(共21张PPT)
2.3.3~2.3.4 直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
一
二
一、直线与平面垂直的性质定理
1.在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直,那么这些电线杆之间存在什么位置关系呢?
提示:平行.
一
二
2.直线与平面垂直的性质定理
3.做一做:直线n⊥平面α,n∥l,直线m?α,则l,m的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
解析:由题意可知l⊥α,∴l⊥m.
答案:D
一
二
二、平面与平面垂直的性质定理
1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
提示:容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.
一
二
2.填表:平面与平面垂直的性质定理
一
二
3.做一做:若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则
( )
A.α∥γ
B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直
D.以上都有可能
答案:D
探究一
探究二
思想方法
直线与平面垂直的性质的应用
例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.
思路分析:两直线垂直于同一平面?两直线平行.
证明因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟1.线面垂直的性质:应用直线与平面垂直的常见性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了证明线线平行的依据.
2.直线与平面垂直的其他性质:
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线;
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面;
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究1本例中条件不变,求证:M是AB中点.
证明连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.
所以ON∥AM.
又因为由例题可知MN∥OA,
所以四边形AMNO为平行四边形,
所以ON=AM.
所以M是AB的中点.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究2本例中把条件“MN⊥平面A1DC”改为“M是AB中点”,求证:MN⊥平面A1DC.
证明连接A1M,CM,取CD中点P,连接NP,MP,
由正方体AC1,M,N为中点,则A1M=CM,
所以MN⊥A1C.
又P为CD中点,所以PN∥A1D.
因为CD⊥A1D,所以CD⊥PN.
又MP⊥CD,MP∩PN=P,
所以CD⊥平面MPN.
因为MN?平面MPN,
所以MN⊥CD.
又A1C∩CD=C,
所以MN⊥平面A1DC.
探究一
探究二
思想方法
平面与平面垂直的性质的应用
例2
如图,已知V是△ABC外一点,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求证:AB⊥BC.
思路分析:要证AB⊥BC,可证BC⊥平面VAB,易得VA⊥BC.又平面VAB⊥平面VBC,所以可在平面VAB内过A作VB的垂线,即与BC垂直,可得证.
探究一
探究二
思想方法
证明:在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.
∵平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,
∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.
∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC.
∵AD∩VA=A,且VA?平面VAB,AD?平面VAB,
∴BC⊥平面VAB.
∵AB?平面VAB,
∴AB⊥BC.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟面面垂直的常见性质
1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
2.平面与平面垂直的其他性质:
(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究【例2】中的已知换为:平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.试证:VA⊥BC.
证明:∵平面VAB⊥平面ABC,
平面VAB∩平面ABC=AB,AC?平面ABC,CA⊥AB,
∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.
同理,BA⊥VA.
又AB∩AC=A,∴VA⊥平面ABC,
∵BC?平面ABC,∴VA⊥BC.
探究一
探究二
思想方法
转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用
典例
已知α,β,γ是三个不同的平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ.
【审题视角】
根据直线和平面垂直的判定定理,可在γ内构造两相交直线分别与平面α,β垂直;或者由面面垂直的性质易在α,β内作出平面γ的垂线,再设法证明l与其平行即可.
探究一
探究二
思想方法
证法一在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于点A,PB垂直β与γ的交线于点B,则PA⊥α,PB⊥β.
∵l=α∩β,
∴l⊥PA,l⊥PB.
又PA∩PB=P,且PA?γ,PB?γ,
∴l⊥γ.
证法二在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,
∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ.
∴m∥n.
又n?β,m?β,∴m∥β.又m?α,α∩β=l,
∴m∥l.∴l⊥γ.
探究一
探究二
思想方法
方法点睛空间垂直关系的转化关系
1
2
3
1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则( )
A.PD?平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
解析:∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,∴PD⊥平面ABC.
答案:B
1
2
3
2.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )
A.m∥n
B.n⊥m
C.n∥α
D.n⊥α
解析:已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,m?α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β.
答案:B
1
2
3
3.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=
,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC= .?
解析:取AB的中点E,连接PE.
∵PA=PB,∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.
连接CE,∴PE⊥CE.
7(共40张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
一
二
三
一、平面
1.生活中粉笔、电线杆等给我们以直线的形象;黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等则给我们以平面的印象,试举出更多例子.那么,平面的含义是什么呢?
提示:教室的地面,天花板等,几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.但是,几何里的平面是无限延展的.
2.通常用什么图形来表示平面?
提示:一般用平行四边形.
一
二
三
3.关于平面的含义、画法及记法,请完成下表:
一
二
三
一
二
三
二、点、直线、平面之间的位置关系
1.平面α是由点组成的,直线l也是由点组成的,从集合的观点看,点P与直线l有何关系?点P与平面α有何关系?直线l与平面α呢?
提示:P∈l或P?l.P∈α或P?α.l?α或l?α.
2.若A∈a,a?α,能否推出A∈α?
提示:由直线在平面内的定义可知,若A∈a,a?α,则A∈α.
一
二
三
3.关于点、直线、平面之间的位置关系及语言表达,请完成下表:
一
二
三
4.做一做:如图,点A 平面ABC;点A 平面BCD;BD 平面ABD;平面ABC∩平面BCD= .?
答案:∈ ? ? BC
一
二
三
三、平面的基本性质
1.现实生活中,我们可以做这样一个试验:把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上.从该试验中我们能得到什么结论呢?
提示:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
2.观察下图,你能得出什么结论?
提示:不共线的三点可以确定一个平面.
一
二
三
3.观察正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示),平面ABCD与平面ABB1A1有且只有两个公共点A,B吗?
提示:不是.平面ABCD与平面ABB1A1相交于直线AB.
一
二
三
4.关于平面的基本性质,请完成下表:
一
二
三
一
二
三
5.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)三点可以确定一个平面.( )
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.( )
(3)四边形是平面图形.( )
(4)两条相交直线可以确定一个平面.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明点、线共面
例1
证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.
已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
思路分析:先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面α与l2,l3确定的平面β重合.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2?α,∴B∈α.
同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3?α.
∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
证法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,
∴l1,l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟证明多线共面的常用方法
(1)纳入法:先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内.
(2)重合法:先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究(1)把【例1】中的“不过同一点”删掉呢?这三条直线是否共面?
