南平市2020—2021学年第二学期高一年级期末质量检测
数学参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数.
选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．A
2．D
3．B
4．C
5．D
6．C
7．B
8．D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．ABD
10．BD
11．ABD
12．AC
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13．四
14．34
15．
16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
解:
（1）德国、日本、新加坡三个国家的商品被选取的个数分别为1，3，2................3分
（2）设6个来自德国、日本、新加坡样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2 ............4分
则从6个样品中抽取的这2个商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，
共15个........................................................................................................................7分
（注：每写出5个得1分）
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.
记事件D：“抽取的这2个商品来自同一国家”，
则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，
共4个..........................................................................................................................9分
所以这2个商品来自同一国家的概率P(D)＝...................................................10分
（注：本题考虑有序的为30个样本点也给分）
18.
（本小题满分12分）
（1）证明：底面为正方形，为，的中点，............................1分
又，．
，.................................................................................................................2分
.........................................................................................................................3分
，
平面...............................................................................................4分
.......................................................................................................5分
平面，.............................................................................6分
（2）......................................................................8分
，且为的中点
......................................................................................................10分
........................................................................................................11分
....................................................................................12分
（注：本题建系的方法求解也给分）
19.
（本题满分12分）
解：
第（1）问任意选取①②③中的一个条件，答案均是。
选①:由正弦定理可得...........1分
................................2分
由余弦定理的推论......................4分
...............................................6分
选②
由正弦定理得：
...............................1分
.........3分
...............................................4分
即..................................5分
................................................6分
选③
因为由正弦定理
所以.............................................3分
........................................4分
.......................................................5分
...........................................................6分
第（2）问
解法1：（向量法）由已知得，.........................7分
两边平方得
即.................8分
，即..................................9分
解得或（舍）...........................................10分
所以....................................11分
则............................................12分
解法2：（余弦定理）
因为与互补...........................................7分
所以
，…………………………………………9分
又由余弦定理
化简得解得或（舍），…………………………………10分
所以，…………………………………………………11分
则。……………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解析：（1）众数为50；…………………………………………………………………1分
平均数：所以平均数为49.04…………………………………………………………………………5分
（2）解法一：，%的废品率；.............................7分.
解法二：，%的废品率；
（注：也给分）
正牌占比为，废品为，则副牌为.........................................8分
一刀利润估计为：元...............11分
则年平均利润估计为元，
答：该公司的年平均利润估计为元..................................................................12分
（注：有说明但没有答的也给分，直接给数值的扣一分）
21．（本题满分12分）
解析：（1）当时，∥平面．...................................................................1分
取中点，连接，，，则∥，∥，
故∥..........................................................................................................................2分
又平面，平面，所以∥平面,
..................................3分
同理，∥平面，....................................................................................................4分
又，平面
故平面∥平面，...................................................................................................5分
，所以∥平面．......................................................................6分
（2）平面截正方体的截面为正六边形................9分
（给出六边形即得1分，准确画出正六边形给3分，）
又正方体的棱长为2，故正六边形边长为，.........10分
，因此截面面积为．............................................................12分
22．（本小题满分12分）
【解析】（1）当时，在中，，.....................................................1分
由正弦定理得：
...........................................................................3分
（2）由题意知：
在中，，
由正弦定理得：
………………………………………………………………6分
在中，，
,
由正弦定理得：
………………………………………………………7分
……………………………………………………8分
……………………………………………………9分
………………………………10分
，……………………………………………………………11分
即人工湖面积的取值范围为：………………………………12分
(注：若利用均值不等式求出一个最值，说明正确给1分，没写单位不扣分)
（2）解法二：由题意知：
在中，，
由正弦定理得：
，
………………………………6分
在中，，
,
由正弦定理得：
,…………………………………………7分
连接EF,
………………………………………8分
…………9分
…………………………………………………………………………………………….……………10分
………………………………………………………………………11分
，
即人工湖面积的取值范围为：………………………………12分
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数学试题
(考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号。考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z=(1-i)(2+i)(i为虚数单位），则z的虚部为
A.-1
B.-i
C.
-2
D.1
2.
已知向量=(3,k),=(1,-2),若//,则的值为
A.-9
B.5/2
C.6
D.15
3.采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，以三随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
907
966
181
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为
A.3/10
B.7/20
C.2/5
D.9/20
4.某家庭去年一年的各种费用的占比如图1所示，已知去年一年“衣食住”的费用分别如图2所示，则该家庭去年一年教育费用为
A.2.7万元
B.3.12万元
C.3.24万元
D.3.6万元
5.已知非零向量满足｜｜=｜｜同且⊥(
+2),则
与的夹角为
A.π/6
B.π/3
C.π/2
D.2π/3
6.如右图，圆台上底面半径为3,下底面半径为5,若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为S1,下方的圆台侧面积为S2,则S1:S2=
A.
9:25
B.
9:16
C.
7:9
D.
