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13.3.1等腰三角形
一、单选题
1．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．10或14
3．如图，直线，等腰直角三角板的底角顶点落在
上，直角顶点落在上，若，则的度数为（
）
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
4．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（
）．
A．8
B．6或8
C．7
D．7或8
5．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点.设，的面积分别为，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）
A．BC＝EC
B．BE＝EC
C．BC＝BE
D．AE＝EC
7．如图，在中，，，，则的度数为（
）
A．12°
B．13°
C．14°
D．15°
8．如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为______．
10．如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
11．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．
12．如图，D是△ABC的AC边上一点，且AD＝DB，CD＝CB．若∠C＝100°，则∠A＝_____．
13．在三角形ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于点H，若，则的大小为______．
14．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m与对角线BE相交于点O，则∠AOE=____________度．
三、解答题
15．如图，已知，，与相交于点，求证：．
16．已知：如图，点、、、在一条直线上，交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
17．如图，，．求证：．
18．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CDON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；
③画射线OQ；
④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；
⑤画射线CD．
射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=________．
∵OC=CD，
∴∠MOD=________．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CDON（
）（填推理的依据）．
19．如图，点是中边上的一点，连接．
（1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求证：．
20．如图，与相交于点．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点，交的延长线于点.（要求：不写做法，只保留作图痕迹，并标明字母）
（2）求证：．
21．已知：如图1，中，．
（1）请你以为一边，在的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形中①；②；③．请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）
22．如图，，点在的延长线上，连接，，．求证：
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13.3.1等腰三角形
一、单选题
1．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
2．若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．10或14
【答案】C
【分析】分腰为2和6两种情况分别讨论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可．
【详解】当腰为2时，则三边为2、2、6，此时2+2＜6，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
当腰为6时，则三边为6、6、2，满足三角形的三边关系，周长为14；
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
3．如图，直线，等腰直角三角板的底角顶点落在
上，直角顶点落在上，若，则的度数为（
）
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
【答案】D
【分析】根据条件可得∠MCA=80゜，由，可得∠CAQ=∠MCA，根据等腰直角三角形的性质则可求得结果．
【详解】∵由题意知，∠ACB=90゜，∠BAC=45゜
∴∠MCA=∠ACB-∠BCM==90゜-10゜=80゜
∵
∴∠CAQ=∠MCA=80゜
∴∠PAB=180゜-∠BAC-∠CAQ=55゜
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解决本题的关键．
4．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（
）．
A．8
B．6或8
C．7
D．7或8
【答案】D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】∵，
∴
解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
5．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点.设，的面积分别为，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据作图过程可得是的平分线，根据角平分线的性质和，，可得，设，则，，根据三角形的面积公式分别求出，，再计算即可．
【详解】根据作图过程可知：是的平分线，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∴
设，则在中，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识点，掌握角平分线的画法与性质是解决本题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）
A．BC＝EC
B．BE＝EC
C．BC＝BE
D．AE＝EC
【答案】C
【分析】证明∠BEC=∠BCE，可得结论．
【详解】由作图可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
故选：C．
【点评】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．如图，在中，，，，则的度数为（
）
A．12°
B．13°
C．14°
D．15°
【答案】D
【分析】可过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F，依据题意可得∠FCD=∠ECD，进而得到△CED≌△CFD，得到CF=BF，再利用等腰三角形的判定可得出结论．
【详解】如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．
∵∠CAD=30°，
∴∠ACE=60°，且CE=AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中，
，
∴△CED≌△CFD（AAS），
∴CF=CE=AC=BC，
∴CF=BF，
∵DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠DCB=∠CBD=15°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质进行解题是关键．
8．如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接AC，AD，正五边形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠DAF，即可得到结论．
【详解】连接AC，AD，
五边形ABCDE是正五边形，
，，
在△ABC和△AED中
△ABC≌△AED，
．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
9．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为______．
【答案】135°
【分析】利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．
【详解】连接OC，EO
由折叠性质可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD
∴∠ECO=
∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°
即的度数为135°
故答案为：135°
【点评】主要在考查折叠的性质，学生动手操作的能力，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理，掌握折叠及等腰三角形的性质正确推理计算是解题关键．
10．如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
【详解】在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB=，∠BDC=是解答本题的关键．
11．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．
【答案】36
【分析】根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】∵正五角星（是正五边形的五个顶点）
∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且
