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15.3分式方程
一、单选题
1．已知关于的不等式组无解，关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（
）
A．6
B．8
C．10
D．13
2．石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若设该活动小组原有x人，则所列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知关于x的方程＝3的解是正数，那么m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣6且m≠2
B．m＜6且m≠2
C．m＞﹣6且m≠﹣4
D．m＜6且m≠﹣2
5．有一段全长为800米的公路，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加10%，?结果提前3天完成这一任务，设原计划每天整改x米，则下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若关于x的方程有增根，则m的值为（
）
A．不存在
B．6
C．12
D．6或12
7．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程﹣1＝的解为正整效，则满足条件的所有整数a的和为（
）
A．﹣3
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣11
8．已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
9．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树_____棵．
10．若关于的分式方程无解，则的值是______．
11．若关于x的分式方程有增根，则a＝__________．
12．已知方程，且关于x的不等式组只有3个整数解，那么的取值范围是_______．
三、解答题
13．某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如下图所示：
（1）从上述统计图中可知：①每人每分钟擦课桌椅______；
②擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是________，_______，________；
（2）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能同时地完成任务．
14．已知关于x的方程的解为非负数，求的取值范围．
15．2020年春，湖北省武汉市爆发新冠疫情，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
16．解下列方程：
（1）；
（2）
17．某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多4.5元，且用12000元购买A型口罩的数量与用3000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的4倍，若总费用不超过6000元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
18．用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差，已知“畅想号”的平均速度为．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，在此种情况下，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
19．3月12日是植树节，重庆市第一实验中学开展了“我与自然——一实农场”的活动：初一、初二年级以班级为单位，各自开辟了一块菜园种植蔬菜．初二某班学生经商量计划购买番茄苗和茄子苗共100株，经了解茄子苗的单价是番茄苗单价的，若花80元购进番茄苗，则购买茄子苗需要90元．
（1）求番茄苗和茄子苗的单价；
（2）班长在购买菜苗时了解到，在当前种植条件下，番茄的成活率为，一株番茄苗大约能结8个番茄，茄子的存活率为，一株茄子苗大约能结5个茄子，班长决定再多购买番茄和茄子苗共20株，但是不能超过预算210元，且番茄苗的总数量不低于茄子苗总数量的，班长最终应该如何购买，才能使所结的果实数量最多．
20．已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围．
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15.3分式方程
一、单选题
1．已知关于的不等式组无解，关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（
）
A．6
B．8
C．10
D．13
【答案】D
2．石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若设该活动小组原有x人，则所列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据总费用÷总人数为人均分摊费用，计算两次的分摊费用，后根据题意列出方程即可
【详解】设该活动小组原有x人，则出发后的人数为（x+2）人，根据题意，得
，
故选B
【点评】本题考查了分式方程解应用题，熟练掌握列分式方程的基本要领是解题的关键．
3．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据第一次进书的总钱数÷第一次购进套数＝第二次进书的总钱数÷第二次购进套数列方程可得．
【详解】若设书店第一次购进该科幻小说x套，
由题意列方程正确的是，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
4．已知关于x的方程＝3的解是正数，那么m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣6且m≠2
B．m＜6且m≠2
C．m＞﹣6且m≠﹣4
D．m＜6且m≠﹣2
【答案】C
【分析】先求得分式方程的解（含m的式子），然后根据解是正数可知m+6＞0，从而可求得m＞-6，然后根据分式的分母不为0，可知x≠2，即m+6≠2，由此即可求解．
【详解】将分式方程转化为整式方程得：2x+m=3x-6
解得：x=m+6．
∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m＞-6．
∵分式的分母不能为0，
∴x-2≠0，
∴x≠2，即m+6≠2．
∴m≠-4．
故m＞-6且m≠-4．
故选C．