16:25
7.在ΔABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且,AE与BD交于点0,则=
8.设样本数据x1,x2,,x2021的平均数为又，标准差为S,若数据2x1+1,2x2+1,···,2x2021+1的平均数比标准差大5,则+s的最小值为
A.－9/4
B.－17/16
C.63/16
D.4
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知m,n表示两条不同的直线，α,β,γ表示三个不同的平面，则下列命题不正确的是
A.若m//α,m⊥n,则n⊥α
B.
若m//α,
α
//β,则m//β
C.
若m⊥α,
m//n,则n⊥α
D.若α⊥γ,β⊥γ,则α//β
10.若复数z满足z+|2|=8+4i(i为虚数单位），则下列结论正确的是
A.
z=-3+4i
B.|z|=5
C.z的共轭复数=3+4i
D.z是方程x2-6x+25=0的一个根
11.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为1/3,甲不输的概率为3/4,下列说法正确的是
A.和棋的概率是5/12
B.乙不输的概率是2/3
C.乙胜的概率是1/3
D.甲输的概率是1/4
12.已知图1中的正三棱柱ABC-A,B,C1的底面边长为2,体积为2、
2,去掉其侧棱，将上底面绕上、下底面的中心所在的直线O1O2,逆时针旋转180°后(下底面位置保持不变），再添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是
A.A2B2⊥CC2
B.
AB2=
C.四边形ABA2B2为正方形
D.正三棱柱ABC-A1B1C1与多面体ABCA2B2C2的体积相同
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知a为实数，若复数z=(a2-4)+(a+2)i为纯虚数(i为虚数单位），则复数a-ai在复平面内对应的点位于第
象限。
14.已知一组数据按顺序排列为：12,16,20,n,46,51,58,60.若这组数据的第30百分位数的两倍与这组数据的第30百分位数相等，则n的值为
.
15.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,点E为AA1的中点，过B,E,D1三点的平面截该正方体所得的截面记为σ,若点PE∈σ,则线段B,P长度的取值范围为
.
16.如右图，已知边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60°,将ΔABC沿对角线AC翻折至ΔAB'C所在的位置，若二面角B'-AC-D的大小为120°,则过A,B',C,D四点的外接球的表面积为
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本题满分10分）
由于疫情原因海关对从德国、日本、新加坡进口的某商品进行抽样检测，从各国进口此种商品的数量(单位：个）如下表所示。工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6个样本进行检测．
国家
德国
日本
新加坡
数量
50
150
100
(1)问抽取的6个样本中来自德国、日本、新加坡的数量各为多少？
(2)若从这6个样本中随机抽取2个送往某机构进行进一步检测，求这2个样本来自同一国家的概率。
18.(本题满分12分）
如右图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，AC交BD于点O,点E为PB的中点，PA=PC,PB=PD.
(1）求证：PO⊥AB;
(2）若PO=2,求三棱锥A-BCE的体积．
19.(本题满分12分）
已知a,b,c分别为ΔABC三个内角A,B,C的对边，b=1,
在下列三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并求解下面的问题。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
①(sin
A+sin
B)(sin
A-sin
B)=(sinC-sin
B)sinC;
②3bcos
A+acosB=b+c;
③asinC=ccosA.
(1)求A;
(2)若D是BC的中点，AD=
，求ΔACD的面积。
20.(本题满分12分）
宣纸作为中国传统造纸工艺之一，2006年该技艺被列入首批国家级非物质文化遗产。宣纸“始于唐代，产于泾县”，安徽泾县某公司年产宣纸10000刀(每刀10张），公司在所生产的宣纸中随机抽取1刀(100张）进行质量检测，得到宣纸的质量标准值x(36≤x≤60),其频率分布直方图如右图所示。
(1)求抽取的这100张宣纸的质量标准值的众数和平均数；
(2)若宣纸的质量等级如下：
X
(48,52]
(44,48]U(52,56]
(0,44]U(56,100]
质量等级
正牌
副牌
废品
(i)根据以上抽样检测，估计该公司的废品率？
(ii)已知每张正牌的利润是10元，副牌的利润是5元，废品亏损10元，以抽样的数据估计该公司生产宣纸的年平均利润(单位：元）。
21.(本题满分12分）
如右图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别为A1D1,A1B1,BB1,B1C1的中点，点P为线段CC1上的动点，且
＝λ(0≤λ≤1).
(1)是否存入使得HP//平面EFG,若存在，求出λ的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由；
(2)画出平面EFG截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积．
22.(本题满分12分）
如右图，等腰直角三角形地块ABC,AB=AC=2km,为了美化环境，现对该地块进行改造，计划从BC的中点D引出两条成45°角的射线，分别交AB,AC于点E，F，将四边形AEDF区域改造为人工湖，其余区域为草地，设∠BDE=α.
(1)当α=60°时，求草地BDE的面积；
(2)求人工湖AEDF的面积S(α)的取值范围。