∴正五边形内角和为：
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：36．
【点评】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
12．如图，D是△ABC的AC边上一点，且AD＝DB，CD＝CB．若∠C＝100°，则∠A＝_____．
【答案】20°
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠CDB=∠CBD，∠A=∠ABD，根据三角形内角和定理求出∠CDB+∠CBD=80°，求出∠CDB，根据三角形外角性质得出∠A+∠ABD=∠CDB，再求出答案即可．
【详解】∵∠C=100°，
∴∠CDB+∠CBD=180°-∠C=80°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=×80°＝40°，
∵AD=DB，
∴∠A=∠ABD，
∵∠A+∠ABD=∠CDB=40°，
∴∠A=20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：等边对等角．
13．在三角形ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于点H，若，则的大小为______．
【答案】45°或135°
【分析】根据同角的余角相等求出∠DCH=∠DAB，再利用“角角边”证明△ABD和△CHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CD，求出△ACD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ACD=45°，然后分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可．
【详解】∵AD，CE为高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∠DCH+∠B=90°，
∴∠DCH=∠DAB，
在△ABD和△CHD中，
，
∴△ABD≌△CHD（AAS），
∴AD=CD，
∵AD是高，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
如图1，△ABC是锐角三角形时，∠ACB=∠ACD=45°，
如图2，△ABC是钝角三角形时，∠ACB=180°-∠ACD=180°-45°=135°，
所以，∠ACB的大小为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
14．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m与对角线BE相交于点O，则∠AOE=____________度．
【答案】72
【分析】证明AO=BO，求出∠ABO可得结论．
【详解】∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴，
∴AO=BO，
∵∠BAE是正五边形ABCDE的一个角，
∴∠BAE==108°，
∵AE=AB，∠BAE=108°，
∴∠AEB=∠ABE=36°，
∴∠BAO=∠ABO=36°，
∴∠AOE=∠BAO+∠ABO=36°+36°=72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查正多边形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出∠ABE=36°．
三、解答题
15．如图，已知，，与相交于点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．
【详解】∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
16．已知：如图，点、、、在一条直线上，交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）80°
【分析】（1）由，利用同位角相等可得．由，利用等式性质可得，可证；
（2）由可得，由利用等角对等边，可求．利用三角形内角和可得．利用性质，可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴．
（2）解：，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点评】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．
17．如图，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】利用SAS可证明△ABD≌△BAC，即可得∠ABD=∠BAC，进而可证明结论．
【详解】证明：在和中，
∵
∴≌（SAS）
∴，∴．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明△ABD≌△BAC是解题的关键．
18．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CDON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；
③画射线OQ；
④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；
⑤画射线CD．
射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=________．
∵OC=CD，
∴∠MOD=________．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CDON（
）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据作图方法要求，依次完成即可；
（2）根据角平分线、等腰三角形的性质及平行线的判定即可证明结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
（2）证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=∠NOD．
∵OC=CD，
∴∠MOD=∠CDO．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CD∥ON（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了基本作图及平行线的判定，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质及平行线的判定是解题的关键．
19．如图，点是中边上的一点，连接．
（1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求证：．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图作的角平分线，交于点即可；
（2）先根据三角形的外角性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】（1）作的角平分线，交于点，则点即为所求，如图所示：
（2），，
，
，
，
，即，
．
【点评】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．
20．如图，与相交于点．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点，交的延长线于点.（要求：不写做法，只保留作图痕迹，并标明字母）
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据作角平分线的作法作图即可；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义可分别得到∠BAG＝∠G，∠BAG＝∠DAG，等量代换可得∠G＝∠DAG，再由等腰三角形的判定即可证得DA＝DG．
【详解】（1）解：如图，AF即为所求；
（2）证明：∵，
∴∠BAG＝∠G，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∴∠G＝∠DAG，
∴DA＝DG．
【点评】本题考查了基本作图——作角平分线，平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解决本题的关键．
21．已知：如图1，中，．
（1）请你以为一边，在的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形中①；②；③．请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）
【答案】（1）作图见详解；（2）①②；③
【分析】（1）以点A为圆心AC为半径画弧，再以点C为圆心AD长为半径画弧，两个弧的交点为点E，连接AE，CE，即可；
（2）延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，证明，可得∠B=∠E，AB=CE，进而即可得到结论．
【详解】（1）如图所示：
（2）选择的条件是①②，结论是③，理由如下：
延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，
∵，∠DAC+∠EAC=180°，
∴∠ACB=∠EAC，
在和中，
∵，
∴，
∴∠B=∠E，AB=CE，
∵，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∴CD=AB，
故答案是：①②；③．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
22．如图，，点在的延长线上，连接，，．求证：
【答案】详见解析
【分析】根据平行线性质得∠ABC=∠BCD，结合已知条件得△ABC?△ECD（AAS），根据全等三角形性质可得CB=DC，根据等腰三角形性质可得结论．
【详解】证明：∵
∴∠ABC=∠BCD
又∵，
∴△ABC?△ECD（AAS）
∴CB=DC
∴
【点评】考核知识点：全等三角形、等腰三角形．利用全等三角形性质求出对应边相等，再利用等腰三角形性质求解是关键．
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