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14.1.3积的乘方
一、单选题
1．下列运算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．数是（?）
A．10位数
B．11位数
C．12位数
D．13位数
4．计算的结果是(
)
A．
B．
C．
D．
5．下列运算正确的是（
）
A．x2·x3=x6
B．(x3)2=x6
C．(-3x)3=27x3
D．x4+x5=x9
6．计算等于（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣
D．
二、填空题
7．＝_____．
8．计算：的结果是______．
9．计算：（－0.125）2021×82
020＝________．
10．计算________________．
三、解答题
11．计算：．
12．已知x2n＝4，求（x3n）2﹣xn的值．（其中x为正数，n为正整数）
13．计算：．
14．已知，求的值．
15．计算：
16．已知，，，写出一个a，b，c的等量关系式．
17．计算题
（1）若a2=5，b4=10，求(ab2)2；
（2）已知am=4，an=4，求am+n的值．
18．尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求m的值；
（2）已知求的值；
（3）若n为正整数，且，求的值
19．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）=
，
；
（2）（说理）记，，．试说明：；
（3）（应用）若，求t的值．
20．计算：＝________.
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14.1.3积的乘方
一、单选题
1．下列运算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据幂的运算性质判断即可；
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故答案选C．
【点评】本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．
【详解】A选项，选项正确，故符合题意；
B选项，选项错误，故不符合题意；
C选项，选项错误，故不符合题意；
D选项，选项错误，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．
3．数是（?）
A．10位数
B．11位数
C．12位数
D．13位数
【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．
【详解】，
∴N是12位数，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．
4．计算的结果是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用积的乘方的逆运算解答．
【详解】
=
=
=．
故选：D．
【点评】此题考查积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的计算公式是解题的关键．
5．下列运算正确的是（
）
A．x2·x3=x6
B．(x3)2=x6
C．(-3x)3=27x3
D．x4+x5=x9
【答案】B
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．
【详解】∵x2?x3=x5，∴选项A不符合题意；
∵（x3）2＝x6，∴选项B符合题意；
∵（?3x）3＝?27x3，∴选项C不符合题意；
∵x4＋x5≠x9，∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．
6．计算等于（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣
D．
【答案】A
【分析】逆运用同底数幂的乘法法则，把写成的形式，再逆运用积的乘方法则得结论．
【详解】
．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方等知识点，熟练运用和逆用幂的运算法则是解决本题的关键．
二、填空题
7．＝_____．
【答案】-1.5
【分析】首先把分解成，再根据积的乘方的性质的逆用解答即可．
【详解】原式＝
＝
＝﹣1.5，
故答案为-1.5
．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，逆用积的乘方法则是解题关键．
8．计算：的结果是______．
【答案】1
【分析】根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可
【详解】原式
故答案为：1
【点评】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键
9．计算：（－0.125）2021×82
020＝________．
【答案】
【分析】先根据同底数幂乘法的逆运算将化为，再利用积的乘方逆运算得到，求值即可．
【详解】
=
=
=
故答案为：．
【点评】本题考查同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算．熟记公式并灵活运用公式是解题的关键．
10．计算________________．
【答案】
【分析】直接运用积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】
=
=
=
=
=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
三、解答题
11．计算：．
【答案】
【分析】根据幂的运算法则计算即可．
【详解】原式，
，
．
【点评】本题考查了幂的运算，解题关键是熟知幂的运算法则，熟练进行计算．
12．已知x2n＝4，求（x3n）2﹣xn的值．（其中x为正数，n为正整数）
【答案】62
【分析】由积的乘方逆用可得xn＝2，然后将（x3n）2﹣xn化成只含有xn的形式，然后将xn＝2代入计算即可．
【详解】∵x2n＝4（x为正数，n为正整数）
∴xn＝2，
∴（x3n）2﹣xn＝（xn）6﹣xn＝26﹣2＝62．
【点评】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用幂的乘方和积的乘方运算法则是解答本题的关键．
13．计算：．
【答案】3a4b2．
【分析】根据同底数幂乘法及积的乘方的运算法则计算，再合并同类项即可得答案．
【详解】
=-6a4·b2+9a4b2
=3a4b2．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法、积的乘方及合并同类项法则是解题关键．
14．已知，求的值．
【答案】
【分析】先根据绝对值和平方的非负性求得，，再将化为，再逆运用积的乘方公式适当变形后代入值计算即可．
【详解】∵，
∴，，
解得，．
∴
=
将，代入，
原式=
=
=
=．
【点评】本题考查积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，绝对值和平方的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个非负数（式）都为0．
15．计算：
【答案】.
【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法运算法则计算，合并即可得到结果．
【详解】
．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．已知，，，写出一个a，b，c的等量关系式．
【答案】
【分析】根据8×25=200进行变形代入，再利用幂的乘方及同底数幂乘法计算即可得到结论．
【详解】∵8×25=200，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了同底数幂乘法及幂的乘方，熟练运用法则是解题的关键．
17．计算题
（1）若a2=5，b4=10，求(ab2)2；
（2）已知am=4，an=4，求am+n的值．
【答案】（1）50；（2）16
【分析】（1）根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算求值即可；
（2）逆用同底数幂乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）∵a2=5，b4=10，
∴(ab2)2=a2?b4=5×10=50；
（2）∵am=4，an=4，
∴am+n=am?an=4×4=16．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求m的值；
（2）已知求的值；
（3）若n为正整数，且，求的值
【答案】（1）15；（2）；（3）512
【分析】（1）首先利用幂的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘除法运算法则求出答案；
（2）根据同底数幂的除法被幂的乘方法则解答；
（3）将利用幂的乘方和积的乘方法则变形为，再代入计算．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴m+1=16，
∴m=15；
（2）∵，
∴
=
=
=
=；
（3）∵，
∴
=
=
=512
【点评】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
19．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）=
，
；
（2）（说理）记，，．试说明：；
（3）（应用）若，求t的值．
【答案】（1）3，－2；（2）见解析；（3）80
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）根据定义解答即可．
【详解】（1）23=8，（2，8）=3，
，（2，）=-2，
故答案为：3；-2；
（2）∵（4，12）=，（4，5）=，（4，60）=，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设（m，16）=，（m，5）=，（m，t）=，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及新定义下的实数运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
20．计算：＝________.
【答案】2
【分析】利用同底数幂的乘法运算将原式变形，再利用积的乘方求出结果.
【详解】（-2）2020）2019
=22020）2019
=222019）2019
=2）2019
=2
=2
【点评】此题考察整式乘法公式的运用，准确变形是解题的关键.
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