【点评】本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m的不等式是解题的关键．
5．有一段全长为800米的公路，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加10%，?结果提前3天完成这一任务，设原计划每天整改x米，则下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】用x表示出计划和实际完成的时间，再结合实际比计划提前3天完成任务作为等量关系列方程即可．
【详解】实际每天整改米，则实际完成时间天，计划完成时间天，
∵实际比计划提前3天完成任务
∴得方程．
故选C．
【点评】本题考查了分式方程的应用．列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，找出等量关系，因此需围绕题中关键词进行分析．
6．若关于x的方程有增根，则m的值为（
）
A．不存在
B．6
C．12
D．6或12
【答案】D
【分析】根据增根的定义确定x的值，把分式方程去分母后，代入即可求m的值．
【详解】，
去分母得，
∵方程有增根，
当时，；
当时，，；
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，解题关键是明确增根的意义，确定未知数的值．
7．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程﹣1＝的解为正整效，则满足条件的所有整数a的和为（
）
A．﹣3
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣11
【答案】C
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】不等式组整理得：，
由解集为x＞7，得到2﹣a≤7，
解得a≥﹣5，
分式方程去分母得：ay+5﹣y
+3＝﹣4，
解得：y＝，
∵y为正整数解，且y≠3，
∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，﹣11，
又∵a≥﹣5，
∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，
∴满足条件的整数a的和为﹣8．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】根据分式方程的解为正整数即可得出a＞，且a≠3，根据不等式组有解，即可得a＜9，找出所有符合条件的正整数，a的个数为2．
【详解】解方程得：，
∵分式方程的解为正整数，
∴2a＋3＞0，即a＞－，
又y≠3，
∴≠3，即a≠3，
则a＞，且a≠3，
，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥，
∵此不等式组有解，
∴＜2，
解得a＜9，
综上，a的取值范围是＜a＜9，且a≠3，
则符合题意的整数a的值有0，6共2个，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为正整数结合不等式组有解，找出＜a＜9，且a≠3是解题的关键．
二、填空题
9．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树_____棵．
【答案】24．
【分析】要求单独由男生完成，每人应植树多少棵，就要先设出未知数，根据题中的等量关系，列方程求解即可．
【详解】设单独由男生完成，每人应植树x棵．
那么根据题意可得出方程：
，
解得：x＝24．
检验得x＝24是方程的解．
因此单独由男生完成，每人应植树24棵．
故答案为：24．
【点评】本题考查了分式方程的应用，为工作效率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意即可．
10．若关于的分式方程无解，则的值是______．
【答案】2或-4
【分析】按照解分式方程的步骤，把方程两边乘最简公分母，化为关于x的一元一次方程，把增根代入一元一次方程中，可求得a的值．
【详解】方程两边同乘(x+1)(x-1)，得a-2(x-1)=x+1
由于分式方程在增根x=1和x=-1
把x=1代入a-2(x-1)=x+1中，得a=2
把x=-1代入a-2(x-1)=x+1中，得a=-4
所以a的取值为2或-4
故答案为：2或-4
【点评】本题考查了分式方程有增根时参数的取值问题，关键要根据分式方程的分母确定方程的增根．
11．若关于x的分式方程有增根，则a＝__________．
【答案】2
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解】，
去分母，得
a＝2＋x?1，
∵分式方程有增根，
∴x?1＝0，
解得x＝1，
将x＝1代入整式方程，得a＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式方程无解问题，解答此类问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②确定增根；③把增根代入整式方程，计算后即可求得相关字母的值．
12．已知方程，且关于x的不等式组只有3个整数解，那么的取值范围是_______．
【答案】3≤b＜4
【分析】首先解分式方程求得a的值，然后根据不等式组的解集确定x的范围，再根据只有3个整数解，确定b的范围．
【详解】解方程，
两边同时乘以a得：2-a＋2a=3，
解得：a=1，
∴关于x的不等式组，
则解集是1≤x≤b，
∵不等式组只有3个整数解，则整数解是1，2，3，
∴3≤b＜4．
故答案是：3≤b＜4．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和解分式方程，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
三、解答题
13．某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如下图所示：
（1）从上述统计图中可知：①每人每分钟擦课桌椅______；
②擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是________，_______，________；
（2）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能同时地完成任务．
【答案】（1）①；②16；20；44；（2）8人擦玻璃，5人擦课桌椅
【分析】（1）①②观察统计图，直接计算；
（2）把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，设有x人擦玻璃，则有（13-x）人擦课桌椅，擦玻璃的面积是16m2，擦课桌椅的面积是20m2，据此列出方程，解之即可．
【详解】（1）①由统计图可得，