(2)把【例1】中“三条直线”改为“四条直线”呢?这四条直线是否共面?试证明你的结论.
解:(1)①不一定共面.
若三条直线两两相交,且过同一个点.
这三条直线在同一个平面内相交,如图.
探究一
探究二
探究三
思想方法
这三条直线不共面.如图.
②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由【例1】可知,这三条直线共面.
探究一
探究二
探究三
思想方法
(2)共面.
已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.
求证:a,b,c,d四线共面.
证明:①无三线共点情况,如图.
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.
因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,
所以NQ?α,即b?α.
同理,c?α,所以a,b,c,d共面.
探究一
探究二
探究三
思想方法
②有三线共点的情况,如图.
设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K?a,
因为K?a,所以K和a确定一个平面,设为β.
因为N∈a,a?β,所以N∈β.所以NK?β,即b?β.
同理,c?β,d?β.
所以a,b,c,d共面.
由①②知,a,b,c,d共面.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明多点共线
例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.
求证:P,Q,R三点共线.
思路分析:证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线.也可以证明点Q既在平面APR内,也在平面α内,即点Q在平面APR与平面α的交线PR上.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,
∴P,Q,R三点共线.
证法二∵AP∩AR=A,
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC?平面APR.
∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,
∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟证明多点共线的常用方法
证明多点共线通常利用公理3,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为 .(填“共线”或“不共线”)?
探究一
探究二
探究三
思想方法
解析:如图所示,连接A1B,BD1,CD1.
∵A1C∩平面ABC1D1=E,
∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.
∵A1C?平面A1BCD1,
∴E∈平面A1BCD1.
∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,
∴E∈BD1,∴B,E,D1三点共线.
答案:共线
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明多线共点
例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.
思路分析先证明两直线相交于P,再根据公理3证明点P落在第三条直线上.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明如图,连接EF,D1C,A1B.
∵E为AB的中点,F为AA1的中点,
又∵A1B?D1C,
∴E,F,D1,C四点共面,
∴D1F与CE相交,设交点为P.
又D1F?平面A1D1DA,
CE?平面ABCD,
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,
根据公理3,可得P∈DA,
即CE,D1F,DA相交于一点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟证明三线共点常用的方法
(1)先说明两条直线共面且交于一点,然后说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.
(2)也可以说明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再说明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.
求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明:延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,
∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,
∴EH,FG共面,且与FG不平行.
∵O∈EH,EH?平面ABD,
∴O∈平面ABD,
∵O∈FG,FG?平面BCD,
∴O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD=BD,
∴O∈BD,
所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
探究一
探究二
探究三
思想方法
转化思想在文字语言、图形语言与符号语言中的应用
典例
(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形.
①三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
②平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
(2)用文字语言和符号语言表示下图.
【审题视角】
(1)根据条件,先适当确定其中的某一个平面,再根据点、线、面的位置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡部分用虚线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)①符号语言.α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;图形表示如图所示.
②符号语言.平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;图形表示如图所示.
(2)文字语言.平面α内的直线m和n相交于点A;符号语言.m?α,n?α,且m∩n=A.
探究一
探究二
探究三
思想方法
方法点睛用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直线且位置关系如何,图中的直线和平面的位置关系如何,有几点且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表示,然后用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是( )
解析:选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.
答案:D
1
2
3
4
1.如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )
A.l?α
B.l?α
C.l∩α=M
D.l∩α=N
解析:据公理1可知:直线l上两点M、N都在平面α内,所以l在平面α内.
答案:A
1
2
3
4
2.下列图形中,不一定是平面图形的是( )
A.三角形
B.平行四边形
C.梯形
D.四边相等的四边形
解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形.故选D.
答案:D
1
2
3
4
3.已知平面α∩平面β=l,点P∈α,P∈β,则点P与直线l的关系是 .?
答案:P∈l
1
2
3
4
4.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定 个平面.?
解析:三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图所示,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面α,直线b,c确定平面β,直线a,c确定平面γ,共3个平面.
答案:3(共35张PPT)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一
二
三
四
一、空间中两条直线的位置关系
1.同一平面内两条直线有几种位置关系?分别是什么关系?
提示:两种.分别是平行关系和相交关系.
2.观察长方体ABCD-A1B1C1D1,棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线在同一个平面内吗?它们是什么关系?
提示:不在同一个平面内,它们是异面关系.
3.分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
提示:不一定.它们可能异面,可能相交,也可能平行.
一
二
三
四
4.空间的两条直线有几种位置关系?分别是什么关系?
提示:三种:相交直线、平行直线和异面直线,其中相交直线和平行直线是共面直线.
5.填空:
6.做一做:平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是 .?
答案:相交或异面
一
二
三
四
二、平行公理
1.观察长方体ABCD-A1B1C1D1,显然AB∥CD,CD∥C1D1,则AB与C1D1有何位置关系?
提示:AB∥C1D1.
2.关于公理4,请完成下表:
一
二
三
四
3.做一做:
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1O和C1O的中点,长方体的各棱中与EF平行的有( )
A.一条
B.两条
C.三条
D.四条
解析:因为E,F分别为B1O和C1O的中点,所以B1C1∥EF.因为BC∥AD∥A1D1∥B1C1,所以有四条棱与EF平行.
答案:D
一
二
三
四
三、等角定理
1.如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?
提示:∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠A'B'C'=180°.
2.平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补”,在空间中,该结论是否仍然成立?
提示:仍然成立.
一
二
三
四
3.填空:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.做一做:已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=( )
A.30°
B.150°
C.30°或150°
D.大小无法确定
解析:当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相同时,∠B'A'C'=30°;当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相反时,∠B'A'C'=150°.
答案:C
一
二
三
四
四、异面直线所成的角
1.在长方体A1B1C1D1-ABCD中,BC1∥AD1,则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等?
提示:相等.
2.若两条相交直线a',b'所成的角为θ',则θ'的取值范围是什么?类似地,若两条异面直线a,b所成的角为θ,则θ的取值范围是什么?
提示:0°<θ'≤90°,0°<θ≤90°.
一
二
三
四
3.关于两条异面直线所成的角(夹角),填写下表:
一
二
三
四
4.做一做:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为 .?
答案:65°
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间两条直线位置关系的判定
例1
(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线间的位置关系:
①直线A1B与直线D1C ;?
②直线A1B与直线B1C ;?
③直线D1D与直线CE(E为线段C1D1的中点) ;?
④直线AB与直线B1C .?
(2)已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
思路分析:(1)
(2)根据异面直线的定义分析.
解:(1)①平行 ②异面 ③相交 ④异面
(2)直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示.
直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间两条直线位置关系的判定方法:
(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断.
(2)判定两条直线是异面直线的方法:
①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
②排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交);
③重要结论(判定定理法):连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.如图,A?α,B∈α,l?α,B?l?AB与l是异面直线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究在本例的正方体中,所有与直线AB异面的棱所在的直线为 .?
答案:CC1,B1C1,DD1,A1D1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平行公理、等角定理的应用
例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)求证:∠B1M1C1=∠BMC.
思路分析:(1)通过公理4证明MM1∥BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1∥BM,同理证得C1M1∥CM,再由等角定理证得∠BMC=∠B1M1C1.也可以通过证明△BCM≌△B1C1M1证出∠BMC=∠B1M1C1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,
∴MM1?AA1.
又AA1?BB1,
∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1∥BM.
由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.
(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1=BM.
由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1=CM.
又B1C1=BC,
∴△B1C1M1≌△BCM,
∴∠B1M1C1=∠BMC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟公理4及等角定理的应用
判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分,除了平面几何中常用的判断方法以外,公理4也是判断两直线平行的重要依据.
证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:
(1)四边形MNA1C1是梯形;(2)∠DNM=∠D1A1C1.
证明(1)如图,连接AC,
在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,∴MN∥AC,MN=
AC.
由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=
A1C1,即MN≠A1C1,∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求异面直线所成的角
例3
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.
思路分析:先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法一如图(1),连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法二如图(2),连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE=
DB1.
于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.
取A1D1的中点I,连接IF,IH,则HI⊥IF,
∴HF2=HI2+IF2=
,
∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法三如图(3),在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.
于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟(1)求两条异面直线所成角的一般步骤
①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;
②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;
③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;
④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.
(2)作异面直线所成角的常用方法
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);
②中位线平移法;
③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);
②中位线平移法;
③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?
解:如图,连接A1C1,A1D.
在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角.
在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,
所以∠A1C1D=60°,
所以直线DC1与EF所成的角等于60°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
一题多解——判断两条直线异面
典例如图,空间四边形ABCD,AB≠AC,AE是△ABC的BC边上的高,DF是△BCD的BC边上的中线,求证:AE和DF是异面直线.
点拨:根据题意画出示意图,由题设条件可知点E,F不重合,需结合AE和DF的位置关系判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证法一(定理法)
由题设条件可知点E、F不重合,设△BCD所在平面为α.
证法二(反证法)
若AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE、DF的平面为β.
(1)若E,F重合,则E是BC中点,AB=AC,这与题设AB≠AC相矛盾.
(2)若E,F不重合,
∵B∈EF,C∈EF,EF?β,∴BC?β.
∵A∈β,D∈β,
∴A、B、C、D四点共面,这与题设四边形ABCD是空间四边形相矛盾.
综上,AE和DF不是异面直线不成立.
故AE和DF是异面直线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法总结
判断两条直线异面常用的方法:
(1)定义法,不同在任一平面内的两条直线;
(2)定理法,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.
(3)推论法,一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.
1
2
3
4
5
1.空间两条直线a、b与直线l都成异面直线,则a、b的位置关系是( )
A.平行或相交
B.异面或平行
C.异面或相交
D.平行或异面或相交
解析:直线a、b与直线l都成异面直线,a与b之间并没有任何限制,所以a与b直线的位置关系所有情况都可能.
答案:D
1
2
3
4
5
2.直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上都有可能
解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,AB∥A1B1;又AD与AA1相交,AB与AD相交;又A1D1与AA1相交,AB与A1D1异面.故选D.
答案:D
1
2
3
4
5
3.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC的大小是( )
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
解析:将平面图形折叠,得立体图,如图所示,可得△ABC的各边均为正方形的面对角线长,所以△ABC为等边三角形,所以∠ABC的大小为60°.故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
4.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于
( )
A.30°
B.30°或150°
C.150°
D.以上结论都不对
解析:∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行,但方向不能确定是否相同.∴∠PQR=30°或150°.
答案:B
1
2
3
4
5
5.如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.则四边形EFGH是 .?
解析:连接BD,因为EH是△ABD的中位线,
∴EH∥FG,且EH=FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
答案:平行四边形(共23张PPT)
2.1.3~2.1.4 空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系
一
二
一、直线与平面的位置关系
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直线与平面平行.
一
二
2.如何用图形语言表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用符号语言表示?
提示:图形表示如下图所示:
符号语言为:a?α,a∩α=A,a∥α.
一
二
3.关于直线与平面的位置关系,请填写下表:
一
二
二、平面与平面的位置关系
1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?
提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行.
2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达?
提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
一
二
3.关于平面与平面的位置关系,请填写下表:
一
二
4.做一做:(1)正方体的六个面中互相平行的平面有
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,故六个面中互相平行的平面有3对.
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是 .?
答案:平行或相交
探究一
探究二
思想方法
直线与平面的位置关系
例1
给出下列四个命题:
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b?α,则a∥α;④若a∥b,b?α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线,其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析:判断直线与平面位置关系,除了定义法外,还可以借助几何体模型(如长方体等)和举反例进行逐项判断.
解析:对于①,直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.故①错.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情形:a∥α,a与α相交,故②错.对于③,由直线a∥b,b?α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,故③错.对于④,∵a∥b,b?α,
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
探究一
探究二
思想方法
反思感悟直线与平面位置关系的判断方法
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.平面α内的所有直线均与a异面
B.平面α内不存在与a平行的直线
C.平面α内直线均与a相交
D.直线a与平面α有公共点
解析:由于直线a不平行于平面α,则a?α或a与α相交,故A错;当a?α时,在平面α内存在与a平行的直线,故B错;因为α内的直线也可能与a平行或异面,故C错;由线面平行的定义知D正确.
答案:D
探究一
探究二
思想方法
平面与平面的位置关系
例2
给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是( )
①平面α内有两条直线和平面β平行,则这两个平面平行;
②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;
③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行;
④若两个不重合的平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.
