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11.1.2三角形的高、中线与角平分线
一、单选题
1．如图，中，、分别是、的中点，若的面积是10，则的面积是（
）
A．
B．
C．5
D．10
2．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（
）平方厘米
A．8
B．12
C．16
D．18
3．三角形三条中线的交点叫做三角形的（
）．
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
4．下列说法正确的个数有（
）
①三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．能把一个三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，这条线一定是这个三角形的一条（
）
A．角平分线
B．高
C．中线
D．一条边的垂直平分线
6．下面四个图形中，线段是的高的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③和都是等腰三角形；④的周长等于与的和，其中正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
8．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则∠BMN的度数为( )
A．45°
B．50°
C．60°
D．65°
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____．
10．如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____．
11．如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A2020B2020C2020的面积为_____．
12．为的中线，为的高，的面积为14，则的长为_________．
三、解答题
13．如图，点，，都落在网格的格点上．
（1）写出点，，的坐标；
（2）求的面积：
（3）把先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得，画出．
14．已知的周长为，是边上的中线，．
（1）如图，当时，求的长．
（2）若，能否求出的长？为什么？
15．在中，交的延长线于点，点是线段上的一个动点．
特例研究：
当点与点重合时，过作交的延长线于点，如图①所示，通过观察﹑测量与的长度，得到．请给予证明．
猜想证明：
当点由点向点移动到如图②所示的位置时，过作交的延长线于点，过作交于点，此时请你通过观察，测量与的长度，猜想并写出与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
拓展延伸：
当点由点向点继续移动时（不与重合）
，过作交于点，过作交（或的延长线）于点，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）
16．如图，在中，．
（1）作出边上的高．
（2），，，求高的长．
17．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件利用网格点和三角板（或直尺）画图：
（1）补全；
（2）画出中AB边上的中线CD；
（3）画出中BC边上的高线AE；
18．如图，CH，AD分别为△ABC的高与中线．若△ABD的面积为2，AB＝3，求CH的长度．
19．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）a=
；b=
；直角三角形AOC的面积为
．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．
20．如图，在△ABC
中，记∠A=x
度，回答下列问题：
（1）图中共有三角形
个．
（2）若
BD，CE
为△ABC
的角平分线，则∠BHC=
度（结果用含
x
的代数式
表示），并证明你的结论．
（3）若
BD，CE
为△ABC
的高线，则∠BHC=
度（结果用含
x
的代数式表示），并证明你的结论．
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11.1.2三角形的高、中线与角平分线
一、单选题
1．如图，中，、分别是、的中点，若的面积是10，则的面积是（
）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积.
【详解】∵AD是BC上的中线，
∴
S△ABD=S△ACD=S△ABC
，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴
S△ABE=S△BED=S△ABD
，
∴
S△ABE=SΔABC
，
∵△ABC的面积是10，
∴
S△ABE=×10=.
故选:B.
【点评】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.
2．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（
）平方厘米
A．8
B．12
C．16
D．18
【答案】C
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形进行解答即可．
【详解】∵F是EC的中点，
∴，
∴，
∵
E是BD的中点
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．
3．三角形三条中线的交点叫做三角形的（
）．
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【答案】C
【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点．
【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
4．下列说法正确的个数有（
）
①三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．
【详解】①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；
③钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．
所以正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．
5．能把一个三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，这条线一定是这个三角形的一条（
）
A．角平分线
B．高
C．中线
D．一条边的垂直平分线
【答案】C
【分析】根据中线的性质即可求解．
【详解】三角形的一条中线将三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，
故选：C
【点评】本题主要考查的是中线的性质，正确的掌握中线的性质是解题的关键．
6．下面四个图形中，线段是的高的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义进行判断．
【详解】线段AD是△ABC的高，则过点A作对边BC的垂线，则垂线段AD为△ABC的高．
选项A、B、C错误，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
7．如图所示，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③和都是等腰三角形；④的周长等于与的和，其中正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】通过平行线和角平分线得到相等的角，再根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质解答即可．
【详解】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠MBP=∠PBC，∠PCN=∠PCB，
又∵MN∥BC，
∴∠PBC=∠MPB，∠NPC=∠PCB，
∴∠MBP=∠MPB，∠NPC=∠PCN，
∴BM=MP，PN=CN，
∴MN=MP+PN=BM+CN，故②正确，
△BMP和△CNP都是等腰三角形，故③正确，
∵△AMN的周长=AM+AN+MN，MN=BM+CN，
∴△AMN的周长等于AB与AC的和，故④正确，
不能说明，故①错误；
故答案为B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和平行线的性质等知识，通过平行线和角平分线得到相等的角是解答本题的关键．
8．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则∠BMN的度数为( )
A．45°
B．50°
C．60°
D．65°
【答案】B
【解析】
分析：过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．
详解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，
∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，
∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，
∴NE=NG，NF=NG，
∴NE=NF，
∴MN平分∠BMC，
∴∠BMN=∠BMC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?60°=120°，
根据三等分,∠MBC+∠MCB=
(∠ABC+∠ACB)=×120°=80°.
