
B．是最简分式
C．直角三角形的两个锐角互余
D．不是对顶角的两个角不相等
8．若，则下列分式化简中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．已知、、、、、都为正数，，，，，，，则________．
10．已知，则分式的值为______．
11．已知，求__________．
12．将分式的分子、分母各项系数化为整数，其结果为_______________．
三、解答题
13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：=
=1+．
（1）请写出分式的基本性质 ；
（2）下列分式中，属于真分式的是 ；
A． B． C．﹣ D．
（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．
14．约分
（1）；
（2）；
（3）．
15．先约分，再求值：
其中.
16．已知，求A、B的值.
17．若分式的和化简后是整式，则称是一对整合分式．
（1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由；
（2）已知分式M，N是一对整合分式，，直接写出两个符合题意的分式N．
18．已知．
（1）用含z的代数式表示x，y；
（2）求的值．
19．一个矩形的面积为，如果它的一边为，求这个矩形的周长．
20．阅读理解：对于二次三项式a2+2ab+b2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b）2．而对于二次三项式a2+4ab﹣5b2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法：
a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2，
＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）．
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
解决问趣：
（1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式；
（2）如图，边长为a的正方形纸片1张，边长为b的正方形纸片8张，长为a，宽为b的长方形纸片6张，这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图；
（3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式与的大小．
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15.1.2分式的基本性质
一、单选题
1．下列约分计算结果正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可．
【详解】∵与a+b没有公因式，
∴无法计算，
∴的计算是错误的，
∴选项A不符合题意；
∵a+m与a+n没有公因式，
∴无法计算，
∴的计算是错误的；
∴选项B不符合题意；
∵-a+b=
-(a+b)与a+b的公因式是a+b，
∴，
∴选项C符合题意；
∵，
∴的计算是错误的；
∴选项D不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键．
2．下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
①，②，③，④，⑤，⑥．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
【详解】①，③，④，⑤，可约分，不是最简分式；
②，⑥分子分母没有公因式，是最简分式，一共有二个；
故选：B．
【点评】本题考查了最简分式，解题关键是明确最简分式的定义，准确判断分子分母是否含有公因式．
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．多项式x2－6x＋9是完全平方式
B．若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
C．分式是最简分式
D．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题
【答案】A
【分析】根据完全平方公式、直角三角形性质、分式化简、和对顶角相等的逆命题进行判断即可．
【详解】∵x2－6x＋9=（x－3）2，故A选项是真命题；
∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故B选项是假命题；
∵，故C选项是假命题；
“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D选项是假命题；
故选：A
【点评】本题考查了分式的性质、完全平方公式、直角三角形性质、逆命题，解题关键是熟练掌握相关知识，准确进行判断．
4．化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分母因式分解，再约分即可．
【详解】，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的约分，解题关键是把多项式因式分解，然后熟练运用分式基本性质进行约分．
5．若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】A、=，故A的值保持不变．
B、，故B的值不能保持不变．
C、，故C的值不能保持不变．
D、，故D的值不能保持不变．
故选：A．
【点评】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．下列关于分式的各种说法中，错误的是（
）．
A．当时，分式无意义
B．当时，分式的值为负数
C．当时，分式的值为正数
D．当时，分式的值为
【答案】B
【分析】根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】当时，分式无意义，选项A正确；
当时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B错误；
当时，，分式的值为正数，选项C正确；
当时，，分式的值为，选项D正确；
故选：B．
【点评】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解．
7．下列命题中，属于真命题的是（
）
A．如果，那么
B．是最简分式
C．直角三角形的两个锐角互余
D．不是对顶角的两个角不相等
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．
【详解】A.
如果
ab=0，那么a=0或b=0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B.
，故不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；
C.
直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D.