A.0
B.1
C.3
D.4
探究一
探究二
思想方法
思路分析:由两个平面间的位置关系逐一判断.
解析:如图甲,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交;如图乙,△ABC的三个顶点到β的距离相等,但α与β相交.故①②③均错.
不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故④正确.
答案:B
探究一
探究二
思想方法
反思感悟平面与平面的位置关系的判断方法
(1)判定两个平面相交,只需找到两个平面的一个公共点,就可根据公理3知,两个不重合的平面是相交的.
(2)判定两个平面平行,可根据定义判定两个平面没有公共点,也可以排除两个平面相交,从而判定两平面平行.
探究一
探究二
思想方法
变式训练
若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.重合
D.平行或相交
解析:如图①,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱BC、A1D1的中点,则A1B∥MN∥D1C,且A1B=MN=D1C,故夹在两相交平面ADD1A1和平面ABCD间的三条平行线段相等.
如图②,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为A1B1、AB的中点,AA1∥EF∥BB1,且AA1=EF=BB1.故夹在两平行平面ABCD和平面A1B1C1D1间的三条平行线段相等.
答案:D
探究一
探究二
思想方法
定义法与模型法判断空间中的位置关系
典例下列说法正确的是( )
A.如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面
B.如果直线a和平面α满足a∥α,那么a平行于平面α内的任何一条直线
C.如果直线a,b满足a∥α,b∥α,则a∥b
D.如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α
思路分析:解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征,结合相关图形,依据位置关系的定义作出判断.
探究一
探究二
思想方法
解析:如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,
AA'∥BB',AA'在过BB'的平面AB'内,
故选项A不正确;
AA'∥平面B'C,BC?平面B'C,但AA'不平行于BC,
故选项B不正确;
AA'∥平面B'C,A'D'∥平面B'C,
但AA'与A'D'相交,
所以选项C不正确;
选项D中,假设直线b与平面α相交,因为a∥b,
所以直线a与平面α相交,这与a∥α矛盾,
故b∥α,即选项D正确.故选D.
答案:D
探究一
探究二
思想方法
方法总结
(1)空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.
(2)在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
探究一
探究二
思想方法
变式训练
如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.不能确定
解析:如图所示,由图可知C正确.
答案:C
1
2
3
4
1.若一直线上有两点在已知平面外,则下列命题正确的是
( )
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
解析:直线上有两点在已知平面外,则直线与平面平行或相交.相交时有且只有一个点在平面内,故A、C不对;直线与平面平行时,直线上没有一个点在平面内,故D不对.
答案:B
1
2
3
4
2.若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上都可能
解析:若a∥α,则a与α内的直线平行或异面;
若a与α相交,则a与α内的直线相交或异面.
答案:D
1
2
3
4
3.已知直线a,b与平面α满足a∥α,b∥α,则a与b的位置关系是 .?
答案:平行、相交或异面
1
2
3
4
4.过平面外两点,可作 个平面与已知平面平行.?
解析:若过两点的直线与已知平面相交,则作不出平面与已知平面平行;若过两点的直线与已知平面平行,则可作一个平面与已知平面平行.
答案:0或1(共30张PPT)
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1~2.2.2 直线与平面平行的判定
平面与平面平行的判定
一
二
一、直线与平面平行的判定定理
1.如图,将课本ABCD的一边AB紧贴桌面α,把课本绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?
提示:因为没有公共点,所以CD∥α.
一
二
2.填表:直线与平面平行的判定定理
3.做一做:能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A.b?α,a∥b
B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a?α,b?α,a∥b
答案:D
一
二
二、平面与平面平行的判定定理
1.三角板的一条边所在直线与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗?
提示:不一定平行.
2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗?
提示:平行.
3.如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行?这两个平面平行吗?
提示:无数条,不平行.
一
二
4.填表:平面与平面平行的判定定理
5.做一做:若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不对
答案:C
一
二
6.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
( )
(2)如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行.
( )
(3)如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行.
( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
直线与平面平行的判定
例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G.
思路分析:根据直线与平面平行的判定定理进行证明即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点知,EF∥BC1.
又AB?A1B1?D1C1,
所以四边形ABC1D1是平行四边形,
所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1.
又EF?平面AD1G,AD1?平面AD1G,
所以EF∥平面AD1G.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟证明直线与平面平行的思路及步骤
(1)证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理.(2)用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1如图,P是?ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC.
证明:设PC的中点为G,连接EG,FG.
∵F为PD的中点,∴GF∥CD,且GF=
CD.
∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点,
∴GF∥AE,GF=AE,
∴四边形AEGF为平行四边形,
∴EG∥AF.
又∵AF?平面PEC,EG?平面PEC,∴AF∥平面PEC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面与平面平行的判定
例2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,求证:
(1)E,F,B,D四点共面;
(2)平面MAN∥平面EFDB.
思路分析:(1)只需证明BD∥EF,即可证明E,F,B,D共面.(2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AM∥平面EFDB.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:(1)连接B1D1.
∵E,F分别是B1C1和C1D1的中点,
∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,
∴BD∥EF.∴E,F,B,D四点共面.
(2)由题意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,
∴MN∥BD.
而MN?平面EFDB,
∴MN∥平面EFDB,连接MF.
∵点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,∴MF?AD.
∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.
∵AM?平面EFDB,DF?平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟证明平面与平面平行的思路及步骤
(1)证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法).
(2)用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究本例中,设P是棱AA1的中点,其他条件不变,求证:平面PMN∥平面C1BD.
证明:连接AB1.
∵P,M分别是AA1,A1B1的中点,∴PM∥AB1.
又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.
又PM?平面C1BD,C1D?平面C1BD,∴PM∥平面C1BD.
同理MN∥平面C1BD.又PM∩MN=M,
∴平面PMN∥平面C1BD.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
线面平行、面面平行判定定理的综合
例3如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAC;
(2)求证:平面PCG∥平面AEF;
(3)在线段BD上找一点H,使得FH∥平面PCG,并说明理由.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)证明∵E,F分别是BC,BP中点,
∵PC?平面PAC,EF?平面PAC,
∴EF∥平面PAC.