在△BMC中,∠BMC=180°?(∠MBC+∠MCB)=180°?80°=100°.
∴∠BMN=×100°=50°；
故选：B.
点睛：本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____．
【答案】14°
【分析】利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算∠CAD﹣∠CAE即可．
【详解】∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，解题关键是熟练运用相关性质求角．
10．如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____．
【答案】2
【分析】S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为BC=3BE，点D是AC的中点，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积．
【详解】∵点D是AC的中点，
∴AD=AC，
∵S△ABC=12，
∴S△ABD=S△ABC=×12=6．
∵BC=3BE，
∴S△ABE=S△ABC=×12=4，
∵S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF，
即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化．
11．如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A2020B2020C2020的面积为_____．
【答案】72020
【分析】连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，可得＝7S△ABC，由此即可解题．
【详解】连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
所以，＝7S△ABC，
同理＝7＝72S△ABC，
依此类推，△A2020B2020C2020的面积为＝72020S△ABC，
∵△ABC的面积为1，
∴＝72020．
故答案为：72020．
【点评】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
12．为的中线，为的高，的面积为14，则的长为_________．
【答案】2或6
【分析】利用面积法求出BD，即可求得CD，再分AE在内部和外部，求出DE即可．
【详解】为的高，△ABD的面积为14，AE=7，
，
∴
∵为的中线，
∴CD=BD=4，
当AE在内部时
∵CE=2，
∴DE=CD-CE=2，
当AE在外部时
∵CE=2，
∴DE=CD+CE=6，
故答案为：2或6
【点评】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．
三、解答题
13．如图，点，，都落在网格的格点上．
（1）写出点，，的坐标；
（2）求的面积：
（3）把先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得，画出．
【答案】（1）点，，的坐标分别是，，；（2）3；（3）见解析
【分析】（1）根据点，，所在位置直接写出的坐标即可；
（2）先求出BC，点A到BC边的距离，利用面积公式BC边上的高求即可；
（3）先求A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′即可．
【详解】（1）点，，的坐标分别是，，；
（2）BC=4-1=3，点A到BC边的距离为：3-1=2，
∴BC边上的高=
；
（3）先把A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′，
则为所求如图所示．
【点评】本题考查点的坐标，三角形面积，平移性质，掌握点的坐标，三角形面积，平移性质，作图先平移点，再连线得图是解题关键．
14．已知的周长为，是边上的中线，．
（1）如图，当时，求的长．
（2）若，能否求出的长？为什么？
【答案】（1）6cm；（2）不能求出的长，理由见解析
【分析】（1）根据，及的周长为，可求得BC，再根据三角形中线的性质解答即可；
（2）利用（1）中的方法，求得BC的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC不存在，进而可知没法求DC的长．
【详解】（1）∵，，
∴，
又∵的周长为，
∴，
∴，
又∵是边上的中线，
∴；
（2）不能，理由如下：
∵，，
∴，
又∵的周长为，
∴，
∴，
∴BC+AC=16
∴不能构成三角形，故不能求出DC的长．
【点评】此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答．
15．在中，交的延长线于点，点是线段上的一个动点．
特例研究：
当点与点重合时，过作交的延长线于点，如图①所示，通过观察﹑测量与的长度，得到．请给予证明．
猜想证明：
当点由点向点移动到如图②所示的位置时，过作交的延长线于点，过作交于点，此时请你通过观察，测量与的长度，猜想并写出与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
拓展延伸：
当点由点向点继续移动时（不与重合）
，过作交于点，过作交（或的延长线）于点，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）结论不变：
【分析】（1）根据，，
即可解决问题；
（2）结论，利用面积法证明即可；
（3）结论不变，证明方法类似（2）．
【详解】（1）证明：如图①中，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：结论，
理由：如图②中，连接，
∵，，，，
∴，
∵，
∴；
（3）结论不变：，证明如下：
如图③，连接AD，
∵，，，，
∴，
∵，
∴；
如图④，连接AD，
∵，，，，
∴，
∵，
∴．
【点评】本题考查三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法证明线段之间的关系．
16．如图，在中，．
