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11.2.2三角形的外角
一、单选题
1．如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（
）
A．32°
B．30°
C．28°
D．26°
2．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（
）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．105°
B．95°
C．85°
D．75°
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若，则∠A的度数为（
）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
5．如图，和相交于点，，则下列结论中不正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．已知，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列命题是假命题的是（
）
A．三角形的内角和是180°
B．两直线平行，内错角相等
C．三角形的外角大于任何一个内角
D．同旁内角互补，两直线平行
8．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，则∠DCE的度数为_____．
11．如图，，点，分别在射线，上，平分，的反向延长线与的平分线交于点，则的度数是_______．
12．已知，一个含角的直角三角板按如图所示放置，，则_____．
三、解答题
13．如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、．
（1）若，则__________．
（2）、、有什么数量关系？请说明理由．
14．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
15．在中，与的平分线相交于点．
（1）如图①，如果，求的度数；
（2）如图②，作外角，的角平分线，且交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段，交于点若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
16．（1）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺的直角顶点放在直线上．
①若三角尺与平行线的位置如图1所示，，求的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且，则的度数又是多少？
（2）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺按图3所示放置，若，求的度数．
17．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，∠B＜∠C，则DAE、∠B，∠C之间的数量关系为___________；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．
18．如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线．
（1）求证：．
（2）若，求证：．
19．已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，平分平分．若，则______．
（2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D．
①若，则_______．
②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．
20．如图，平分．
（1）如图1，求证：//；
（2）如图2，点F为线段上一点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当时，求的度数．
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精品试卷·第
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11.2.2三角形的外角
一、单选题
1．如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（
）
A．32°
B．30°
C．28°
D．26°
【答案】C
【分析】根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可得解．
【详解】解：如图，由翻折的性质得，
∴，
∴在△ADE中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键．
2．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（
）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D+∠CED＝110°，
∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，
∵点E在AC上的任意一点，
∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
3．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．105°
B．95°
C．85°
D．75°
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，求得∠ACD＝120°，利用三角形的外角性质求解即可.
【详解】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝120°，
∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°，
∴∠A＝85°，
故选C.
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练运用两条性质是解题的关键.
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若，则∠A的度数为（
）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【答案】C
【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵△CDB′是由△CDB翻折得到，
∴∠CB′D＝∠B，
∵∠CB′D＝∠A＋∠ADB′＝∠A＋20°，
∴∠A＋∠A＋20°＝90°，
解得∠A＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，和相交于点，，则下列结论中不正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.
【详解】∵∠1=∠2，∠A=∠C，∠1=∠A+∠D，∠2=∠B+∠C，
∴∠B=∠D，
∴选项A、B正确；
∵∠2=∠A+∠D，
∴，
∴选项C正确；
没有条件说明
故选：D.
【点评】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.
6．已知，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质定理即可得出的大小．
【详解】解：如下图所示，
∵和的平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．
7．下列命题是假命题的是（
）
A．三角形的内角和是180°
B．两直线平行，内错角相等
C．三角形的外角大于任何一个内角
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理、外角性质、平行线的性质与判定进行判断即可．
【详解】解：A选项，三角形的内角和是180°，是真命题，不符合题意；
B选项，两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；
C选项，三角形的外角大于任何一个内角，是假命题，符合题意；
D选项，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质与判定，解题关键是熟练准确掌握基础知识．
8．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=，利用AD平分∠BAC及三角形的外角性质求出∠ADC=∠B+∠BAD=，再根据∠AED=求出答案．
【详解】∵，，
∴∠BAC=，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=，
∴∠DAE=-∠ADE=，
故选：B．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直的定义，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，这是三角形的基础题型．
二、填空题
9．已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．
【答案】90°或30°
【分析】先由两直线平行，内错角相等得出∠EFC＝∠PEF．若设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2x，∠EQP＝x，再由EF⊥PQ，根据三角形内角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠AEQ的度数．
【详解】解：①如图：
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠PEF．
设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，
∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．
②如图：
易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，
又∵∠PHE＝90°，
故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；
故∠AEQ＝∠APQ?∠EQP＝30°．
综上所述：90°或30°．
故答案是：90°或30°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，难度适中．设出适当的未知数，列出方程，是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，则∠DCE的度数为_____．
【答案】70°．
【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，
∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，
∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，
∠DCE＝40°+∠CBD②，
由①②得∠DCE＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．
11．如图，，点，分别在射线，上，平分，的反向延长线与的平分线交于点，则的度数是_______．
【答案】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出，再根据角平分线的定义求出和，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．
【详解】解：根据三角形的外角性质，可得，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12．已知，一个含角的直角三角板按如图所示放置，，则_____．
【答案】75°．
【分析】利用外角求∠5，再根据平行线的性质求∠1．
【详解】解：由题意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°，
∠5=∠2+∠3=75°，
∵，
∴∠1=∠5=75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算．
三、解答题
13．如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、．
（1）若，则__________．
（2）、、有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1）；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由见解析
【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理求得∠C的度数，再在△EFC中，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案．
【详解】（1）在△ABC中，∠A=∠ABC，且∠A=70°，
∴∠C=，
∴∠F+∠FEC=；
故答案为：；
（2）∠F+∠FEC=2∠A，
理由：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，
∵∠A=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角的性质．
14．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠1+∠2＝2∠B，理由见解析
【分析】（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，从而证出AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．
【详解】解：（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．
【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B=∠DFC；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2=2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键.