(2)证明∵E,G分别是BC,AD中点,
∴AE∥CG,
∵AE?平面PCG,CG?平面PCG,
∴AE∥平面PCG,
又∵EF∥PC,
PC?平面PCG,EF?平面PCG,
∴EF∥平面PCG,
AE∩EF=E,AE,EF?平面AEF,
∴平面AEF∥平面PCG.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)解设AE,GC与BD分别交于M,N两点,
由(2)知,平面PCG∥平面AEF.
∵点F,M在平面AEF上,连接点F,点M,
则FM?平面AEF,且FM?平面PCG.
∴FM∥平面PCG,
即M点为所找的H点.
反思感悟探索型问题的常见类型
常见的有以下两类:条件探索型和结论探索型.条件探索型问题是针对一个结论,条件未知需探索;结论探索型是先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳,进行猜测,得出结论,再就一般情况去论证结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边及其内部运动,当点M在 时,有MN∥平面B1BDD1.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:点M在F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.如图,平面BDD1B1是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面,探究过点N且与平面BDD1B1平行的直线,可取B1C1的中点N1,连接N1N,则NN1∥平面BDD1B1,连接NH,则NH∥平面BDD1B1.
∵NH∩NN1=N,∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.
∵MN?平面NN1FH,∴MN∥平面B1BDD1.
即点M在点F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.
答案:点F,H的连线上
探究一
探究二
探究三
思维辨析
一题多解——证明直线与平面平行
典例如图,四边形ABCD和ADEF都是正方形,点M在BD上,N在AE上且BM=AN.求证:MN∥平面CDE.
思路分析:由直线与平面平行的判定可知,本题的关键是在平面CDE中找到一条直线和MN平行.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明方法一 过M点作AD的平行线交CD于O,
过N作AD平行线交DE于P,连接OP.
显然OP在平面CDE上,且MO∥NP,
由于BM=AN,且正方形ABCD、ADEF共边,
∴MD=NE.
∴MO=NP,因此四边形MOPN为平行四边形,有MN∥OP,故MN∥平面CDE.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二 连接AM并延长交CD于P.
又MN?平面CDE,EP?平面CDE,∴MN∥平面CDE.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法三 作MO⊥AB于点O,NP⊥AD于点P,连接PM,
∵四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形,
∴∠BAD=∠ADE=90°,
∴OM∥AP,PN∥DE.
∵∠OBM=∠PAN=45°,
∵BM=AN,∴OM=AP.
∴四边形OMPA是平行四边形.
∴MP∥OA∥CD.
∵MP?平面PMN,PN?平面PMN,MP∩PN=P,
CD?平面CED,DE?平面CED,CD∩DE=D,
∴平面PMN∥平面CED.
∵MN?平面PMN,∴MN∥平面CED.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法总结
本题主要考查线面平行,解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征,进而得到空间中点、线、面的位置关系,结合有关定理进行证明.方法一、二利用的是直线与平面平行的判定定理,方法三应用的是面面平行的性质定理.
1
2
3
4
1.下列图形中能正确表示语句“平面α∩β=l,a?α,b?β,a∥β”的是( )
解析:A中不能正确表达b?β;B中不能正确表达a∥β;C中也不能正确表达a∥β.D正确.
答案:D
1
2
3
4
2.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.BC?α
解析:在△ABC中,∵AD∶DB=AE∶EC,
∴BC∥DE.∵BC?α,DE?α,∴BC∥α.
答案:A
1
2
3
4
3.两个平面平行的条件是( )
A.一个平面内一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D.两个平面都平行于同一条直线
解析:在选项A、选项B和选项D的条件下两个平面可能相交.
答案:C
1
2
3
4
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是 ;与BC1平行的平面是 ;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是 .?
解析:观察图形,根据直线与平面平行的判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;与BC1平行的平面是平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC.
答案:平面A1B1C1D1与平面ADD1A1 平面ADD1A1 DC(共20张PPT)
2.2.3 直线与平面平行的性质
直线与平面平行的性质定理
1.如果直线与平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的?
提示:平行或者异面.
2.若直线a与平面α平行,则在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?
提示:在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行.
3.如果直线a与平面α平行,那么经过直线a的平面与平面α有哪几种位置关系?
提示:经过直线a的平面与平面α平行或相交.
4.如果直线a∥平面α,经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么这样的平面β有多少个?直线a,b的位置关系如何?为什么?
提示:如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行.因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α内的任何直线无公共点,所以a∥b.
5.填表:直线与平面平行的性质定理
6.做一做:如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则( )
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
解析:∵平面SBC∩平面ABC=BC,又∵EF∥平面ABC,∴EF∥BC.
答案:B
探究一
探究二
思想方法
直线与平面平行性质定理的应用
例1
如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
思路分析:根据已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,由线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.
证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理,AB∥PQ,
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟线面平行的性质定理的解题步骤与思路
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究2若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.
解:由例1知,四边形MNPQ是平行四边形,
∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四边形MNPQ是矩形.
∵BP∶PD=1∶1,∴PQ=5,QM=4,
∴四边形MNPQ的面积为5×4=20.
探究一
探究二
思想方法
线面平行性质定理与判定定理的综合应用
例2如图所示,已知P是?ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PBC∩平面PAD=l.
(1)求证:l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
探究一
探究二
思想方法
(1)证明因为BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,且BC?平面PBC,所以BC∥l.
(2)解平行.证明如下:
如图,取PD的中点E,连接AE,NE,
可以证得NE∥AM且NE=AM,
所以四边形MNEA是平行四边形,所以MN∥AE.
又AE?平面PAD,MN?平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,如下:
探究一
探究二
思想方法
变式训练
如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证:GH∥平面PAD.
探究一
探究二
思想方法
证明如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O是AC的中点.
又M是PC的中点,∴PA∥MO.
而AP?平面BDM,OM?平面BDM,
∴PA∥平面BMD.
又∵PA?平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,
∴PA∥GH.
又PA?平面PAD,GH?平面PAD,
∴GH∥平面PAD.
探究一
探究二
思想方法
数学思想——化归思想在线面平行中的应用
典例如图所示,AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点,
探究一
探究二
思想方法
解析:如图所示,连接AD,交平面α于O,连接OM,ON,
∵AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点,
∴OM∥CD,ON∥AB,
答案:2
方法总结
若已知线面平行,要注意运用性质定理;若成比例线段不共面,应注意找两面的交线,应用交线线段的传递作用;立体几何问题只有在转化成平面几何问题后才能使用平面几何知识去解决.
