山西省“晋商四校”2011-2012学年高二下学期联考试题数学理

2011—2012学年度第二学期“晋商四校”高二联考
数学试题（理科）
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第I卷 选择题（共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.是虚数单位，复数的实部是 （ ）
A． 　 B． C． 　 　D．
2.命题：“”的否定为 （ ）
A． B．
C． D． 3.过点且垂直于直线的直线方程为 （　）A. B． C． D．
4.在“”，“”，“”形式的命题中“”为真，“”为假，“”为真，那么p，q的真假情况分别为 （ ）
A．真，假 B．假，真 C．真，真 D．假，假
5.定积分的值是 （ ）
A. B. C. D.
6.已知，由不等式…….,可以推出结论： = （ ）
A． B． C． D．
7.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是 （ ）
8. “”是“对任意的正数均有”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），
则该几何体的表面积及体积为（ ）
A. B.
C. D.以上都不正确
10.设四个点在同一球面上，且两两垂直，,那么这个球的表面积是 （ ） A． B． C． D．
11.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
12.已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
13.的递推关系式是 .
14.已知函数_______.
15. 已知为一次函数，且，则=______.
16.设为两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，，，则；
②若相交且不垂直，则不垂直；
③若，则n⊥；
④若，则．其中所有真命题的序号是　 　．
三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
求圆心在直线上，且经过原点及点的圆的标准方程.
18.（本小题满分12分）
求由抛物线与直线及所围成图形的面积.
19.（本小题满分12分）
把函数的图象按向量平移得到函数的图象．　
(1)求函数的解析式； (2)若，证明：.
20.（本小题满分12分）
已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若.
（1）求的长； （2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长为，焦点是，点到直线的距离为，过点且倾斜角为锐角的直线与椭圆交于A、B两点，使得.
(1)求椭圆的标准方程； (2)求直线l的方程．
22.（本小题满分12分）
设函数
（1）当时，求曲线处的切线方程；
（2）当时，求的极大值和极小值；
（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
2011—2012学年度第二学期“晋商四校”高二联考
数学（理）参考答案与评分标准
选择题答案（共12小题，每小题5分）：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A B B D C A A D D D
二、填空题(共4小题，每小题5分)：
13、; 14、0;
15、 ; 16、④
三、解答题：
17. （本小题满分10分）
解：设圆心C的坐标为（），...........2分
则，即
，解得........4分
所以圆心，半径...........8分
故圆C的标准方程为：.......10分
18.（本小题满分12分）
解：设所求图形面积为，则
----------4分
----------8分
．即所求图形面积为．---------------12分
19.（本小题满分12分）
(1)解：设上任意一点为（x,y）则平移前对应点是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分
(2) 证明：令，……6分
则……8分
,∴,∴在上单调递增．……10分
故，即……12分
20.（本小题满分12分）
解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 …………… 5分
(2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB
CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………… 9分
sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分
解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ……………………… 3分
=(2, －, －), =(0, －3, －h) ……… 4分
·=0, h=3
(2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分
(3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C－AB－C的大小满足cos== ……… 11分
二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ………………12分
21.（本小题满分12分）
解:(1)∵F1到直线x＝－的距离为，∴－＋＝.
∴a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.……4分
(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)．由第(1)问知
,
∴……6分
∵A、B在椭圆＋y2＝1上，
∴∴……10分
∴l的斜率为＝.
∴l的方程为y＝(x－)，即x－y－＝0.……12分
22.（本小题满分12分）
解：（1）当……2分
∴
即为所求切线方程。………………4分
（2）当
令………………6分
∴递减，在（3，+）递增
∴的极大值为…………8分
（3）
①若上单调递增。
∴满足要求。…………………10分
②若
∵恒成立，
恒成立，即a>0……………11分
时，不合题意。
综上所述，实数的取值范围是……………12分
C
B
A1
G
C
B
A