高一第二学期
巩固提升篇
概率单元综合
高一第二学期必修第二册
巩固提升篇—概率单元综合
选择题
1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（
）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数
B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数
D．恰有一个偶数和没有偶数
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为( )
A．
B．
C．
D．
4.某箱内有十张标有数字0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )
A．
B．
C．
D．
5.已知随机事件和互斥，且，，则（
）
A．0.5
B．0.1
C．0.7
D．0.8
6.
某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7.疫情就是命令，防控就是责任，为了打赢疫情防控阻击战，落实教育部、省教育厅关于“停课不停学”精神，我市教科院积极行动，组织各学校优秀教师录课，然后再选出优秀课例通过电视，今日郴州等渠道全方位、无死角、多路径推送到各年级供学生使用.某校高一年级要在甲、乙、丙、丁、戊5位优秀数学教师中随机抽取2人参加录课，则甲教师被选中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8.
甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A．
B．
C．
D．
9．人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作，隐性基
因记作；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是
说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”，人的卷舌与平舌
（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基
因、隐形基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的．生物学上
已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼
皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且
卷舌的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
填空题
10.一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B∪C)＝________.
11.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是______.?
12.设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．
13.A、B两人进行一局围棋比赛，A获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5,6,7表示A获胜；8,9表示B获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.
例如，产生30组随机数：034
743
738
636
964
736
614
698
637
162
332
616
804
560
111
410
959
774
246
762
428
114
572
042
533
237
322
707
360
751，据此估计B获胜的概率为__________．
14.下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；
②百分率是频率，但不是概率；
③频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是______________．
15.某学校团委在2021年春节前夕举办教师“学习强国”知识答题赛，其中高一年级的甲、乙两名教师组队参加答题赛，比赛共分两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．假定甲、乙两人答题正确与否互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为____________．
解答题
16.甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
17.
袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球.
（1）若从中一次性（任意）摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率；
（2）若从中任取一个球给小朋友甲，然后再从中任取一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球的概率.
（3）若从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球恰好有一个黑球的概率.
18.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
19.
在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件为“任选一灯谜，甲猜对”，事件为“任选一灯谜，乙猜对”．
（1）任选一道灯谜，记事件为“恰有一个人猜对”，求事件发生的概率；
（2）任选一道灯谜，记事件为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件发生的概率．
20.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
1高一第二学期
巩固提升篇
概率单元综合
高一第二学期必修第二册
巩固提升篇—概率单元综合
选择题
1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
【解析】该生选报的所有可能情况有：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，所以样本点有3个.
2.从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（
）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数
B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数
D．恰有一个偶数和没有偶数
【答案】D
【解析】从1,2,3,4,5中任取两个数
对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以A错误;
对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数,两个事件互斥,且为对立事件,所以B错误;
对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以C错误.
对于D,恰有一个偶数和没有偶数,为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数,所以两个事件互斥且不对立,所以D正确.
综上可知,D为正确选项
故选:D
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】
D
【解析】∵“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，∴P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
4.某箱内有十张标有数字0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【解析】
数字不小于6有6,7,8,9共4个样本点，而试验空间中样本点的总数为10，故P＝＝.
5.已知随机事件和互斥，且，，则（
）
A．0.5
B．0.1
C．0.7
D．0.8
【答案】A
【解析】因为事件和互斥，所以,
则，故.故答案为A.
6.
某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，
则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为.
故选：D.
7.疫情就是命令，防控就是责任，为了打赢疫情防控阻击战，落实教育部、省教育厅关于“停课不停学”精神，我市教科院积极行动，组织各学校优秀教师录课，然后再选出优秀课例通过电视，今日郴州等渠道全方位、无死角、多路径推送到各年级供学生使用.某校高一年级要在甲、乙、丙、丁、戊5位优秀数学教师中随机抽取2人参加录课，则甲教师被选中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
甲、乙、丙、丁、戊5位优秀数学教师中随机抽取2人，
共有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊共种不同的选法，
其中甲教师被选中的有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊共种不同的选法，
所以甲教师被选中的概率为.
