广东省惠州市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

惠州市2020-2021学年度第二学期期末质量检测
高一数学试题
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．
2、作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．
3、非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，作图题可先用铅笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．
4、作答作图题时，请用2B铅笔、直尺等工具作图。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知复数false（其中false为虚数单位），则false（ ）
A．1 B．false C．false D．2
2．已知向量false，false，若false，则false（ ）
A．false B．2 C．4 D．false
3．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知有样本数据2、4、5、6、8，则该样本的方差为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．0
5．空间中，false，false是两条不同直线，false是平面，有下列四个命题：
①若false，false，则false； ②若false，false，则false；
③若false，false，则false； ④若false，false，则false．
则正确的命题个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第50百分位数是（ ）

A．2℃ B．1℃ C．0℃ D．false℃
7．棣莫弗公式false（其中false为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数false在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知false三角形的外接圆圆心为false，且false，false，则false在false上的投影向量为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知false中，false，false，false，则下列结论正确的有（ ）
A．false为钝角三角形 B．false为锐角三角形
C．false面积为false D．false
10．下列命题错误的有（ ）
A．若false、false都是单位向量，则false
B．若false，且false，则false
C．若非零向量false与false是共线向量，则false、false、false、false四点共线
D．向量false的模与向量false的模相等
11．如图是一个古典概型的样本空间false和事件false和false，其中false，false，false，false，下列运算结果，正确的有（ ）

A．false B．false C．false D．false
12．如图，正三棱柱false的底面边长为2，侧棱长为false，false为false的中点，则正确的结论有（ ）
A．false平面false B．false与平面false所成的角为false
C．三棱锥false的体积为false D．false到平面false的距离为false

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量false，false，false为向量false与false的夹角，则false______．
14．在复数范围内，方程false的解集为______．
15．一个公司共有false名员工，下设一些部门，要采用等比例分层随机抽样的方式从全体员工中抽取样本容量为false的样本，如果某部门有false名员工，则从该部门抽取的员工人数为______．
16．某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从false、false、false、false四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个。得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是false，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
如图，测量河对岸的塔高false时，可以选取与塔底false在同一水平面内的两个测量基点false与false．现测得false，false，false米，在点false测得塔顶false的仰角为45°，求塔高false．

18．（本小题满分12分）
如图，一块边长为false的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．

（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；
（不需要写步骤及作图过程）
（2）求该正四棱锥形容器的体积．
19．（本小题满分12分）
某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表及直方图：
周跑量
（false周）
人数

周跑量
（false周）
人数
false
100

false
150
false
120

false
60
false
130

false
30
false
180

false
10
false
220




（1）请补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据以上图表数据，估计样本的下四分位数、众数及平均数（结果保留一位小数）．
20．（本小题满分12分）
在①false；②false这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：在false中，内角false、false、false的对边分别为false，false，false，已知______．
（1）求角false；
（2）若false，false的面积为false，求false的周长．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥false中，false平面false，底面false是正方形，false，false为false中点．
（1）求证：false平面false；
（2）求二面角false的余弦值．

22．（本小题满分12分）
进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有2道题目，已知甲同学答对每题的概率都为false，乙同学答对每题的概率都为false，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为false，恰有一人答对的概率为false．
（1）求false和false的值；
（2）试求两人一共答对3道题的概率．

惠州市2020-2021第二学期期末质量检测
高一数学试题标准答案与评分细则
一、单项选择题；本题共8小题，每小题满分5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
B
B
C
C
A
1．【解析】因为false，∴false，所以应选答案B．
2．【解析】∵false，∴false，解得false，故选D．
3．【解析】圆锥母线为false，底面半径为false，则false，
所以圆锥的体积false．故选A．

4．【解析】平均数为false．
该样本的方差为false．故选B．
5．【解析】①若false，false，则直线false和false可能平行，还可能相交或异面，故false错误．
②若false，false，则false与false无交点，所以false或false与false为异面直线，③④正确，故选B．
6．【解析】由折线图可知，这10天的最低气温（C）按照从小到大排列为：false，false，false，false，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以false是整数，则这10天的最低气温的第50百分位数是false（℃）．故选C．
7．【解析】由己知得false，
∴复数false在复平面内所对应的点的坐标为false，位于第三象限．故选C．
8．【解析】∵false，∴点false为线段false中点，∵false，∴false，∴点false为false中点，∴false则false在false上的投影向量为false，故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
题号
9
10
11
12
全部正确选项
AC
ABC
ABC
AD
9．【解析】在false中，false，∴false，∴false为钝角三角形，
故A正确；故B错误；false，故C正确；
false，故D错误：故选：AC．
10．【解析】对于A：若false，false都是单位向量，则false，因为false，false的方向不一定相同，故false，false不一定相等，故A错误：对于B：因为false，且false，当false时，false与任何向量都平行，故不能得到false，故B错误：对于C：非零向量false与false而是共线向量，即false，不能得到false、false、false、false四点共线，故C错误；对于D：向量false与向量false互为相反向量，故向量false与向量false的模相等，故D正确：故选：ABC．
11．【解析】对于A：∵false，
∴false．故A正确；
对于B：false，故B正确；
对于C：false，故C正确；
对于D：∵false，∴false；故D错误；
故选：ABC．
12．【解析】对于A，连接false交false于点false，连接false，点false为false中点，点false为false中点，
∴false，∵false面false，false面false，∴false面false，∴A正确
对于B，三棱柱false为正三棱柱，false是边长为2的等边三角形，∴平面false平面false
，取false的中点false，连结false，false则false，