15．在中，与的平分线相交于点．
（1）如图①，如果，求的度数；
（2）如图②，作外角，的角平分线，且交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段，交于点若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）的度数是90°或60°或120°
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90°∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵点是和的平分线的交点，
∴，
∴；
（2）∵外角，的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴
，
∴
；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=∠ABC+∠MBC
=（∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
16．（1）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺的直角顶点放在直线上．
①若三角尺与平行线的位置如图1所示，，求的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且，则的度数又是多少？
（2）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺按图3所示放置，若，求的度数．
【答案】（1）①50°；②20°；（2）35°
【分析】（1）①由直角三角板的性质可知∠3=180°-∠1-90°，再根据平行线的性质即可得出结论；
②首先过点B作BD∥a，由直线a∥b，可得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数；
（2）先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）①如图①∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°；
②如图②过点B作BD∥a，
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°；
（2）如图3，∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°-55°=35°，
∴∠2=35°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
17．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，∠B＜∠C，则DAE、∠B，∠C之间的数量关系为___________；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．
【答案】（1）10°；（2）∠DAE＝(∠C?∠B)；（3）45°．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）设∠ACB＝，根据角平分线的定义得∠CAG＝∠EAC＝（90°?）＝45°?，∠FCG＝∠BCF＝（180°?）＝90°?，再利用三角形外角的性质即可求得结果．
【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°?60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD?∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°?∠B?∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°?∠C，
∴∠DAE＝∠CAD?∠CAE＝∠BAC?（90°?∠C）＝（180°?∠B?∠C）?90°＋∠C＝∠C?∠B，
即∠DAE＝(∠C?∠B)．
故答案为：∠DAE＝(∠C?∠B)．
（3）设∠ACB＝，
∵AE⊥BC，
∴∠EAC＝90°?，∠BCF＝180°?，
∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAG＝∠EAC＝（90°?）＝45°?，
∠FCG＝∠BCF＝（180°?）＝90°?，
∵∠FCG＝∠G＋∠CAG，
∴∠G＝∠FCG
?∠CAG＝90°??（45°?）＝45°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识，熟练掌握三角形内角和定理并能灵活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键．
18．如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线．
（1）求证：．
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；
（2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，从而AB∥CE．
【详解】证明：（1）∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，，
∴，．
∵是外角的平分线，是的平分线，
∴，，
∴
．
（2）由（1）可知．
∵，，
∴，
即，
∴．
【点评】本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，平分平分．若，则______．
（2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D．
①若，则_______．
②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．
【答案】（1）135；（2）①45；②的大小不会发生变化，；（3）或．
【分析】（1）先求出∠IBA、∠MAB，根据∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可；
（2）①由∠CBA=∠D+∠BAD求出∠CBA、∠BAD即可解答；②由点A、B在运动的过程中，∠ADB=45°，可得∠D=∠CBA-∠BAD=∠MBA-∠BAO=（∠MBA-∠BAO）=∠AOB进行计算即可；
（3）先证明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①当时，②当∠DAF=3∠F时，③当时，④当时四种情况分别解答即可．
【详解】解：如图：
（1）∵，
∴
∵，
∴．
∵平分平分，
∴，
∴．
（2）①∵，且平分平分，
∴．
∵，
∴．
②的大小不会发生变化．
∵
．
故的大小不会发生变化，．
（3）∵的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F，
∴，
∴，
∴．
①当时，，
∴；
②当时，，
∴（舍去）；
③当时，，
∴；
④当时，，
∴（舍去）．
综上，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的3倍．
【点评】本题主要考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识点，掌握分类讨论的思想并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
20．如图，平分．
（1）如图1，求证：//；
（2）如图2，点F为线段上一点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当时，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】(1)根据角平分线的定义得出；∠BAE=∠CAE，求出∠CEA=∠BAE；根据平行线的判定得出即可；
(2)
过F作FH/AB，求出AB//FH//CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFE=180°，∠DEF+∠EFH=180°，即可求出答案，
(3)设
∠C=x，∠CEF=y
，由∠GEF=∠C=x，得到∠GED=2，∠DEF=3x，∠CAE=y+35°再根据角平分线性质，AE平分∠BAC得到∠BAC=2y+70°，由∠CEF+∠DEF=180°，
∠BAF+∠AFE+∠DEE=360°，列二元一次方程组求出解．
【详解】证明：
（1）∵AE平分∠BAC，
（解平分线定义），
，
，
（内错角相等两直线平行），
（2）证明：如图，过F作
（两直线平行同旁内角互补），
由（1）得，
又，
（同平行于一条直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
（3）解：设，
，
，
，
，
，
平分，
，
即，
为外角，
，
由（1）得，
，
，
（一平角），
，
，
解得，
，
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键.
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精品试卷·第
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