广东省新兴县惠能中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、复数 在复平面内的对应点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、命题“在中，若是直角，则一定是锐角．”的证明过程如下：
假设 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 不是锐角，则是直角或钝角，即，而是直角，
所以，
这与三角形的内角和等于矛盾，所以上述假设不成立，
即一定是锐角．
本题采用的证明方法是（ ）
A. 综合法 B. 分析法 C. 反证法 D. 数学归纳法
3、化简 的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
4、从4名男生、3名女生中各选出2名组成研究性学习小组，并从选出的4人中再选定1人当组长，则不同选法的种数是（ ）
A. B. C. D.
5、下列式子中，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6、由直线，，曲线及轴所围图形的面积是（ ）．
A. B. C. D.
7、从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，
每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，
则不同的涂色方法共有（ ）
A.24种 B.72种 C.96种 D.108种
8、设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
二、（填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分）
9、若复数是纯虚数，则实数的值为 。
10、求曲线处的切线方程 。
11、函数的单调递减区间是 。
12、已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式______________________________。
13、观察下列等式：，，，…，
根据上述规律，第五个等式为_____________________________________。
14、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种。
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15、（本小题共14分）
已知函数
（1）求函数的极值
（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．
16、（本小题满分12分）
在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为，且A，B，C成等差数列，也成等差数列，求证ΔABC为等边三角形．
17、（本小题满分12分）
给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次
（1）可能组成多少个四位数？
（2）可能组成多少个四位奇数？
（3）可能组成多少个自然数？
18、（本小题满分14分）
设．
求:（１）
（２）求；
（３）求；
（4）求各项二项式系数的和．
19、（本小题满分14分）
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万/辆,年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为, 则出厂价相应提高的比例为，年销售量也适当增加．
设年利润=(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量
(1) 若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例应在什么范围内
(2) 若本年度的销售量（辆）关于的函数为，则当为何值时,本年度的年利润最大 最大利润为多少
20、（本小题满分14分）
已知函数 HYPERLINK "http://www." (＞0)的图象在点处的切线方程为.
(1)用 HYPERLINK "http://www." 表示；
(2)若在上恒成立，求 HYPERLINK "http://www." 的取值范围；
(3)证明：1+++…+＞ HYPERLINK "http://www." +.
参考答案：
当变化时，、的变化情况如下表：
—
单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗
——————８分
因此，当时，有极大值
当时，有极小值 ——————１０分
（2）函数的图象
大致如图：……1２分
y=k
由图可知： ————１４分
16(课本P85-86例1)
证明：由A，B，C成等差数列知，，……３分
由余弦定理知，……５分
又也成等差数列，∴，　　　　……７分
代入上式得，　　……８分
整理得，∴　　　……1０分
，从而，而，则，
从而ΔABC为等边三角形．　　　　　　……1２分
17:【解答】（1）解法一：从“位置”考虑，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字（包括0）中任取3个排列，所以可以组成个四位数；……４分
解法二：从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字0的有个，无数字0的有个，所以共组成+=300个四位数；
解法三：“排除法”从6个元素中取4个元素的所有排列中，减去0在首位上的排列数即为所求，所以共有个四位数；
（2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数有种排法，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余两个数位的排法有，所以共有个四位奇数；……８分
（3）一位数：有=6个；两位数：有=25个；
三位数：有=100个；四位数：有=300个；
五位数：有=600个；六位数：有=600个；
所以共有6+25+100+300+600+600=1631个自然数．　　　……1２分
【点评】解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位．
18【解答】（１）　　　　　　　　　　　　－162 ……3分
（２）令x=1得；……6分
（３）令x=-1得，
而由（2）知：，
两式相加得；……10分
（4）各项二项式系数的和为．……14分
【点评】①要注意二项展开式各项的系数与二项式系数是不同的两个概念；②系数和与二项式系数和不一定相同，本题的（1）与（5）结果相同纯属巧合；③注意求系数和上述是最一般的方法，一定要理解．
19. （本小题满分14分）
解: (Ⅰ)由题意得:上年度的利润为万元
本年度每辆车的投入成本为万元
本年度每辆车的出厂价为万元
本年度年销售量为万元
因此本年度的利润为
3分
4分
由
解得
所以当时,本年度的年利润比上年度有所增加 6分
(Ⅱ)本年度的利润为
8分
则
由,解得或 10分
当时, ,是增函数; 11分
当时, ,是减函数; 12分
当时,取最大值万元, 13分
因此在上只有一个极大值,所以它是最大值
所以当时,本年度的年利润最大,最大利润为万元. 14分
20.解：（Ⅰ） ，则有 HYPERLINK "http://www." ，解得…3分
（II）由（Ⅰ）知，
令， HYPERLINK "http://www."
则，……4分
(ⅰ)当时, HYPERLINK "http://www." ,
若,则,单调递减，所以 HYPERLINK "http://www." 即,
故在上不恒成立. …………6分
(ⅱ) 当 HYPERLINK "http://www." 时,,
若,则, HYPERLINK "http://www." 是增函数,所以
即,故当时, HYPERLINK "http://www." . …………8分
综上所述,所求的取值范围为…………9分
(Ⅲ)解法一:
由(Ⅱ)知,当时,有 HYPERLINK "http://www." , ()
令,有
且当 HYPERLINK "http://www." 时, …………10分
令,有
即 HYPERLINK "http://www." , …………12分
将上述个不等式依次相加得
整理得 HYPERLINK "http://www." …………14分
解法二: 用数学归纳法证明
(1) 当时,左边,右边, 不等式成立. …………10分
(2) 假设 HYPERLINK "http://www." 时, 不等式成立, 就是
那么
由(Ⅱ)知,当时,有 HYPERLINK "http://www." , ()
令,有, ( HYPERLINK "http://www." )
令,有
（第7题图）