故选：B.
8.
甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
甲要获得冠军共分为两个情况：
一是第一场就取胜，这种情况的概率为
一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为
则甲获得冠军的概率为
故选：A．
9人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”，人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因、隐形基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的．生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】控制不同性状的基因遗传时互不干扰．有一对夫妻，
两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，
不考虑基因突变，基本事件总数，
他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为：
，，，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为．
填空题
10.一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B∪C)＝________.
【答案】
【解析】
由古典概型的算法可得P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
11.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是______.?
【答案】
【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为=.
12.设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．
【答案】
【分析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.
【解析】
与对立，，
与互斥，.
故答案为：.
13.A、B两人进行一局围棋比赛，A获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5,6,7表示A获胜；8,9表示B获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.
例如，产生30组随机数：034
743
738
636
964
736
614
698
637
162
332
616
804
560
111
410
959
774
246
762
428
114
572
042
533
237
322
707
360
751，据此估计B获胜的概率为__________．
【答案】
【解析】
由30组别的随机数，采用三局两胜制得到B获胜满足的基本事件有：
698，959，共2个，
∴B获胜的概率为p．
故答案为．
14.下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；
②百分率是频率，但不是概率；
③频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是______________．
【答案】①③④
【分析】根据频率与概率的概念与区别，依次判断各选项即可．
【解析】对于①，由频率和概率概念：
频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小．可知①正确；
对于②，概率也可以用百分率表示，故②错误．
对于③，频率与试验次数相关，而概率与试验次数无关，所以③正确；
对于④，对于不同批次的试验，频率不一定相同，但概率相同，因而频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，所以④正确．
由概率和频率的定义中可知①③④正确．
故答案为
①③④
【点睛】本题考查了频率与概率的概念与区别，对概念要理解准确，属于基础题．
15.某学校团委在2021年春节前夕举办教师“学习强国”知识答题赛，其中高一年级的甲、乙两名教师组队参加答题赛，比赛共分两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．假定甲、乙两人答题正确与否互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为____________．
【答案】
【解析】
由题意知：甲、乙两人共答对三个题的基本事件有{甲答对2个乙答对1个，甲答对1个乙答对2个}，而甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．
∴甲答对2个乙答对1个的概率为，
甲答对1个乙答对2个的概率为，
∴甲、乙两人共答对三个题的概率为.
故答案为：.
解答题
16.甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.
【解析】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，
由于两个人投篮的结果互不影响，
所以与相互独立，与，与，与都相互独立，
由己知可得，，则，；
（Ⅰ）“两人都投中”，则；
（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，
则
；
（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，
所以
.
17.
袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球.
（1）若从中一次性（任意）摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率；
（2）若从中任取一个球给小朋友甲，然后再从中任取一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球的概率.
（3）若从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球恰好有一个黑球的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）从中一次性（任意）摸出2个球，所有的结果为：
共10种，
记“恰有一个黑球和一个红球”为事件，包含的结果为：
，共6种，
则；
（2）甲、乙两位小朋友拿到的球的所有结果为：
共20种，
记“甲、乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球”为事件，
包含的结果为：
，共12种，
则；
（3）从中连续取两次，每次取一球后放回，所有的结果为：
，共25种，
记“取出的两个球恰好有一个黑球”为事件，
则包含的结果为：
，共12种，
则.
18.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【答案】 (1)
1,3,2.(2)
【解析】 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取2件商品，试验的样本空间Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个样本点．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个．所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
19.
在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件为“任选一灯谜，甲猜对”，事件为“任选一灯谜，乙猜对”．
（1）任选一道灯谜，记事件为“恰有一个人猜对”，求事件发生的概率；
（2）任选一道灯谜，记事件为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件发生的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意可得，，再根据即可求出结果；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对概率为，根据即可求出结果．
【解析】
（1）由题意可得，，
；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
，
∴．
20.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
【答案】(1)
a＝0.006.(2)
0.4.(3)
【解析】 (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10个样本点．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即(B1，B2)，故所求的概率为.
1
