1.5全称量词与存在量词

中小学教育资源及组卷应用平台
1.5全称量词与存在量词
知识领悟
1．全称量词与全称命题
(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：?x∈M，p(x)．
(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
3．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，?x0∈M，p(x0)．
(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
4．命题的否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x0∈M，?p(x0)，全称命题的否定是特称命题．
(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：?x∈M，?p(x)，特称命题的否定是全称命题．
5．常见的命题的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x∈A使p(x)假
例题透析
考点一：全称命题与特称命题的判定
例1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解．
(2)存在实数x，使得
.
【答案】（1）假命题；
（2）假命题.
【解析】
(1)该命题是全称命题．
当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．
(2)该命题是特称命题．
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴.
故该命题是假命题．
练习1把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:
(1)勾股定理;
(2)三角形内角和定理.
【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和;
(2)所有三角形的内角和都是180°.
【解析】
(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；
(2)所有三角形的内角和都是180°.
练习2用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：
(1)任意实数的平方大于或等于0；
(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；
(3)存在整数x，y，使得；
(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.
【答案】(1).真命题；
(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；
(3)假命题；
(4)，真命题.
【解析】
(1)，是真命题；
(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，；
(3)假命题,因为必为偶数；
(4).真命题,例如.
考点二：全称命题与特称命题的真假判断
例2写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）任意实数都存在倒数；
（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；
（3）是三角形的内角和是.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）存在一个实数不存在倒数，例如:实数,故此命题为真命题；
（2）所有平行四边形的对角线相等，例如：边长为1,一个内角为的菱形,其对角线分别为,故此命题为假命题；
（3）是三角形的内角和不是，由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为,故此命题为假命题.
练习1判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数.
【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题
【解析】
（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；
（2）假命题，因为若为整数，则必为偶数；
（3）真命题，因为是无理数，是无理数.
练习2判断下列全称量词命题的真假：
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）是无理数}，是无理数.
【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题
【解析】
（1）真命题.
连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，
而一个三角形的内角和180°，
所以四边形的内角和都是360°是真命题；
（2）假命题.
因为负数没有算术平方根，
所以任何实数都有算术平方根是假命题；
（3）假命题，
因为是无理数，是有理数，
所以是无理数}，是无理数是假命题.
考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围
例3若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
命题“”是真命题，则需满足，解得或.
故选：B.
练习1若“R，”是真命题，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
若“?x∈R，x2+2x﹣a＜0”是真命题，
则△＞0，即4+4a＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为
练习2已知命题，，，.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】
，，
，，
，，
，.
因为p与q均为假命题，
所以与都是真命题.
由为真命题得或，故.
由为真命题得或，故
.解得.
故实数a的取值范围是.
考点四：全称命题、特称命题的否定
例4命题“，”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
命题“，”的否定是:
,
故选B
练习1命题：，的否定是______．
【答案】
【解析】
根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“，”的否定是“”.
练习2写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°.
【答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°.
【解析】
（1）原命题省略了全称量词“所有"，
所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数.
（2）原命题省略了全称量词“任何一个”，
所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°.
考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
例5已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
由题意知，命题p为真命题，即在上有解，
令，所以，又因为最大值在或时取到，
∴只需或时，即可，
∴或，解得或，
即．
故实数a的取值范围为．
练习1若命题“，一次函数的图象在轴上方”为真命题，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
当时，．
因为一次函数的图象在轴上方，所以，即，
所以实数的取值范围是．
故得解.
练习2已知命题存在实数，使成立.
（1）若命题P为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）存在实数，使成立或，
实数a的取值范围为；
（2）任意实数，使恒成立，，，，
由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.
课堂检测
1．命题“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：
“，”，故选C.
2．设命题，则命题的否定为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
解：∵命题是一个特称命题，它的否定是一个全称命题，
∴命题的否定为，
故选：B．
3．命题“，”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
命题“，”的否定是:
,
故选B
4．已知命题，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，故选C
5．已知命题为，，则命题的否定为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】
由含全称量词的否定的定义可得命题的否定为：，.
故选：.
6．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题为（
）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都不爱踢足球
【答案】B
【解析】
解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，
故其否定为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．
故选：．
7．已知命题，，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
∵，，
∴，.
∵命题p为假命题，∴命题为真命题，
∴当时，方程没有实数根，
∴，即.
∴实数a的取值范围是.
故选：C.
8．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为命题“”是假命题，
所以否定形式为“”是真命题，
则，解得，故选D.
9．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】D
【解析】
若，，则，
∴．
若，，
则，
解得或．
∵命题和命题q都是真命题，
∴或，
∴．
故选：D．
10．已知命题，为真命题，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由,为真命题,故的取值不超过,即.
故选：A.
11．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（
）
A．
B．所有菱形的条边都相等
C．若为偶数，则
D．是无理数
【答案】B
【解析】
四个选项中是全称量词命题
对于：当时，不成立，为假命题.
对于：根据菱形定义知：所有菱形的条边都相等，为真命题.
