2021-2022学年苏科新版八年级上册数学《第2章 轴对称图形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年苏科新版八年级上册数学《第2章
轴对称图形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．2cm
2．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9
B．7
C．12
D．9或12
3．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
4．下列判断错误的是（　　）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．有两条边相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
5．△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有正三角形（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
6．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（　　）
A．2
B．
C．
D．8
7．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则△ABD的周长为（　　）
A．8
B．11
C．16
D．17
8．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE＝3，则AB等于（　　）
A．4
B．5
C．5.5
D．6
10．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（　　）
A．100海里
B．80海里
C．60海里
D．40海里
二．填空题
11．如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长　
　cm．
12．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　
　秒．
13．已知等边三角形的边长是2，则这个三角形的面积是　
　．（保留准确值）
14．右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为　
　．
15．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周长为　
　．
16．如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝10，则DF等于　
　．
17．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为　
　．
18．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有　
　（填序号）．
19．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝　
　cm．
20．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝　
　．
三．解答题
21．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
22．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，求∠EDC的度数．
23．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
24．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．
25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．
26．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝4cm，
∴点D到AB的距离DE是4cm．
故选：B．
2．解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
3．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：C．
4．解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确；
B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；
C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；
D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；
故选：D．
5．因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝AC，
又因为D，E，F为各边中点，所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA；
又因为DE，DF，EF分别为中位线，所以DE＝BC，EF＝AC，DF＝AB，
即DE＝EF＝DF．所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA＝DE＝EF＝FD．
所以此图中所有的三角形均为等边三角形．
因此应选择5个，
故选：D．
6．解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝2AB＝8．
故选：D．
7．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11，
故选：B．
8．解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，
∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD＝∠CFE＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∴CE＝8﹣2＝6，
∴CF＝CE＝3，
∴BF＝5，
故选：C．
9．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝AC＝3，
∴AB＝AC＝6，
故选：D．
10．解：如图所示：连接AC．
∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠CBA＝60°．
又∵BC＝BA，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC＝AB＝100海里．
故选：A．
二．填空题
11．解：当腰长为4cm时，则三边分别为4cm，4cm，9cm，因为4+4＜9，所以不能构成直角三角形；
当腰长为9cm时，三边长分别为4cm，9cm，9cm，符合三角形三边关系，此时其周长＝4+9+9＝22cm．
故答案为22．
12．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
13．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的边长是2，
∴BD＝BC＝×2＝1，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
所以，三角形的面积＝×2×＝．
故答案为：．
14．解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，
∴BC＝AB＝3.7，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴DE＝BC＝1.85m，
故答案为：1.85m．
15．解：由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得
∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB．
由EF∥BC，得
∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，
∴EO＝BE，OF＝FC．
C△AEF＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝9．
故答案为：9．
16．解：过D作DM⊥AC，
∵∠DAE＝∠ADE＝15°，
∴∠DEC＝30°，AE＝DE，
∵AE＝10，
∴DE＝10，
∴DM＝5，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE＝15°，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF＝DM＝5．
故答案为：5．
17．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，
∵AD的垂直平分线交AB于点F，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠EAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴AC∥DE，
∴∠BDE＝∠C＝90°，
∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，
设DE＝x，则EF＝BE＝x，BD＝DF＝2﹣x，
在Rt△BED中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+x2＝（2﹣x）2，
解得x1＝﹣2﹣2（负值舍去），x2＝﹣2+2，
∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2＝6﹣4．
故答案为：6﹣4．
18．解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
③三个角都相等的三角形是等边三角形
④三边都相等的三角形是等边三角形，
故答案为①②③④．
19．解：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝3cm．
∴BC＝6cm．
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝6cm．
故答案为：6．
20．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，
∴AB＝2CD＝6cm．
故答案为：6cm．
三．解答题
21．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
22．解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
23．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中，，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF．
24．解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．
25．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；
∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；
∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴AB＝BD，
∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；
∵∠C＝45°，ED⊥DC，
∴△EDC也符合题意，
综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）AD与BE垂直．
证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），
∴BA＝BD，EA＝EC，
∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE＝DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB＝BD，
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，又ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE＝DC，
即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．
26．证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
27．证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE．