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15.2.3整数指数幂
一、单选题
1．下列各式计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】运用合并同类项及幂的有关运算法则逐一检查，排除不合题意选项，选出符合题意选项．
【详解】对于A、运用合并同类项法则得不是，故运算错误；
对于B、运用积的乘法法则和幂的乘方法则得不是，故运算错误；
对于C、运用同底数幂相乘法则得不是，故运算错误；
对于D、运用负指数定义和幂的乘方法则得，故运算正确．
综上所述，只有D选项运算正确，符合题意．
故选：D
【点评】此题考查与幂相关的运算法则．不要把同底数幂相乘和合并同类项相混淆，熟悉幂的运算法则和负指数的意义是关键．
2．H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米=0.000
000
001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】B
【分析】由于1纳米=10-9米，则30纳米=30×10-9米，然后根据幂的运算法则计算即可．
【详解】1纳米=0.000
000
001米=10-9米，
30纳米=30×10-9米=3×10-8米．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法-表示较小的数：用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．
3．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
指数
运算
…
31=3
…
新运
算
=1
=2
=3
…
=1
=2
=3
…
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③，其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【分析】根据题中的新定义法则判断即可．
【详解】根据题意得：①log416=log442=2，故①正确；
②，故②错误
③，故③正确．
∴正确的式子是①③，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘方运算和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．据悉，华为Mate40
Pro和华为Mate40
Pro+搭载业界首款麒麟芯片，其中就是．将数据用科学记数法表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中；
【详解】0.000000005=
，
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法的形式，正确理解科学记数法是解题的关键；
5．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007毫米2，0.0000007这个数用科学记数法表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据科学记数法表示即可；科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．
【详解】0.000
000
7=7×10-7．
故选：A．
【点评】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．黄种人头发直径约为85微米，已知1纳米=10-3微米，数据“85微米”用科学记数法可以表示为（
）
A．纳米
B．纳米
C．纳米
D．纳米
【答案】C
【分析】把微米转化为纳米，再写成科学记数法即可．
【详解】85微米==85×103纳米=8.5×104纳米．
故选：C．
【点评】本题考查了单位转换和科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法，合并同类项的运算法则逐一判断即可．
【详解】，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了整式的运算，幂的乘方、同底数幂乘法，合并同类项，关键是掌握各部分的运算法则．
8．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据整数指数幂的运算法则计算，然后判断即可．
【详解】A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了整数指数幂的运算，解题关键是按照整数指数幂的运算法则进行计算，会进行负指数的运算．
二、填空题
9．计算：__________（要求结果用正整数指数幂表示）．
【答案】
【分析】先利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，再利用负整数指数幂的性质，将结果用正整数指数幂表示即可．
【详解】
故答案为：
【点评】本题考查负整数指数幂和同底数幂的乘法法则，解答本题的关键是利用运算法则解答问题．
10．如果，，那么__________．
【答案】4
【分析】根据同底幂的除法法则计算．
【详解】原式=，
故答案为4．
【点评】本题考查同底幂的运算，熟练掌握同底幂的除法法则并能逆用是解题关键．
11．已知：且代数式的值为9，那么的值是____________．
【答案】
【分析】根据题意可以求得m的值和y-x的值，从而可以解答本题．
【详解】∵且代数式的值为9，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查完全平方式的应用和负整数指数幂，解答本题的关键是明确意义，求出m的值．
12．人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国某种芯片的制作工艺已达到28纳米，居世界前列．已知1纳米＝1×10﹣9米，则28纳米等于多少米？将其结果用科学记数法表示为_____．
【答案】2.8×10-8米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将28纳米用科学记数法表示为2.8×10-8米，
故答案为：2.8×10-8米．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
三、解答题
13．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2；（2）3
【分析】（1）根据正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂计算法则计算即可；
（2）原式变形后，根据同分母分式的加减法则计算即可得到结果．
【详解】（1）原式；
（2）原式，
，
．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂计算法则是解题关键．
14．先化简，再解答下列问题：
（1）当a＝20210时，求原式的值；
（2）若原式的值是正整数，则求出对应的a的值．
【答案】（1）3；（2）0或1．
【分析】将分式分子分母利用提公因式，平方差以及完全平方公式，先乘除，后加减，最后得出化简的结果；
（1）因为a＝20210=1，代入化简后的式子求解出答案即可；
（2）要使值为正整数，故分母要为负数且能够被6整除，能得出答案，再结合分式有意义就可得出最终答案．
【详解】原式=
=
=
=
=
=
（1）因为a＝20210=1，代入原式==3
（2）因为要使值为正整数，故分母要为负数且能够被6整除
所以a-3的值可以是-6，-3，-2，-1
故a=-3，0，1或2．
当a=-3或2的时候，原分式没有意义
故a的值取0或1．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值以及0次方，熟练平方差以及完全平方公式是解决本题的关键．
15．某超市有线上和线下两种销售方式，与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．
（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的销售总额、线上销售额、线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
2020年4月份
（2）求2020年4月份线下销售额与当月销售总额的比值．
【答案】（1）；，；（2）．
【分析】（1）2019年4月份的销售总额为元乘以(1+10%)即可得到2020年4月份销售总额，用2019年4月线上销售额为元乘以（1+43%）即可得到2020年4月份线上销售额，用2019年的销售总额减去线上销售额再乘以即可2020年4月份线下销售额；
（2）根据2020年销售总额与线上线下销售额的关系得到，再列式比较即可得到答案.
【详解】（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长，
该超市2020年4月份线下销售额为元．
∵2019年4月线上销售额为元，2020年4月份，线上销售额增长，
∴2020年4月份线上销售额（1+43%）x=1.43x，
∵2019年4月份的销售总额为元，该超市2020年4月份销售总额增长，
∴2020年4月份的销售总额(1+10%)=
1.1a，
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
2020年4月份
（2）依题意，得：，
解得：，
．
答：2020年4月份线下销售额与当月销售总额的比值为0.8．
【点评】本题考查整式与实际问题的应用，一元一次方程与实际问题，列代数式，整式的除法计算，正确理解题意是解题的关键．
16．先化简，再求值：，其中．
【答案】；1
【分析】先算分式的加法运算，再算除法运算，进行化简，最后代入求值，即可．
【详解】原式＝
＝
＝
＝，
当时，代入原式，
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键．
17．先化简，再求值：÷（），其中x=20200+2﹣2．
【答案】，．
【分析】先利用提公因式法和公式法把的分子分母进行因式分解，再根据分式的加减法计算括号内的因式，最后把除法变乘法约最简，在根据零指数幂和负整数指数幂计算出的值，代入最简分式即可得到答案．
【详解】
，
当，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则和因式分解，以及零指数幂和负整数指数幂的运算是解题关键．
18．（1）你发现了吗？由上述计算，我们发现（）2 （）﹣2；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断（）3与（）﹣3之间的关系．
（3）我们可以发现： （ab≠0）
（4）计算：．
【答案】（1）＝；（2）；（3）＝；（4）16
【分析】（1）根据计算可以得到答案；
(2)分别计算出
的值即可得到结果；
（3）分别计算出
的值即可得到结果；
(4)根据（3）的结果计算即可
．
【详解】（1）∵
∴，
故答案为＝；
（2）∵
∴
（3）由（1）、（2）知，
故答案为＝；
（4）原式＝
＝
＝
＝16×1
＝16．
【点评】本题考查负整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题关键．
19．（1）计算：
（2）解方程组：
（3）如下图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
①请在图中作出关于y轴对称的并直接写出，，的坐标；
②作点A关于x轴的对称点D，直接写出四边形ABDC的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）①见解析；，，；②见解析；四边形ABDC的面积是15．
【分析】（1）首先计算开方、零指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可；
（3）①分别作出点A，B，C的对称点A′，B′，C′，顺次连接即可得；
②利用割补法求解可得．
【详解】（1）
（2）
由②，得③
①×4，得④
③×3，得⑤
⑤-④，得
将代入①，得
所以原方程组的解是
（3）①如图所示：即为所求；
，，
②如图所示，点D即为所求
四边形ABDC的面积=
=15
【点评】此题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组的方法以及轴对称变换的作图，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用和熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将括号里通分化简，再将除法变为乘法，同时分子、分母因式分解，然后约分化简，再求出x值代入计算即可．
【详解】
=
=，
∵=1+2=3，
∴原式==．
【点评】本题考查了分式的化简求值、因式分解、平方差公式、完全平方公式、零指数幂、算术平方根，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．
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15.2.3整数指数幂
一、单选题
1．下列各式计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米=0.000
000
001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
3．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
指数
运算
…
31=3
…
新运
算
=1
=2
=3
…
=1
=2
=3
…
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③，其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
4．据悉，华为Mate40
Pro和华为Mate40
Pro+搭载业界首款麒麟芯片，其中就是．将数据用科学记数法表示为（
）
A．
B．
C．
D．
5．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007毫米2，0.0000007这个数用科学记数法表示为（
）
A．
B．
C．
D．
6．黄种人头发直径约为85微米，已知1纳米=10-3微米，数据“85微米”用科学记数法可以表示为（
）
A．纳米
B．纳米
C．纳米
D．纳米
7．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．计算：__________（要求结果用正整数指数幂表示）．
10．如果，，那么__________．
11．已知：且代数式的值为9，那么的值是____________．
12．人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国某种芯片的制作工艺已达到28纳米，居世界前列．已知1纳米＝1×10﹣9米，则28纳米等于多少米？将其结果用科学记数法表示为_____．
三、解答题
13．计算：
（1）
（2）
14．先化简，再解答下列问题：
（1）当a＝20210时，求原式的值；
（2）若原式的值是正整数，则求出对应的a的值．
15．某超市有线上和线下两种销售方式，与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．
（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的销售总额、线上销售额、线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
2020年4月份
（2）求2020年4月份线下销售额与当月销售总额的比值．
16．先化简，再求值：，其中．
17．先化简，再求值：÷（），其中x=20200+2﹣2．
18．（1）你发现了吗？由上述计算，我们发现（）2 （）﹣2；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断（）3与（）﹣3之间的关系．
（3）我们可以发现： （ab≠0）
（4）计算：．
19．（1）计算：
（2）解方程组：
（3）如下图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
①请在图中作出关于y轴对称的并直接写出，，的坐标；
②作点A关于x轴的对称点D，直接写出四边形ABDC的面积．
20．先化简，再求值：，其中．
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