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11.3.2多边形的内角和
一、单选题
1．如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据多边形内角和，结合计算即可．
【详解】，
，
，
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形内角和，熟知多边形内角和公式是解题关键．
2．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（
）
A．1440°
B．1080°
C．720°
D．360°
【答案】C
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．
【详解】∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
3．一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（
）边形．
A．六
B．七
C．八
D．九
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数．
【详解】设多边形的边数为n，
根据题意得：（n?2）×180°＝360°×3．
解得n＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
4．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.
【详解】根据题意,得
(n-2)×180=1260，
解得n=9，
∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：
n-3
=9-3
=6.
故选C.
【点评】本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.
5．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，这个多边形为（
）
A．六边形
B．八边形
C．十边形
D．十二边形
【答案】B
【分析】设一个外角是x，则一个内角是3x，列得3x+x=180°，求得x，再用外角和360°除以x即可得到答案．
【详解】设一个外角是x，则一个内角是3x，3x+x=180°，
解得：x=45°，
由于多边形的外角和为360°，
则边数为360°÷45°=8，
故选：B．
【点评】此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．
6．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
A．90°
B．108°
C．120°
D．135°
【答案】B
【分析】先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．
【详解】正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
【点评】此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
7．如图，在中，，沿图中虚线截去，则（
）
A．288?
B．252?
C．180?
D．144?
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可．
【详解】∵∠C=72°，
∵∠A+∠B=180°-72°=108°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°-108°=252°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的面积和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（
）
A．
B．
C．或
D．或或
【答案】D
【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点评】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
二、填空题
9．科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了______米．
【答案】8
【分析】结合题意，根据正多边形外角和的性质计算，即可得到多边形的边数，经计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：机器人行走的多边形外角为
∴多边形的边数为：
∴多边形的周长为：米
故答案为：8．
【点评】本题考查了正多边形的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
10．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．
【答案】1800
【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n的值，再根据多边形内角和(n-2)?180°可得答案．
【详解】设多边形边数为n，由题意得：
n-3=9，
n=12，
内角和：．
故答案为：1800．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)?180°．
11．在四边形中，与的角平分线交于点，，过点作交于点，，，连接，，则__________．
【答案】4
【分析】根据∠DEC的度数以及角平分线的定义算出∠A+∠ABC=230°，再结合AD∥BF，得出∠CBF=50°，利用算出∠BFC=90°，最后根据和算出结果.
【详解】∵，
∴∠EDC+∠ECD=180°-115°=65°，
又∵与的角平分线交于点，
∴∠ADC+∠BCD=65°×2=130°，
∴∠A+∠ABC=360°-130°=230°，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴∠CBF=230°-180°=50°，
∵，
∴∠BCE=40°，
∴∠BFC=90°，
∵，BF＞0，
∴，
解得：x=2，
即CE=2×2=4.
故答案为：4.
【点评】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，三角形的面积，角平分线的定义，有一定难度，解答本题的关键是通过角的运算得到∠BFC=90°.
12．如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
【答案】0
【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【点评】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.
三、解答题
13．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
【答案】
【分析】如图，由三角形的外角的性质可得：
可得
再利用三角形的内角和求解
再利用四边形的内角和求解
再求解
从而可得结论．
【详解】如图，由三角形的外角的性质可得：
【点评】本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
14．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
【答案】（1）该多边形的边数为8；（2）；．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可；
（2）根据角平分线的性质得到，再由三角形的外角性质可得，根据是的高及三角形的外角性质可得．
【详解】（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得，
∴该多边形的边数为8；
（2）∵是的角平分线，且，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
【点评】本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．
15．已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）54°
【分析】（1）结论：BE⊥DF，如图1中，延长BE交FD的延长线于H，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；
（2）结论：DE//BF，如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：，利用五等分线的定义可求，由三角形的外角性质得，代入数值计算即可．
【详解】（1）．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
，，
．
，．
平分，DF平分，
，，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．
（2）．
证明：连接DB．
，．
又，．
、DF平分、的邻补角，
，，
．
在中，
，
，
，．
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分、的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
，，
，
．
【点评】本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
16．阅读材料
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若，互为组角，且，则______．
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D，理由见解析．
【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；
（2）理由①：根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°?，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：连接AC并延长，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，
∴∠2=360°-∠1=225°，
故答案为：225°；
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．
理由如下：
理由①：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°?，
∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：如下图，连接AC并延长，
∵∠BAC+∠B=∠BCE，∠DAC+∠D=∠DCE（三角形外角的性质），
∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D．
【点评】本题考查三角形的外角，四边形内角和．能正确作出辅助线，将四边形分成两个三角形是理由②的关键．
17．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度．
（1）求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形的对角线的总条数．
【答案】（1）9；（2）27
【分析】（1）利用多边形的外角和为360°，根据内角和与外角和的关系及多边形内角和公式求出边数即可得答案；
（2）根据多边形对角线条数公式计算即可得答案．
【详解】（1）设多边形的边数为n，
∵多边形的外角和为360°，内角和比它的外角和的3倍还多180度，
