5.4三角函数图像（含解析）

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5.4三角函数图像
1．函数在区间上是单调的，若的最大值为，则的值为（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
因为函数在区间上是单调的，且的最大值为，
所以最小正周期，
所以，即.
故选：B.
2．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
当时，，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，的取值范围为，
故选：A.
3．函数图象的一个对称中心为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
令，可得．
所以当时，，故满足条件，
当时，，故满足条件；
故选：D
4．已知函数的相邻的两个零点之间的距离是，且直线是图象的一条对称轴，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为相邻的两个零点之间的距离是，所以，，所以，
又，且，则，
所以，则.
故选：D.
5．已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.
故选：A.
6．已知的定义域是，则的定义域为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】
的定义域是，故由可得，
解得，
因此，函数的定义域为.
故选：A.
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由知，，在区间上单增，应满足：
，，解得
又，易知k只能取0，
解得
故选：B
8．已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题知，函数的周期，则，
又，，
则，函数解析式为
则
由正弦函数性质知，，
解得
故选：C
9．已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B【详解】
由题意得：
故选：B.
10．已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，
①；
②点是的一个对称中心；
③直线是函数的一条对称轴；
④函数的单调递增区间是.
其中正确的（
）
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
【答案】D
【详解】
因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；
函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②不正确，③正确；
令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.
故选：D.
二、多选题
11．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（
）
A．函数在的取值范围是
B．函数在区间上单调递增
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
【答案】AC
解：∵函数，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为，∴．
∵恒成立，∴，∴，即，，
∴，故函数．
当，，，故A正确；
在区间上，，没有单调性，故B错误：；
令，求得，故点是函数图象的一个对称中心，故C正确；
将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象；
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象，故D错误，
故选：AC．
12．设函数，则下列结论正确的是（
）
A．的一个周期为
B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为
D．在上单调递减
【答案】ABC
【详解】
在A中，函数的，故周期，故A正确；
在B中，当时，为最大值，此时的图象关于直线对称，故B正确；
在C中，，，∴的一个零点为，故C正确；
在D中，函数在上单调先减后增，故D错误．
故选：ABC．
13．下列关于函数的说法正确的是（
）
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线对称
【答案】AC
【详解】
由
得
，
当，单调增区间为，所以选项A正确；
因为，所以函数的最小正周期是，所以选项B错误；
由得，当时，函数的对称中心为
，
所以函数的图象关于点成中心对称，选项C正确；
函数没有对称轴，所以选项D错误.
故选：AC.
14．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】
由题得，
令，解得，取k＝0，
，即．
故选：BCD
15．设函数则（
）
A．是偶函数
B．值域为
C．存在，使得
D．与具有相同的单调区间
【答案】BC
【详解】
因为.所以，不是偶函数，故选项A错误.
当时，，当时，，所以值域为，故B正确；
因为，，选项C正确.
因为具有单调性的区间与具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D错误(由表达式也可以看出).
故选：BC
16．已知和，则函数的图象与的图象的对称轴之间的最短距离为______________．
【答案】
【详解】
的对称轴方程为：，即；
的对称轴方程为：，即；
所以函数的图象与的图象的对称轴之间的距离为，
当
时，取得最小值，
所以最短距离为.
故答案为：
17．已知函数．
（1）写出f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在区间上的最小值和最大值．
【答案】（1）
；（2）最小值为，最大值为．
【详解】（1）f(x)的最小正周期为．
（2）因为，
所以．
所以函数在上单调递增，
当，即x＝0时，f(x)取得最小值；
当，即时，f(x)取得最大值．
所以f(x)在区间上的最小值为，最大值为．
18．已知函数图象经过点，，且在区间上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题意知，故，
又，，，即，，
因为，所以，
所以．
（2），，
∵在单调递增，在单调递减，
所以，所以函数的值域为．
19．已知函数的部分图象如图所示.
（1）直接写出的值；
（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间上的最小值.条件①：直线为函数的图象的一条对称轴；条件②：为函数的图象的一个对称中心
【答案】（1）；（2）条件选择见解析，在区间上的最小值为.
【详解】
（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，，则；
（2）选择条件①：因为直线为函数的图象的一条对称轴，
所以，，即，
，，则，，，
当时，，
所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即；
选择条件②：因为是函数图象的一个对称中心，
则，解得，
，，则，，，
当时，，
所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即.
20．已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）求的单调递增区间和单调递减区间．
（3）当，求值域．
【答案】（1）最小正周期为，对称轴为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）.
【详解】（1）∴，
令，
则，
故最小正周期为，对称轴为.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
（3）∵，
∴，
∴，
∴的值域为.
21．已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值．
【答案】（1），；（2）最小值，最大值.
【详解】（1）由已知的图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，，
，解得：.
所以函数的解析式是.
函数的增区间：令，
解得：，
所以函数的增区间为
（2）由（1）知，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.
因为，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为.
22．已知函数由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为；②最大值为2；③；④．
（1）写出能确定的三个条件，并求的解析式；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）条件①②③，；（2）增区间是，．
【分析】
（1）条件①必须有，否则不能确定函数的周期，从而求不出，有了①可求得，在周期确定的情况下，加上条件③④不能确定最大值和最小值，确定不了，这样条件必须条件②，确定出值，选④选，在范围内无值满足题意，这样只能选③，求出．
（2）结合正弦函数的增区间可求得结论．
【详解】
（1）选条件②③④，不能确定周期，求不出；选①③④，不能确定最大值和最小值，求不出；选①②④，求得的不满足已知条件．只能选①②③．
条件①②③，
，，，由，又得，
所以；
（2），，，
所以增区间是，．
【点睛】
方法点睛：本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的单调性．求三角函数解析式，通常与“五点法”联系，由周期确定，由最值确定，由点的坐标确定．也可能由某点的坐标确定，这时需要求出值，才可得出函数解析式．
23．已知函数（，）的最小正周期为，其图象的一条对称轴为直线，且函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）当时，方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先根据函数的最小正周期求出的值，根据图象的对称轴求出的值，根据的图象过点求出的值，即可得函数的解析式，即可求的值；
（2）先根据的取值范围作出的大致图象，再数形结合即可求得实数的取值范围．
【详解】
（1）由的最小正周期为，知：，即．
又图象的一条对称轴为直线，
∴，，又，即．
∵图象过点，即，得．
∴，故．
（2）当时，，，
∴，作函数在上的图象，如下图示，
数形结合可知，若方程有两个不同的实数根，则，
即：实数的取值范围为．
【点睛】
易错点点睛：（2）中，求实数的取值范围时，易忽略区间的开闭问题，误当时方程也有两个不同的实数根，而得到错误的结果．
24．已知函数的部分图像如图.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的单调增区间.
（3）若关于的方程(为实数)在上恒有实数解，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）单调增区间是，；（3）.
【分析】
（1）由最大值求出A,由求周期，由时取得最大值2求；（2）整体思想求单调区间；（3）分离参数求解的值域得
得解
【详解】
（1）由题意可知，，g.当时取得最大值2，∴因为∴.∴.
（2）由解得故函数的单调增区间是当
与取交集，得当时，函数单调增区间是，
（3）∵，∴，∴，
∴.∵关于的方程(为实数)在上恒有实数解，即在上恒有实数解，∴，∴，即的取值范围是.
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