许昌市
2020—2021学年第二学期高中期末考试
高二理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在“条
形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用
2B
铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=｛x|x-5x+6>0｝,，则
A.(-)
B.(3,+)
C.
D.
1.答案：B
2.
A.2-i
B.-2-i
C．2+i
D．-2+i
2.答案：A
3.
A.
B.
C．
D．
3.答案：C
4．下表是某产品1~4月份销量(单位：百件)的一组数据，分析后可知，销量与月份（）之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则预测5月份的销量是（
）
月份
1
2
3
4
销量
4.5
4
3
2.5
A．
B．
C．
D．
4.答案：A
5.函数在处的切线方程为，则
A.10
B.20
C．30
D．40
5答案：B
6.
A.
xB.
yC．zD．z6.答案：A
7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A.
4
B.
2
C．1
．
7．答案：D
8.已知双曲线：（），为双曲线的左右焦点，在双曲线上，若，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
8．答案：D
9．若，则“”的一个充分不必要条件是
A．
B．
C．且
D．或
9．答案：C
10．在区间上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．答案：C
11．已知函数（其中）满足,直线为的一条对称轴，且函数在上单调，则实数的最大值为
A．6
B．10
C．14
D．18
11．答案：C
【解析】
∵函数f(x)在区间上单调，
∴
即，解得：ω?16，
∵x=?是y=f(x)的零点,直线x=为y=f(x)图象的一条对称轴，
∴,(n∈N)
即(n∈N)
当ω=14时,k∈Z，
取，
此时在上单调递减，满足题意；
故选：C.
12.数列的首项，且，令，则
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
【答案】2022
解：因为
所以
所以
且
所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列
所以
即
代入得
设数列的前n项和为
则
则.
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式的常数项是
答案：61
14．“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有5名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为
14.答案：
15．已知抛物线：.
如图，过焦点作斜率为直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，若，则
A．
B．
C．
D．
15．答案：
16.答案：
16：
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17.
（12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若求的值；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且BD＝1，求的最小值．
17.解析：（1）由正弦定理，得b2﹣3a2＝c2，即b2＝3a2+c2；
……………2分
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，又，所以2a2＝ac；
……………4分
所以．
………………6分
（2）由题意得S△ABC＝S△ABD+S△DBC，
即，
所以ac＝a+c，即；
………………………7分；
则，
当且仅当c＝2a，即时取等号；
所以4a+c的最小值为9．
………………………12分
18.
（12分）
某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；
方案二：交纳延保金7845元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．
某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：
维修次数
0
1
2
3
机器台数
10
20
40
30
以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记X表示这两台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．
解：（1）根据题意，随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6因为以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
所以，P（X＝0）＝0.1×0.1＝0.01，P（X＝1）＝×0.2×0.1＝0.04，
P（X＝2）＝0.2×0.2+×0.1×0.4＝0.12，P（X＝3）＝×0.1×0.1+×0.2×0.4＝0.22．P（X＝4）＝0.4×0.4+×0.2×0.3＝0.28
P（X＝5）＝＝0.24，P（X＝6）＝0.3×0.3＝0.09．........4分
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
0.01
0.04
0.12
0.22
0.28
0.24
0.09
........6分
（2）设所需延保金与维修费用之和为Yn（n＝1，2），若采用方案1，则随机变量Y1的分布列为：
Y1
6000
7500
9000
10500
12000
P
0.17
0.22
0.28
0.24
0.09
则随机变量Y1的期望为：E（Y1）＝6000×0.17+7500×0.22+9000×0.28+10500×0.24+12000×0.09＝8790元．.
.......8分
若采用方案2，则随机变量Y2的分布列为：
Y2
7845
a+7845
2a+7845
P
0.67
0.24
0.09
所以随机变量Y2的期望为：
E（Y2）＝0.67×7740+0.24×（a+7740）+0.09×（2a+7740）＝7845+0.42a元．
.......10分
令7845+0.42a＝8790，得a＝2250元，
①若a＜2250，则方案1的费用高，应选择方案2．
②若a＝2250，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案．
③若a＞2250，则方案2的费用高，应选择方案1．
.......12分
19.（12分）
如图，四棱锥中，底面为正方形，△为等边三角形，平面底面，为的中点．
（1）求证：；
（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
19.解：（1）取的中点连，
∵，
∴，又面面，面面，面，
∴面，.....................................2分
法一：面，则，
在正方形内，分别为的中点，
∴，则有，又，
∴，
∴，，.........................4分
∴平面，又平面，
∴．
.........................6分
法二：取的中点，连，则两两垂直，
∴分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系．
..............................2分
设，则，，，，
∴，，...............4分
则有，
∴．
................6分
（2）由（1）中法二，所得空间直角坐标系，易知，，，，
设，则，............................8分
设面的法向量为，则，即，令，则．
..............
10分
设直线与平面所成角的为，，
∴整理得：，即．
∴在上存在点，使得直线与平面成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等份点，即．
...............12分
20．（12分）
已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于两点（不同于），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程.
20．解：（1）因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，……①
将点代入椭圆方程得，……②
联立①②解得，，，
所以椭圆的标准方程为：.