1
2
3
4
1.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是( )
A.b∥α
B.b与α相交
C.b?α
D.以上三种情况都有可能
解析:若a、b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得:b∥α或者b?α或者b与α相交.
答案:D
1
2
3
4
2.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,则BB1与EE1的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
解析:∵BB1∥CC1,BB1?平面CDD1C1,CC1?平面CDD1C1,
∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1?平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.
答案:A
1
2
3
4
3.如图所示,直线a∥平面α,A?α,并且a和A位于平面α两侧,点B∈a,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F.若BC=4,CF=5,AF=3,则EF= .?
解析:由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,∴α∩β=EF.∵a∥平面α,a?平面β,
1
2
3
4
4.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.
证明:∵四边形EFGH为平行四边形,
∴EF∥GH.
∵GH?平面ABD,EF?平面ABD,
∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,
∴EF∥AB.∵AB?平面EFGH,EF?平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.(共25张PPT)
2.2.4 平面与平面平行的性质
平面与平面平行的性质定理
1.如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面有什么样的位置关系?
提示:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面平行.
2.如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么样的位置关系?
提示:平行或异面.
3.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面AC内哪些直线与B'D'平行呢?如何找到它们?
提示:平面AC内的直线只要与直线B'D'共面就可以了.
4.当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条交线有什么样的关系?如何证明它们的关系?
提示:两条交线平行.下面我们来证明这个结论.
已知,如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b.
求证:a∥b.
证明:∵α∩γ=a,β∩γ=b,
∴a?α,b?β.
∵α∥β,∴a,b没有公共点.
又a,b同在平面γ内,
∴a∥b.
5.填表:平面与平面平行的性质定理
6.做一做:若α∥β,a?α,b?β,下列几种说法正确的是
( )
①a∥b;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不垂直;④a∥β.
A.①②
B.②④
C.②③
D.①③④
答案:B
7.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线b?平面α,直线a∥直线b?直线a∥平面α.
( )
(2)直线a∥平面α,直线b?平面α?直线a∥直线b.
( )
(3)直线a∥平面β,直线b∥平面β,a?平面α,b?平面α?平面α∥平面β.
( )
(4)平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面β∩平面γ=直线b?直线a∥直线b.
( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
思想方法
证明两直线平行
例1
如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
思路分析:(1)由面面平行的性质定理直接推证;(2)先由三角形相似得对应线段成比例,再求值.
探究一
探究二
思想方法
(1)证明:∵PB∩PD=P,
∴直线PB和PD确定一个平面γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又α∥β,∴AC∥BD.
(2)解:由(1)得AC∥BD,
探究一
探究二
思想方法
反思感悟空间中的平行关系及线线平行的证明方法
(1)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的,它们的转化关系如下:
探究一
探究二
思想方法
(2)证明线线平行的方法.
①定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.
②平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究在本例中,若点P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.
解:如图,∵PB∩PC=P,
∴PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.
又α∥β,∴AC∥BD,∴△PAC∽△PBD,
探究一
探究二
思想方法
证明线面平行
例2
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若点D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?并证明你的结论.
思路分析:先找出过DE与平面AB1C1平行的平面,可直接找出过D,E与△AB1C1的三边平行的直线,进而确定平面,然后确定其与棱AB的交点,即可找出E点位置,然后利用定理进行证明即可.
探究一
探究二
思想方法
解:当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
证明如下:
如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.
因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,
所以EF∥AB1.
因为AB1?平面AB1C1,EF?平面AB1C1,
所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE?平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.
反思感悟反思感悟线面平行的证明方法
证明直线与平面平行,除了定义法,判定定理法以外,还可以用两平面平行的性质,也就是说为了证明直线与平面平行,也可以先证明两平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行.
探究一
探究二
思想方法
变式训练
已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论,并说出点F的位置.
探究一
探究二
思想方法
解如图,连接BD交AC于O点,连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过点G作GF∥CE,交PC于点F,连接BF.
∵BG∥OE,BG?平面AEC,OE?平面AEC,
∴BG∥平面AEC.
同理,GF∥平面AEC,
又BG∩GF=G,
∴平面BGF∥平面AEC,
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE,O是BD中点,∴E是GD中点.
又∵PE∶ED=2∶1,∴G是PE中点.
而GF∥CE,∴F为PC中点.
综上,当点F是PC中点时,BF∥平面AEC.
探究一
探究二
思想方法
转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用
典例如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BB1,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.
【审题视角】
用判定定理证明较困难,可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行,得到MN∥平面AA1B1B.
探究一
探究二
思想方法
证明:如图,作MP∥BB1交BC于点P,连接NP,
∵AB=BB1,∴BD=B1C.又DN=CM,∴BN=B1M,
∵NP?平面AA1B1B,AB?平面AA1B1B,
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1,MP?平面AA1B1B,BB1?平面AA1B1B,
∴MP∥平面AA1B1B.
又MP?平面MNP,NP?平面MNP,MP∩NP=P,
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN?平面MNP,∴MN∥平面AA1B1B.
探究一
探究二
思想方法
方法点睛1.线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的,因此在证明有关问题时,应抓住“转化”这种思想方法来达到论证的目的.
2.空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下:
探究一
探究二
思想方法
变式训练如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,OA∶OA'=3∶2.则△A'B'C'的面积为 .?
探究一
探究二
思想方法
解析:相交直线AA',BB'所在平面和两平行平面α,β分别相交于AB,A'B',
由面面平行的性质定理可得AB∥A'B'.
同理相交直线BB',CC'确定的平面和平行平面α,β分别相交于BC,B'C',从而BC∥B'C'.
同理易证AC∥A'C'.
∴∠BAC与∠B'A'C'的两边对应平行且方向相反,
∴∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A'.
∴△ABC与△A'B'C'的三内角分别相等,
∴△ABC∽△A'B'C',
∵AB∥A'B',AA'∩BB'=O,
∴在平面ABA'B'中,△AOB∽△A'OB'.
探究一
探究二
思想方法
1
2
3
1.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面AC=EF,平面α∩平面A'C'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
解析:因为平面AC∥平面A'C',所以EF∥E'F'.
答案:A
1
2
3
2.已知平面α∥β∥γ,两条共面直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和D,E,F,已知AB=6,
,则AC= .?