故选：
12．下列四个命题，其中真命题是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】
对于A，当时，显然不成立，假命题；
对于B，，，假命题；
对于C，当时，两边显然相等，假命题；
对于D，当时，显然成立，真命题；
故选：D
13．命题“，”的否定为______.
【答案】，
【解析】
已知命题为全称命题，
则命题的否定为：，,
故答案为：，．
14．命题“”的否定是______．
【答案】，
【解析】
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，
则该命题的否定是：，
故答案为：，．
15．若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
由题意，解得或．
故答案为：．
16．已知命题p：存在x∈R，使得x2＋2ax＋a≤0.
若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________.
【答案】(0,1)
【解析】
命题p：?x∈R，x2+2ax+a≤0的否定为命题p：?x∈R，x2+2ax+a＞0
∵命题p为假命题
∴命题￢p为真命题
即x2+2ax+a＞0恒成立
∴△=4a2﹣4a＜0
解得0＜a＜1
故答案为（0，1）
17．判断下列存在量词命题的真假:
(1)有些实数是无限不循环小数;
(2)存在一个三角形不是等腰三角形;
(3)有些菱形是正方形;
(4)至少有一个整数是4的倍数.
【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.
【解析】
(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如等.故为真命题.
(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.
(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.
(4)假设有一个整数是4的倍数,则因为能被4整除,故为偶数,故为奇数,故为奇数.设,则,故除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数使得是4的倍数.故为假命题.
18．写出下列命题的否定：
（1）平面内不相交的两条直线是平行直线；
（2）素数是奇数．
【答案】（1）平面内存在不相交的两条直线不是平行直线．
（2）存在一个素数不是奇数．
【解析】
由题得（1）平面内存在不相交的两条直线不是平行直线；（2）存在一个素数不是奇数．
19．设集合,写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)；(2)不是素数.
【答案】(1)否定:.假命题；(2)否定:是素数.真命题.
【解析】
（1）否定:，假命题；
(（2）否定:是素数，真命题.
20．判断下列命题的真假：
（1）；（2）.
【答案】（1）假命题；（2）真命题.
【解析】
（1）；
当时，，故是假命题.
（2）.
取，计算得到：，故是真命题.
21．判断下列命题的真假：
（1）；
（2）.
【答案】（1）真命题；（2）真命题.
【解析】
（1）；
，当，即或时，真命题；
（2）.
根据完全平方公式得到，故
真命题.
课后练习
1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．?x>1，x2－2x－3＝0
B．若2x为偶数，则x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
【答案】C
【解析】对于A，是存在量词命题，故A不正确；
对于B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；
对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.
2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　)
A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C．所有四边形的四个顶点共圆
D．所有四边形的四个顶点都不共圆
【答案】A
【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.
3．下列命题为真命题的是(　　)
A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
【答案】C
【解析】A.x－2＝0?x＝?Q，故A错误；
B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误．
C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，
D．2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选C.
4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)
A．?x∈Q，有x∈P　　　　
B．?x?Q，有x?P
C．?x?Q，使得x∈P
D．?x∈P，使得x?Q
【答案】B
【解析】∵P∩Q＝P，∴P?Q，如图，
∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.
5．已知命题p：?x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－1}
B．{a|a≥1}
C．{a|a>1}
D．{a|a≤－1}
【答案】B
【解析】∵p为假命题，
∴綈p为真命题，即：?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，
∴1－a≤0，则a≥1.
∴a的取值范围是a≥1，故选B.
6.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
故选B．
7．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A．?x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
【答案】AC
【解析】命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题，故选A、C.
8.(多选)下列命题错误的是(　　)
A．?x∈{－1，1}，2x＋1>0
B．?x∈Q，x2＝3
C．?x∈R，x2－1>0
D．?x∈N，|x|≤0
【答案】ABC
【解析】对于A，x＝－1时，不合题意，A错误；
对于B，x＝±，B错误；
对于C，比如x＝0时，－1<0，C错误；D选项正确．
9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在实数x，使x2＋2<0;
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
【答案】①③④
【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.
10．若命题p：?x∈R，<0，则?p：________________．
【答案】?x∈R，>0或x－2＝0
11．若命题p：?a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则?p：________________．
【答案】?a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解
12.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)
【答案】是
【解析】∵命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋m>0”．
而命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“?x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．
∴两位同学题中m范围是一致的．
13．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
【解析】(1)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是存在量词命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．
14．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)正方形都是菱形；
(2)?x∈R，使4x－3>x；
(3)?x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【解析】(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：?x∈R.有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“?x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定：?x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“?x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
15．写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方都是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)?x∈R，x2＋3＜0；
(4)有些质数不是奇数．
【解析】(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．
(2)命题的否定：?x∈R，5x－12≠0.真命题．
(3)命题的否定：?x∈R，x2＋3≥0.真命题．
(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．
16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
【解析】(1)由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
所以B?A，B≠?，
所以，解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠?，因为B≠?，所以m≥2.
所以，解得2≤m≤4.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)