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13.1.2线段的垂直平分线的性质
一、单选题
1．如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接DE，如图，利用基本作图得到AE=CE，则DE为斜边AC的中线，所以DE=AE=CE，则∠ADE=∠A=34°，接着证明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性质计算∠BFC的度数．
【详解】连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
∵DE为斜边AC的中线，
∴DE=AE=CE，
∴∠ADE=∠A=34°，
∵BD=CE，
∴BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（
）
A．8
B．11
C．16
D．17
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线性质，并将周长转化成已知边得长度是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，按以下步骤：①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（
）
A．24
B．18
C．14
D．9
【答案】C
【分析】根据作图得到MN是线段BC的垂直平分线，得到BD＝DC，再根据周长公式进行线段代换即可求解．
【详解】由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝DC，
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝14．
故选：C
【点评】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到MN是线段BC的垂直平分线是解题关键．
4．如图，在中，，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G．若，则点G的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M．证明，推出，设，则，构建方程组，解决问题即可．
【详解】过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M．
由作图可知，垂直平分线段，
∴点G是的中点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点．
故选：D．
【点评】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点B、C的坐标确定平面直角坐标系，再根据线段垂直平分线的性质确定出交点坐标即可．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系．
作线段AC、AB的垂线，交点为O，
由图可知：OA=OB=OC，
∴到三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0）．
故答案为：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．如图，在中，点是的中点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，直线交于点，连接．若的周长为10，则的周长为（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】D
【分析】△ABE的周长为AB+AE+BE=10，根据DE是线段AC的垂直平分线，得AE=EC，得到AB+BC=10，AC=2AD=6，计算周长即可
【详解】∵ED是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∵△ABE的周长为AB+AE+BE=10，
∴AB+BC=10，
∵AC=2AD=6，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=10+6=16，
故选D
【点评】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长，灵活运用线段垂直平分线的性质实施线段的等量代换是解题的关键．
7．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．其中正确的有（
）
A．只有①②③
B．只有①②④
C．只有①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．
【详解】根据作图过程可知是的角平分线，①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=60°，故②正确；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD，
∵AD=DB，
∴CD=DB，
∴CD=CB，
S△ACD=CD?AC，S△ACB=CB?AC，
∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，
故选D．
【点评】本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键．
8．如图，在中，垂直平分，垂足为E，平分于点M，的延长线于点N，己知，则（
）
A．5
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据
HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．
【详解】连接BD，如图：
∵DE所在直线是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN=4，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．
二、填空题
9．如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【详解】∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°?∠B＝90°?22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90°?∠BAG＝90°?34°＝56°，
故答案为：56．
【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．
10．如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是____．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定直接写出条件即可
【详解】证明：添加：，理由如下：
∵直线l为线段的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴（SAS）
故答案为：
【点评】本题考查全等三角形的判定，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定是关键
11．如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为_____．
【答案】9
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD=CD，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴BD+CD=BD+AD=AB=5cm，
∴△EBC的周长=BC+BD+CD=4+5=9（cm）．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．
12．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，连接，若，，则的度数为_____°．
【答案】30
【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】∵∠C=80°，∠CBD=40°，
∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，
∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=∠CDB=30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为_____．
【答案】2.5或1
【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．
【详解】如图，设BM＝x，
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵QB∥AP，
∴∠A＝∠OBQ，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
在△OAP和△OBQ中，
，
∴△OAP≌△OBQ（ASA），
∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，
∵OM⊥PQ，
∴MQ＝MP，
∴52+x2＝12+（8﹣x）2，
解得x＝2.5．
当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，
解得x＝1，
综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．
故答案为：2.5或1．
【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．
【答案】10cm
【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】设CD与OA
的交点为E，与OB的交点为F，
∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，
∴ME＝CE，MF＝DF，
∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CE+EF+DF=CD＝10cm，
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了轴对称的性质-最短路径的问题，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握知识点．
三、解答题
15．如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作出线段AB的垂直平分线即可．
【详解】如图所示，点即为所求．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图．
16．如图，为半圆O的直径，且为半圆上的一点，．
（1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】（1）延长，在的延长线上截取，使得，作线段的垂直平分线垂足为D，点D即为所求作；
（2）解直角三角形求出，可得结论．
【详解】（1）如图，作法如下：
延长，在的延长线上截取，使得；
分别以点E，B为圆心，大于画弧，作BE的中垂线，中垂线与BE的交点即为所求的D点．
（2）连接．
，
∴OD为△ABE的中位线，
∴，