解析:∵α∥β∥γ,根据面面平行的性质定理可知AD∥BE∥CF,
∴BC=9.
∴AC=AB+BC=15.
答案:15
1
2
3
3.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .?
解析:因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
答案:l∥A1C1(共31张PPT)
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一
二
三
一、直线与平面垂直的定义
1.
(1)如图,阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么?随着太阳的移动,旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?
提示:垂直关系,所成的角度不变,都为90°.
一
二
三
(2)如图,旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B'C'的位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什么结论?
提示:垂直关系,依据是异面直线所成角的定义.得到的结论是:如果一条直线与平面垂直,则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.
一
二
三
2.填表:直线与平面垂直的定义
一
二
三
二、直线与平面垂直的判定定理
1.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么?
提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交.
一
二
三
2.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触),问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直?
提示:从实验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.
一
二
三
3.由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD.由此你能得到什么结论?
提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交,则该直线垂直这个平面.
4.填表:直线和平面垂直的判定定理
一
二
三
5.做一做:
下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:由直线和平面垂直的判定定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当直线l与平面α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.
答案:D
一
二
三
三、直线与平面所成的角
1.平面的斜线、斜足是怎样定义的?斜线在平面上的射影是如何定义的?什么是斜线与平面所成的角?
提示:如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和平面α垂直,这条直线PA叫做这个平面α的斜线,它们的交点A叫做斜足.过斜线PA上斜足A以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线PA在平面α上的射影.斜线PA和它在平面α上的射影AO所成的锐角∠PAO,叫做斜线PA和平面α所成的角.
一
二
三
2.直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.
一
二
三
3.做一做:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于 ;AB1与平面ADD1A1所成的角等于 ;AB1与平面DCC1D1所成的角等于 .?
解析:∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
答案:45° 45° 0°
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明直线与平面垂直
例1如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
思路分析:题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D是AC的中点,要证(1),需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(1)的结论可利用.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.
连接BD.
在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,
∴△SDB≌△SDA.
∴∠SDB=∠SDA=90°.
∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB=BC,D是AC的中点,∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD,且AC∩SD=D,
∴BD⊥平面SAC.
探究一
探究二
探究三
思想方法
方法总结
证线面垂直的方法
1.线线垂直证明线面垂直
(1)定义法(不常用);
(2)判定定理最常用(有时作辅助线).
2.平行转化法(利用推论)
(1)a∥b,a⊥α?b⊥α;
(2)α∥β,a⊥α?a⊥β.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点.
求证:AD⊥平面A1DC1.
证明∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,
∴AA1⊥平面A1B1C1,
∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°,
∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1=A1,
∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B,
∴A1C1⊥AD.
∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D=A1,
∴AD⊥平面A1DC1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明两直线垂直
例2
如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.
思路分析:首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.
证明:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴PA⊥BC.
∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.
而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∵PC?平面PAC,∴BC⊥PC.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟线线垂直的证明方法
要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.
证明:由【例2】知BC⊥平面PAC,
∵AE?平面PAC,∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,
∴AE⊥平面PBC.
∵PB?平面PBC,∴AE⊥PB.
探究一
探究二
探究三
思想方法
求直线与平面所成的角
例3已知四面体ABCD的棱长都相等,Q是AD的中点,则CQ与平面BCD所成的角的正弦值为 .?
思路分析:作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OD→取OD中点P,连接QP,CP→∠QCP就是斜线CQ与平面BCD所成的角→求出sin∠QCP
探究一
探究二
探究三
思想方法
解析:过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD.
取OD中点P,连接QP,CP.
由AO⊥平面BCD,四面体的棱长都相等知点O是三角形三边垂直平分线的交点,也是三角形角平分线的交点.
∵Q是AD中点,P是OD中点,∴QP∥AO.
∵AO⊥平面BCD,∴QP⊥平面BCD.
∴∠QCP就是CQ与平面BCD所成的角.
在正三角形ACD中,Q是AD的中点,
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟求斜线与平面所成的角的步骤
(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).
(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.
(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练如图,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,∠MBC=60°,则MC与平面CAB所成角的正弦值为 .?
解析:由题意知,点A是点M在平面ABC内的射影,
∴MA⊥平面ABC,
∴MC在平面CAB内的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
∵在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°,
探究一
探究二
探究三
思想方法
数学思想——空间平行与垂直关系相互转化的综合应用
典例如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求证:PB⊥平面EFD.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明(1)连接AC交BD于点O.连接EO,如图.
∵底面ABCD是正方形,
∴点O是AC的中点.
在△PAC中EO是中位线,
∴PA∥EO.
而EO?平面EDB,且PA?平面EDB.
所以PA∥平面EDB.
探究一
探究二
探究三
思想方法
(2)∵PD⊥底面ABCD,且DC?底面ABCD,
∴PD⊥DC.
∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴DE⊥PC.①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.而DE?平面PDC,
∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC.
而PB?平面PBC,∴DE⊥PB.
又EF⊥PB,且DE∩EF=E,∴PB⊥平面EFD.
方法总结
利用空间平行关系及垂直关系的判定定理进行证明,证明时一定要将定理的条件考虑全面,保证条件的齐全性.
1
2
3
4
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于
( )
A.平面OAB
B.平面OAC
C.平面OBC
D.平面ABC
解析:∵OA⊥OB,OA⊥OC且OB∩OC=O,
∴OA⊥平面OBC.
答案:C
1
2
3
4
2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为
( )
A.a∥b
B.a⊥b
C.a,b相交不垂直
D.a,b异面不垂直
解析:由b∥α,过b作平面β,使α∩β=c,则b∥c,且c?α.∵a⊥α,∴a⊥c.∴a⊥b.
答案:B
1
2
3
4
3.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心(如图),则EF与平面BB1O的关系是 .?
解析:由正方体性质知AC⊥BD,BB1⊥AC,
∵E,F是棱AB,BC的中点,
∴EF∥AC,
∴EF⊥BD,EF⊥BB1,
∴EF⊥平面BB1O.
答案:垂直
1
2
3
4
4.若斜线段AB是它在平面α上的射影长的2倍,则AB与平面α所成的角是( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.120°
解析:斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示,∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,又AB=2BO,所以cos
所以∠ABO=60°.