…………………5
分
（2）由条件知直线与直线不重合，故直线的斜率不为，且，
设直线的方程为，
…………………6
分
联立可得，…………………7
分
设，
则，…………………8
分
由共线得：，
即：，……③
…………………9
分
同理，由共线得：，……④
…………10
分
由④-③消去并整理得，，
所以，解得，
综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动.
…………………12
分
21.
（12分）
已知函数.
（1）若
（2）当
解（1）设则，
当时，，所以单调递增，所以，
所以单调递增，
此时即，满足题意..............3分
②当时，在内必然存在一个，使得……………………4分
即在上单调递减，在上单调递增，此时，不满足题意.
所以实数的取值范围为………………6分
（2）当时，，所以要证，
只需证……………………7分
由（1）可知时，，即………………8分
所以要证，只需证，即证……9分
设，则……10分
所以在上单调递增，所以，即，所以
所以当时，.………………12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos
θ＝4的曲线C1与曲线C2(
θ为参数)相交于A，B两点，曲线C3是以AB
为直径的圆.
(1)求曲线C3的极坐标方程.
（2）若过点M0(4,3)斜率为的直线l与曲线C3相交于P、Q两点，求线段PQ中点M的坐标和线段M0M的长度.
22.解：
(1)ρcos
θ＝4化为直角坐标方程为x＝4①，
化为普通方程为y2＝x3②，
①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，所以曲线C3的普通方程为③.
故C3的极坐标方程为..............4分
依已知设直线的参数方程为（为参数）并代入③式整理得
由于，所以
所以，=,=,
故M的坐标为（）.....8分
由的几何意义知|M0M|=||=............10分.
23.[选修4-5：不等式选讲](10分)
已知关于实数x的不等式|2x+3|＋|x＋3|（1）求实数t的取值组成的集合M．
（2）已知a，b，c，d且a＋b＝1，cd＝2，求(ac＋bd)(bc＋ad)的最小值．
解:（1）设|2x+3|＋|x＋3|,由于2|x+|＋|x＋3||x+|＋|x＋3||+=|+（当且仅当=—时等号成立），所以函数的最小值为，故只需t+,所以t,M={t|t}.........5分
（2）由（1）知,所以(ac＋bd)·(bc＋ad)＝ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)≥2abcd＋cd·(a2＋b2)＝cd(a2＋2ab+b2)
＝cd(a＋b)2＝2(当且仅当c＝d＝时取等号)．.........10分的2020-2021学年上期期末联考
高二数学(理)试题
(考试时间:120分钟
试卷满分:150分)
、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1.在数列{a}中,已知=1,=2+(-1)(n=2),则a1=
B.3小
D
2.设a=x2-2x+2,b=1-x,则实数a与b的大小关系为
Aa>b
B
a=b
C
aD.与x有关
3.若不等式2x<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为
A.(-3,0)
B.[-3,0)
C.(-3,0]
D.[-3,0
4.如图,在四面体OABC中,M,N分别在棱OA,BC上,且满足OW=2M,BN=MC,点G是线
段MN的中点用向量ODE,0作为空间的一组基底表示向量O6为
=1a+1o+1o
B.D=3i+b0+3DC,形3
1
C.06=1o+1oB+10C
=1a+1o+1o6
C
x
B
5已知实数x,y满足约束条件{x+y≤1,则z=2x+y的最大值为
≥-1
3
A.3
B
W
C.79
D.230
6.如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°,山脚C处的俯角为
45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为
D
N
C
B
A.1503m
B.2003m
C.300m
D.3003m
高二数学(理)试题》第1页(共4页)一
7.已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=x)的递减区间为
4
小共本
A.(0,4)
B.(
4
C
D.(0,1),(4,+∞)
8.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一,他在研究切线时认识到,求曲线的切线的斜率
依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值,以及当此差值变成无限小时它们的比值,这也正是导
数的几何意义设f(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)>0,且对x,x2∈R,且x≠x2总有
f(x1)+f(x2)
/+x2
2),则下列选项正确的是
A.f(m)B.f(2)C.f(3)<(2)-(1)≤(2)
D.f(2)f(2)-f1)9.如图所示,在直三棱柱ABC=A1B1C1中,AC⊥BC,且BC=3,AC=4,CG1=3,点P在棱A4
上,且三棱锥A-PBC的体积为4,则直线BC1与平面PBC所成角的正弦值为
CI
出的,
C
B一
A
C
0
D
4
)△
10.定义:在数列{an}中,若满足“2-1=d(n∈N,d为常数),则称数列{an}为“等差比数
列”已知“等差比数列”{anP中,a1=a2=1,a3=3,则等于
A.4×20162-1
=B.4×20172-12
C.4×20182-1
D.4×2018
(,
11)知F,F是双曲线C:x2-1=1的左、右两个焦点若双曲线在第一象限上存在一点P
使得(O+OF2)·F2P=0,0为坐标原点,且|PF1|=A|PF2,则A的值为
A.3
B.2
C
高二数学(理)试题第2页(共4页)