是直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了利用垂直平分线的性质作图、解直角三角等知识，解题的关键是运用圆的直径所对的圆周角为直角，确定为直角三角形，再进行求解．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．
（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
①作出AB的垂直平分线MN，MN分别与AB交于点D，与BC交于点E．
②过点B作BF垂直于AE，垂足为F．
（2）推理证明：求证AC=BF．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析
【分析】（1）①根据垂直平分线的作法得出即可；②延长，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法得出即可；
（2）根据垂直平分线的性质得到AE=BE，再加上，，证得：，根据全等的性质得．
【详解】（1）①②：
如图直线MN，BF就是所要求的作的图形．
（2）证明：∵MN垂直平分AB，
∴AE=BE．
∵BF⊥AE，垂足为F，
∴．
∵，
∴．
∴AC=BF．
【点评】此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作法、垂直平分线性质以及全等三角形的应用，根据已知得出AE与BE的关系是解题关键．
18．如图，已知的周长为，根据要求解答下列问题：
（1）用直尺和圆规作出的边的垂直平分线，分别交、于点、，连接，请写出画法并保留作图痕迹；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）作图见解析；（2）．
【分析】（1）如图，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线．
（2）利用线段的垂直平分线的性质得从而解决问题即可．
【详解】（1）如图，直线即为所求作．
（2）直线是的垂直平分线，
，cm，
cm，
又∵cm，
，
cm，
即的周长为cm．
【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．如图，在中，．
（1）请用尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若点恰好在线段的垂直平分线上，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AC，AB于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，连结点A与这两弧交点交BC于点D．
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，结合角平分线的性质可得，根据直角三角形的性质即可求出的度数．
【详解】（1）如答题20图，即为所求．
（2）∵点恰好在线段的垂直平分线上，
∴；
∴．
∵，
∴
∴．
【点评】本题主要考查了基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质．正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．如图，在钝角中，．
（1）作的垂直平分线，与边，分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，求证．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）利用尺规作图法作AC的垂直平分线即可；
（2）在（1）的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH即可，进而可以写出∠ADE和∠HBC的大小关系．
【详解】（1）如图，AC的垂直平分线DE即为所求；
（2）在（1）的条件下，AC边上的高BH即为所求．
∠ADE和∠HBC的大小关系为：相等．理由如下：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝EC，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵BH⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BH，
∴∠CDE＝∠HBC，
∴∠ADE＝∠HBC．
【点评】本题考查了作图?复杂作图、线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
21．如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站到两条公路，的距离相等，且到两工厂，的距离也相等，用尺规作出货站的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【答案】见解析
【分析】根据题意作的平分线，的垂直平分线，其交点即为所求．
【详解】如图，作的平分线，的垂直平分线，与的交点就是货站的位置．
【点评】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知角平分线与垂直平分线的性质．
22．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）将ABC经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，补全；
（2）若连接，，则这两条线段之间的关系是
；
（3）画出AC边上的高线BD；
（4）画出ABC中AC边上的中线BE；
（5）BCE的面积为 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）平行且相等；（3）作图见解析；（4）作图见解析；（5）4
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得到答案；
（2）连接，，结合（1）的结论，根据平移的性质分析，即可得到答案；
（3）以点为圆心作圆弧，与分别相交于点、；根据垂直平分线的性质，分别以点、为圆心，大于为半径作圆弧，相交于点；连接并交于点，连接，即可得到答案；
（4）根据垂直平分线的性质，分别以点、为圆心，大于为半径作圆弧，分别相交于点、，连接；直线与相交于点，点即为中点，从而完成求解；
（5）结合（4）的结论，根据中线的性质，得，通过计算，即可得到答案．
【详解】（1）结合题意，根据平移的性质作图如下：
（2）如图，连接，
根据（1）的结论，得，且
根据平移的性质，沿平移得
∴，这两条线段之间的关系是平行且相等
故答案为：平行且相等；
（3）以点为圆心作圆弧，与分别相交于点、；
分别以点、为圆心，大于为半径作圆弧，相交于点；连接并交于点，连接，线段即为AC边上的高；
（4）分别以点、为圆心，大于为半径作圆弧，分别相交于点、，连接；
直线与相交于点；连接，即为所求；
（5）根据（4）的结论，得
∵
∴
故答案为：4．
【点评】本题考查了平移、垂直平分线、三角形中线的知识；解题的关键是熟练掌握平移、垂直平分线、三角形中线的性质，从而完成求解．
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13.1.2线段的垂直平分线的性质
一、单选题
1．如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（
）
A．8
B．11
C．16
D．17
3．如图，在△ABC中，按以下步骤：①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（
）
A．24
B．18
C．14
D．9
4．如图，在中，，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G．若，则点G的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在中，点是的中点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，直线交于点，连接．若的周长为10，则的周长为（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
7．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．其中正确的有（
）
A．只有①②③
B．只有①②④
C．只有①③④
D．①②③④
8．如图，在中，垂直平分，垂足为E，平分于点M，的延长线于点N，己知，则（
）
A．5
B．
C．4
D．
二、填空题
9．如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
10．如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是____．
11．如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为_____．
12．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，连接，若，，则的度数为_____°．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为_____．
14．如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．
三、解答题
15．如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
16．如图，为半圆O的直径，且为半圆上的一点，．
（1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．
（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
①作出AB的垂直平分线MN，MN分别与AB交于点D，与BC交于点E．
②过点B作BF垂直于AE，垂足为F．
（2）推理证明：求证AC=BF．
18．如图，已知的周长为，根据要求解答下列问题：
（1）用直尺和圆规作出的边的垂直平分线，分别交、于点、，连接，请写出画法并保留作图痕迹；
（2）若，求的周长．
19．如图，在中，．
（1）请用尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若点恰好在线段的垂直平分线上，求的度数．
20．如图，在钝角中，．
（1）作的垂直平分线，与边，分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，求证．
21．如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站到两条公路，的距离相等，且到两工厂，的距离也相等，用尺规作出货站的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
22．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）将ABC经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，补全；
（2）若连接，，则这两条线段之间的关系是
；
（3）画出AC边上的高线BD；
（4）画出ABC中AC边上的中线BE；
（5）BCE的面积为 ．
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精品试卷·第
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