∴此多边形的内角和为360°×3+180°=1260°，
∴（n-2）×180°=1260，
解得：n=9，
答：这个多边形的边数是9．
（2）由（1）可知此多边形为9边形，
∴从一个顶点可引出对角线9-3=6（条），
∴这个多边形的对角线的总条数为6×9÷2=27（条），
答：这个多边形的对角线的总条数为27条．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角、多边形的对角线，掌握多边形的内角和定理、多边形的对角线的条数的计算公式是解题的关键．
18．（1）填表：
n（凸多边形的边数）
3
4
5
…
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）
…
（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．
【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析
【分析】（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；
（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；
（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°．
【详解】（1）∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
答案：1，2，3；
（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．
即m＝n﹣2；
（3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
（1）当时n＞8，m的值是7；
（2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
（3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
19．如图锐角∠EAF，B、C分别为
AE、AF上一点．
（1）如图
1，∠EAF=50°，连接BC，∠CBA=α，∠BCA=β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β=_____°，∠P=______°；
（2）Q为∠EAF
内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为
BM、CN．
①如图
2，若∠EAF=50°，∠CQB=100°，BM与DN交于点P，则∠BPC的度数为______；
②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF
相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；
③BM与
CN
可能垂直吗？若不能说明理由，若能，写出此时∠CQB与∠EAF
的数量关系．
【答案】（1）；（2）①，②，理由见解析，③能垂直，
【分析】（1）由利用三角形的内角和定理可得：结合平角的定义再求解结合分别平分，求解，再利用三角形的内角和定理可求解；
（2）①由求解，结合平角的定义求解：再利用角平分线求解再利用四边形的内角和定理可得答案；②延长
交于
设利用四边形的内角和定理，平角的定义，角平分线的定义求解由三角形的外角性质可得：证明从而可得猜想的结论；③设
延长交于
证明再利用平角的定义，角平分线的性质求解：
，再由四边形的内角和定理可得整理即可得到结论．
【详解】（1）如图1，
分别平分，
故答案为：
（2）①如图2，
分别平分
故答案为：
②如图3，猜想：理由如下：
延长
交于
设
分别平分
③如图4，与能垂直，理由如下：
设
延长交于
分别平分
即
【点评】本题考查的是角平分线的定义，平角的含义，三角形，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的判定，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．
20．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究；
（1）如图2，与分别为的两个外角，则______（选填“”“”或“”），并说明理由；
初步应用：
（2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，，则______；（直接写出答案）
拓展延伸：
（3）如图4，在中，，分别平分外角，，与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：______；
解决问题：
（4）如图5，在四边形中，，分别平分外角，，请利用上面的结论探究与，的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2）55°；（3）；（4）．
【分析】（1）根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理解答即可；
（2）由（1）题的结论可得=，然后代入数据计算即可；
（3）根据角平分线的定义可得∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)，然后结合（1）题的结论三角形的内角和定理解答即可；
（4）如图，根据角平分线的定义和平角的定义可得，再根据四边形的内角和定理和三角形的内角和定理即可推出结论．
【详解】（1）=，理由是：
∵，，．
∴；
故答案为：=；
（2）由（1）题的结论可得：=，
∴135°+100°=，
∴∠C=55°，
故答案为：55°．
（3）∵，分别平分，，
∴∠PBC=∠DBC，∠PCB=∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)，
∵=，
∴∠PBC+∠PCB=，
∴．
故答案为：；
（4）．
理由：如图，∵，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵在四边形中，，
又∵在中，，
∴．
【点评】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和、三角形的外角性质和四边形的内角和等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键．
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精品试卷·第
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11.3.2多边形的内角和
一、单选题
1．如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则=（
）
A．
B．
C．
D．
2．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（
）
A．1440°
B．1080°
C．720°
D．360°
3．一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（
）边形．
A．六
B．七
C．八
D．九
4．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A．
B．
C．
D．
5．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，这个多边形为（
）
A．六边形
B．八边形
C．十边形
D．十二边形
6．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
A．90°
B．108°
C．120°
D．135°
7．如图，在中，，沿图中虚线截去，则（
）
A．288?
B．252?
C．180?
D．144?
8．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（
）
A．
B．
C．或
D．或或
二、填空题
9．科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了______米．
10．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．
11．在四边形中，与的角平分线交于点，，过点作交于点，，，连接，，则__________．
12．如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
三、解答题
13．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
14．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
15．已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
16．阅读材料
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若，互为组角，且，则______．
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
17．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度．
（1）求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形的对角线的总条数．
18．（1）填表：
n（凸多边形的边数）
3
4
5
…
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）
…
（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．
19．如图锐角∠EAF，B、C分别为
AE、AF上一点．
（1）如图
1，∠EAF=50°，连接BC，∠CBA=α，∠BCA=β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β=_____°，∠P=______°；
（2）Q为∠EAF
内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为
BM、CN．
①如图
2，若∠EAF=50°，∠CQB=100°，BM与DN交于点P，则∠BPC的度数为______；
②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF
相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；
③BM与
CN
可能垂直吗？若不能说明理由，若能，写出此时∠CQB与∠EAF
的数量关系．
20．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究；
（1）如图2，与分别为的两个外角，则______（选填“”“”或“”），并说明理由；
初步应用：
（2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，，则______；（直接写出答案）
拓展延伸：
（3）如图4，在中，，分别平分外角，，与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：______；
解决问题：
（4）如图5，在四边形中，，分别平分外角，，请利用上面的结论探究与，的数量关系．
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精品试卷·第
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