每人每分钟能擦课桌椅m2；
②擦玻璃的面积是80×20%=16m2，
擦课桌椅的面积是80×25%=20m2，
扫地拖地的面积是80×55%=44m2；
（2）设有x人擦玻璃，则有（13-x）人擦课桌椅，由题意得：
，
解得x=8，
经检验：x=8是方程的解，
∴13-x=13-8=5（人），
所以派8人擦玻璃，5人擦课桌椅，能同时完成任务．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．已知关于x的方程的解为非负数，求的取值范围．
【答案】且
【分析】先解分式方程，因为解为负数，解不等式，要注意解不能为增根．
【详解】
移项：
去分母：
解得：
方程的解为非负数
又
的取值范围为：
【点评】本题考查了，分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式的解法；注意分式方程要检验，本题检验是解题的关键．
15．2020年春，湖北省武汉市爆发新冠疫情，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
【答案】450人
【分析】设第一天有人参加捐款，根据已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，可列出方程求解．
【详解】设第一天有人参加捐款，则第二天有人参加捐款
依题意得：，
解得：，
检验：时，
，
即是原方程的解，
故第一天有200人捐款，第二天有250人捐款，两天一共有450人捐款，
答：两天参加捐款的人一共有450人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，再列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷．
16．解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）原方程无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）
去分母，得：
解得，
检验：当时，
是原方程的解；
（2）
去分母得，
解得，
检验，当时，，
是原方程的增根
原方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多4.5元，且用12000元购买A型口罩的数量与用3000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的4倍，若总费用不超过6000元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【答案】（1）A型口罩的单价为6元，则B型口罩的单价为1.5元；（2）增加购买A型口罩的数量最多是500个
【分析】（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣4.5）元，根据数量=总价÷单价，结合用12000元购买A型口罩的数量与用3000元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，则增加购买B型口罩数量是4m个，根据总价=单价×数量，结合总价不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣4.5）元，
根据题意，得：．
解方程，得：x＝6．
经检验：x＝6是原方程的根，且符合题意．
所以x﹣4.5＝1.5．
答：A型口罩的单价为6元，则B型口罩的单价为1.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：1.5×4m+6m≤6000．
解不等式，得：m≤500．
正整数m的最大值为500．
答：增加购买A型口罩的数量最多是500个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差，已知“畅想号”的平均速度为．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，在此种情况下，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
【答案】（1）2.25m/s；（2）“畅想号”的平均速度降低m/s或“和谐号”的平均速度增加m/s，可使两车能同时到达终点．
【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x，根据，“畅想号”运动50m与“和谐号”运动45m所用时间相等，可得方程，解出即可．
（2）分别算出两车到达终点的时间可判断不能同时到达，再设“畅想号”的平均速度降低xm/s和“和谐号”的平均速度增加xm/s，根据时间相等，得出方程求解即可．
【详解】（1）设“和谐号”的平均速度为xm/s，
由题意得，，
解得：x=2.25，
经检验x=2.25是原方程的解．
答：“和谐号”的平均速度2.25m/s．
（2）“畅想号”到达终点的时间是=22s，
“和谐号”到达终点的时间是s，
∴两车不能同时到达，“畅想号”先到．
方案一：设“畅想号”的平均速度降低xm/s时能使两车同时到达终点，
则，
解得：x=，经检验x=是原方程的解，
方案二：设“和谐号”的平均速度增加xm/s时能使两车同时到达终点，
则，
解得：x=，经检验x=是原方程的解，
答：“畅想号”的平均速度降低m/s或“和谐号”的平均速度增加m/s，可使两车能同时到达终点．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，建立方程，难度一般．
19．3月12日是植树节，重庆市第一实验中学开展了“我与自然——一实农场”的活动：初一、初二年级以班级为单位，各自开辟了一块菜园种植蔬菜．初二某班学生经商量计划购买番茄苗和茄子苗共100株，经了解茄子苗的单价是番茄苗单价的，若花80元购进番茄苗，则购买茄子苗需要90元．
（1）求番茄苗和茄子苗的单价；
（2）班长在购买菜苗时了解到，在当前种植条件下，番茄的成活率为，一株番茄苗大约能结8个番茄，茄子的存活率为，一株茄子苗大约能结5个茄子，班长决定再多购买番茄和茄子苗共20株，但是不能超过预算210元，且番茄苗的总数量不低于茄子苗总数量的，班长最终应该如何购买，才能使所结的果实数量最多．
【答案】（1）番茄苗单价2元，茄子苗单价为1.5元；（2）当番茄苗20珠，茄子苗0珠0时，最多
20．已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围．
【答案】且．
【分析】先解分式方程，再建立不等式求解即可．
【详解】解分式方程，得，
根据题意，得：且，
解得：且．
【点评】本题考查了分式方程与不等式，熟练掌握分式方程及不等式的解法是解题的关键，注意不要遗漏条件：最简公分母不能为0．
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