（1）作出边上的高．
（2），，，求高的长．
【答案】（1）见解析
（2）
【分析】（1）过C点作CD⊥AB即可；
（2）根据三角形的面积求解即可．
【详解】（1）如图：
（2）∵在中，，，，∠ACB=90°，
∴S△ABC=AC×BC=AB×CD，
∴
【点评】本题考查了做三角形高线和利用三角形的面积求高，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
17．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件利用网格点和三角板（或直尺）画图：
（1）补全；
（2）画出中AB边上的中线CD；
（3）画出中BC边上的高线AE；
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．
【分析】（1）先根据平移的特点找出，再顺次连接点即可得；
（2）先找出AB边的中点，再连接CD即可得；
（3）过点A作BC所在直线的垂线即可得．
【详解】（1）先根据平移的特点找出，再顺次连接点即可得，如图所示：
（2）先找出AB边的中点，再连接CD即可得，如图所示：
（3）过点A作BC所在直线的垂线即为BC边上的高线AE，如图所示：
【点评】本题考查了平移作图、三角形中线和高线的画法，熟练掌握图形的平移、三角形中线和高线的作法是解题关键．
18．如图，CH，AD分别为△ABC的高与中线．若△ABD的面积为2，AB＝3，求CH的长度．
【答案】
【分析】根据三角形的中线将三角形的面积平分可得△ABC的面积为4，再由三角形的面积公式即可求解．
【详解】∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABC=2S△ABD=2×2=4，
∵S△ABC=·AB·CH，AB=3，
∴×3·CH=4，
解得：CH=，
即CH的长为．
【点评】本题考查了三角形的中线、三角形的面积公式，熟知三角形的中线将三角形的面积平分是解答的关键．
19．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）a=
；b=
；直角三角形AOC的面积为
．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．
【答案】（1）6；8；24；（2）存在时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，见解析
【分析】（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论,即可求出△ABC的面积；
（2）先表示出OQ，OP，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出∠OAC=∠AOD，进而判断出OG∥AC，即可判断出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，即可得出结论．
【详解】(1)
解：（1）∵，
∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
∴S△ABC=6×8÷2=24,
故答案为（0，6），（8，0）；
6；8；24
(2)
∵
由时,
∴存在时,使得△ODP与△ODQ的面积相等
(3)
）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°
∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠DOC=∠DCO
∴∠OAC=∠AOD
∵y轴平分∠GOD
∴∠GOA=∠AOD
∴∠GOA=∠OAC
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC
∴∠FHC=∠ACE
同理∠FHO=∠GOD，
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
20．如图，在△ABC
中，记∠A=x
度，回答下列问题：
（1）图中共有三角形
个．
（2）若
BD，CE
为△ABC
的角平分线，则∠BHC=
度（结果用含
x
的代数式
表示），并证明你的结论．
（3）若
BD，CE
为△ABC
的高线，则∠BHC=
度（结果用含
x
的代数式表示），并证明你的结论．
【答案】（1）图中共有三角形
8
个；（2）(90+
x
)
；（3）(180－x).
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，分析题意观察图形，根据三角形内角和为180°可知∠ABC=，根据角平分线的性质可以求出∠BHC，根据高线的性质可知∠CDB=∠BEC=90?，再次利用三角形内角和定理可以求答案
【详解】（1）图中共有三角形
8
个；
（2）∠BHC=(90+
)度．
∵BD，CE
分别是∠ABC，∠ACB
的平分线，
∴∠BHC=180?－∠HBC－∠HCB=180?－
(∠ABC+∠ACB)=
(90+
)度．
（3）∠BHC=(180－x)度，
∵BD，CE
为△ABC
的高线，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDB=∠BEC=90?，
∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180°
∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°
∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360°
∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180°
∵∠ABC+∠ACB=180°－∠A
∠BCH+∠CBH=180°－∠BHC
∴180°－∠A+180°－∠BHC=180°
∴∠BHC=(180－x)度
【点评】本题的关键是掌握三角形内角和定理
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精品试卷·第
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