不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．
8．若，则下列分式化简中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题；
【详解】∵
A、
，故该选项错误；
B、
，故该选项错误；
C、
，故该选项正确；
D、
，故该选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题时需要熟练掌握分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键；
二、填空题
9．已知、、、、、都为正数，，，，，，，则________．
【答案】
【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．
【详解】由，，，，，，可将每个等式的左右两边相乘得：
，
∴，
，
∴，
同理可得：，，，，，
∴；
故答案为．
【点评】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键．
10．已知，则分式的值为______．
【答案】
【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】∵，
∴x-y=4xy，
∴原式=，
故答案为：
．
【点评】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．
11．已知，求__________．
【答案】4
【分析】将分式整理成，根据可得，代入分式并约分即可求解．
【详解】∵，
∴
∴
，
故答案为：4．
【点评】本题考查分式的性质，将分式整理成的形式是解题的关键．
12．将分式的分子、分母各项系数化为整数，其结果为_______________．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数6，分式的值不变，并且其分子、分母各项系数化为整数．
【详解】．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
三、解答题
13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：=
=1+．
（1）请写出分式的基本性质 ；
（2）下列分式中，属于真分式的是 ；
A． B． C．﹣ D．
（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．
【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C；（3）=m﹣1+
【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；
（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断即可；
（3）先把转化为得到，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式．
【详解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．
（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式，
故选：C．
（3）∵=m﹣1+，
∴故答案为：m﹣1+．
【点评】本题考察了分式的基本性质以及未知数的次数问题，解答本题的关键是熟悉掌握未知数次数的判断以及分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．
14．约分
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）m；（3）
【分析】（1）约去分子分母的公因式即可得到结果；
（2）将分子进行因式分解，约去公因式（）即可得到结果；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．
【详解】（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝m；
（3）
＝
＝．
【点评】此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式．
15．先约分，再求值：
其中.
【答案】
【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案．
【详解】原式=
=
=
当时
原式==．
【点评】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型．
16．已知，求A、B的值.
【答案】A=，
B=
【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.
【详解】∵
,
又∵，
∴，
∴
，
解得.
∴A=，
B=.
【点评】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.
17．若分式的和化简后是整式，则称是一对整合分式．
（1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由；
（2）已知分式M，N是一对整合分式，，直接写出两个符合题意的分式N．
【答案】（1）是一对整合分式，理由见解析；（2）答案不唯一，如．
【分析】（1）根据整合分式的定义即可求出答案．
（2）根据整合分式的定义以及分式的运算法则即可求出答案．
【详解】（1）是一对整合分式，理由如下：
∵，
满足一对整合分式的定义，
与是一对整合分式．
（2）答案不唯一，如．
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．已知．
（1）用含z的代数式表示x，y；
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据加减消元法解关于x、y的方程组即可
（2）将（1）中的结果代入分式中进行运算即可
【详解】（1）
①②得，解得．
把代入①，得，
解得．
（2）．
【点评】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x、y看作未知数解方程组是解题的关键
19．一个矩形的面积为，如果它的一边为，求这个矩形的周长．
【答案】这个矩形的周长为：
【分析】根据整式的除法运算法则与合并同类项法则，即可求解．
【详解】∵矩形的一边长为，面积为，
∴矩形的另一边长为：
∴该矩形的周长为：
．
答：这个矩形的周长为：．
【点评】本题主要考查整式的除法法则与加法法则，掌握因式分解与合并同类项法则，是解题的关键．
20．阅读理解：对于二次三项式a2+2ab+b2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b）2．而对于二次三项式a2+4ab﹣5b2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法：
a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2，
＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）．
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
解决问趣：
（1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式；
（2）如图，边长为a的正方形纸片1张，边长为b的正方形纸片8张，长为a，宽为b的长方形纸片6张，这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图；
（3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式与的大小．
【答案】（1）（a+2b）（a+4b）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目的引导，先分组，后运用公式法对原式进行因式分解；
（2）根据第一问的因式分解结果，对图形进行排列即可；
（3）对两个分式的分子和分母分别进行因式分解，然后对分式进行化简并比较大小.
【详解】（1）原式＝a2+6ab+9a2﹣b2＝（a+3b）2﹣b2＝（a+3b﹣b）（a+3b+b）＝（a+2b）（a+4b）；
（2）如图：
（3）；；
∵x＞0，
∴x+4＜x+6，
∴.
【点评】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解化简分式，根据分母大，分数值反而小来比较大小是解题的关键.
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