∴false平面false，故false为直线false与平面false所成的角
在三角形false中易得false，
∴false，false，
在直角三角形false中false．故B错误；
对于C，false，故C错误；
对于D，设false到平面false的距离为false，由题意可得false，

∴false，∴false
∴false，∴false，故D正确，故选AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．false 14．false 15．false 16．false
13．【解析】由题意得，false．
14．【解析】false由求根公式可得false
所以方程的解集为false。
【注】1、答案可写成false、false，false或false
2、答案为非集合的形式，则0分．
15．【解析】设某部门抽取的员工人数为false，则false，∴false．
16．【解析】某同学随机选择选项一个或两个选项，分别为：选择一项有false，false，false，false；选择两项有：false，false，false，false，false，false；共有基本事件10种，其中“能得分”的基本事件有false，false，false，共3种，故“能得分”的概率为false．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
【解析】在false中，false
∵false
false
false
由正弦定理false得
∴false
false
在false中false．∴false．所以所求塔高false为false．【无此步骤，本得分点不得分】
【注】1、角度用如图的false，false，false表示同样得分。
2、缺少false中间步骤，不扣分：结果错误按采分点给分。
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）

【注】
1、作图共8分，分解为：
①基本结构满足锥体要求3分（底面两边夹角45%、平行四边形、1个顶点各1分）．
②比例正确3分（底面边长、锥体的高，顶点在底面投影为底面中心各1分）．
③虚实线标准规范2分（无虚线扣1分，画直线不用尺扣1分）．
2、直观图整体可进行平移和放缩，按比例作出直观图即可给分。
（2）设加工后的正四棱锥为false，易得地面是边长为false的正方形，斜高为50，
易得棱锥高false
正四棱锥形容器的体积为falsefalsefalse．
故求正四棱锥形容器的体积为false．【无此步骤，本得分点不得分】
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：

【注】高度划线标识正确每个2分。
（2）由频率分布表得false的频率为false，
false的频率为false，false
因此，样本的下四分位数位于false内，
由false【表达式正确可给1分】
所以样本的下四分位数约为21.2
由频率分布直方图得样本的众数为false
由频率分布表得样本的平均数估计为：
false
falsefalse
所以样本的下四分位数约为21.2，众数为32.5，平均数为28.5．
【注】1、计算下四分位数列式形式正确，可得1分．
2、计算平均数列式的形式正确，可得1分．
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）选择①：
由正弦定理false得，false，
由false得false，
即false．
又false，∴false，
又false，【注：无此步骤，本得分点不得分】
∴false．
选择②：
由选择条件可得false
由余弦定理false
得false，
又false，【注：无此步骤，本得分点不得分】
∴false．
（2）因为false
∴false，即false，∴false，
又由余弦定理false，化简得false，
即false，
所以false，
false
所以false的周长为false．
【注】1、选择①，选择②，都有作答，按选择①作答情况给分。
2、在运用正弦定理或余弦定理时务必写出定理的表达式，没有注明“由正弦定理得”或“由余弦定理得”的类似表达，整题扣1分。
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）证明：∵false平面false，false平面false，
∴false，
∵在正方形false中，false
且false，false平面false，false平面false
∴false平面false，
又∵false平面false，∴false．
∵false，点false为false中点，∴false
又false，false平面false，false平面false
∴false平面false．
【注】证线面垂直时，需写出“两线相交”及“两线都在面内”三个辅助条件，否则扣1分，但不重复扣分。
（2）【解法1】
取false的中点false，连接false，作false于点false，连接false，
则false，∵false平面false，
∴false平面false，
∴false平面false
∴false，又false，false
∴false平面false，false平面false，
∴false
∴false为二面角false的一个平面角．．．．
在false中，false
在正方形false中，false，false为等腰直角三角形，所以false
在false中，由勾股定理得false，
∴false
所以二面角false的余弦值为false．
【解法2】
取false的中点false，连接false，false，false，

false面false．
由（1）知false，则false为直角三角形，
false，false
在false中，false．
设二面角false的平面角为false
false
false
所以二面角false的余弦值为false．
【注】1、建立空间直角坐标系，利用空间向求解同样给分，本过程6分可分解为：建系1分，相关向量1分，法向量方程组1分，法向量1分，余弦值1分，结论1分。
2、求false的另一种计算方法：false，∴false．
22．（本小题满分12分）
【解析】（1）设false{甲、乙同时答对某个题目}，false{恰有一人答对某个题目}，
由于已知有false,
false
联立false得false
解得false或false
由于false，所以false，false．
（2）【解法1】设false{甲同学答对了false道题}，false{乙同学答对了false道题}，其中false，1，2．
由于false和false相互独立，false与false互斥，
设false{甲乙二人共答对3道题}，则false．
false，false，
false，false
所以false
false
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为false．
【解法2】两人共答对3道题目，可分为“甲答对2个，乙答对1个”或“甲答对1个，乙答对2个”
且两事件【注：无说明事件互斥，本得分点不给分】
①“甲答对2个，乙答对1个”的概率为false
②“甲答对1个，乙答对2个”的概率为false
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为false．