答案:A(共32张PPT)
2.3.2 平面与平面垂直的判定
一
二
三
一、二面角
如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.
1.如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.
(1)数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?
提示:二面角.
(2)平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?
提示:二面角的平面角.
一
二
三
2.二面角
一
二
三
一
二
三
3.做一做:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是 .?
答案:45°
一
二
三
二、平面与平面垂直
1.教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各是多少度?
提示:可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的二面角;这3个二面角都为90°.
2.如何定义两个平面互相垂直?
提示:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
一
二
三
3.如何画两个相互垂直的平面?平面α与平面β垂直,记作什么?
提示:两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
一
二
三
三、平面与平面垂直的判定定理
1.建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”,用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,则说明墙和地面什么关系?此时铅锤线与地面什么关系?
提示:均垂直.
一
二
三
2.填空:平面与平面垂直的判定定理
一
二
三
3.做一做:在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有 对.?
解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.
答案:3
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明两个平面垂直
例1如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
思路分析:(1)要证DE=DA,只需证明Rt△EFD≌Rt△DBA;(2)注意M为EA的中点,可取CA的中点N,先证明N点在平面BDM内,再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可;(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明(1)取EC的中点F,连接DF.
∵EC⊥BC,易知DF∥BC,∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.∴ED=DA.
∴MN∥BD,∴N点在平面BDMN内.
∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.
又CA⊥BN,∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MNBD内,
∴平面MNBD⊥平面ECA.
即平面BDM⊥平面ECA.
探究一
探究二
探究三
思想方法
∴四边形MNBD为平行四边形.
∴DM∥BN.
由(2)知BN⊥平面ECA,∴DM⊥平面ECA.
又DM?平面DEA,
∴平面DEA⊥平面ECA.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟证明平面与平面垂直的常用方法:
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:
①找出两相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个相交平面互相垂直.
(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.
证明∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
又∵CD?平面PDC,
∴平面PDC⊥平面PAD.
探究一
探究二
探究三
思想方法
求二面角的大小
例2如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.
(1)二面角B-PA-D的大小为 ;?
(2)二面角B-PA-C的大小为 .?
思路分析:先依据二面角的定义找相应二面角的平面角,然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值,最后指出二面角的大小.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解析:(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴AB⊥PA,AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意∠BAD=90°,
∴二面角B-PA-D的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴AB⊥PA,AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,
∴∠BAC=45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
答案:(1)90° (2)45°
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟二面角的平面角的常见做法
(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.
解:∵CD∥平面PAB,过P作CD的平行线l,如图,
由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,知CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.
又CD∥l,∴l⊥PD.
∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.
探究一
探究二
探究三
思想方法
垂直关系的综合应用
例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=
a.
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求二面角P-BC-D的大小.
思路分析:(1)转化为证明PD⊥DC与PD⊥AD;(2)转化为证明AC⊥平面PBD;(3)先证出∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
探究一
探究二
探究三
思想方法
(1)证明:∵PD=a,DC=a,PC=
a,
∴PC2=PD2+DC2.∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.又AD∩DC=D,
∴PD⊥平面ABCD.
(2)证明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC.
而四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.
同时AC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)解:由(1)知PD⊥BC,又BC⊥DC,
PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
在Rt△PDC中,PD=DC=a,∴∠PCD=45°.
即二面角P-BC-D的大小是45°.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟垂直关系间的相互转化.
探究一
探究二
探究三
思想方法
数形结合思想——翻折问题中的垂直问题
典例如图1,在矩形ABCD中,已知AD=2AB,E是AD的中点,沿BE将△ABE折到△A1BE的位置(如图2),使A1C=A1D,求证:平面A1BE⊥平面BCDE.
思路分析:△ABE是等腰直角三角形,翻折前后未变,要充分利用这一特点,取BE的中点F,使A1F⊥平面BCDE即可.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明如图,取图2中BE,CD的中点F,G,连接A1F,FG,A1G.
∵A1C=A1D,∴A1G⊥CD.
∵AD=2AB,E是AD的中点,∴A1B=A1E.
∵F为BE的中点,∴A1F⊥BE.
∵四边形ABCD是矩形,∴ED∥BC,∠BCD=90°.
∵F,G为BE,CD的中点,∴FG⊥CD.
∵FG∩A1G=G,∴CD⊥平面A1GF,∴CD⊥A1F.
∵ED∥BC,BC=2ED,∴四边形BCDE为直角梯形,
∴CD与BE必相交,∴A1F⊥平面BCDE.
∵A1F?平面A1BE,∴平面A1BE⊥平面BCDE.
探究一
探究二
探究三
思想方法
方法总结
处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,看哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生了变化,那么发生了怎样的变化;哪些没有发生变化,切不可混淆不清.特别是翻折前的线线垂直、线面垂直、面面垂直,在翻折后是否发生了变化,是否还保持垂直,这是解决翻折问题的关键.解决本题的关键是明确翻折前后的数量关系和位置关系的变化状况,其中等腰三角形中“三线合一”性质有非常重要的作用.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4
,DE=4,现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG.求证:平面DEG⊥平面CFG.
证明因为DE⊥EF,CF⊥EF,所以四边形CDEF为矩形,
由GD=5,DE=4,得GE=3,
由GC=4
,CF=4,得FG=4,所以EF=5.
在△EFG中,有EF2=GE2+FG2,所以EG⊥GF.
又因为CF⊥EF,CF⊥FG,得CF⊥平面EFG,所以CF⊥EG,
所以EG⊥平面CFG,即平面DEG⊥平面CFG.
1
2
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4
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是
( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n?α
C.m∥n,n⊥β,m?α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m?α,∴α⊥β.
答案:C
1
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4
2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是
( )
A.平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
1
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4
解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
又BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,∵BC?平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A,
得AD⊥平面PAB.
∵AD?平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.
由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直,故选A.
答案:A
1
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3.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面的个数为 .?
解析:设平面α外的点为A,平面α内的点为B,过点A作面α的垂线l.若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案:1个或无数个
1
2
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4
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为( )
解析:如图所示,
连接AC交BD于点O,连接A1O,O为BD中点,
∵A1D=A1B,
∴在△A1BD中,A1O⊥BD.
又在正方形ABCD中,AC⊥BD.
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.
答案:C
