建平中学2012届高三数学周四试题
图片预览
文档简介
建平中学2012届高三数学周四试题（理科）2012．4．5
班级 姓名 成绩
考生注意： 1．考试时间120分钟．答题写在规定的区域．
2．本试卷共有23道试题，满分150分．
一、填空题：本大题有14小题，每小题4分，共56分．请将答案填写在题中的横线上．
1．设集合，，则 .
2. 已知复数满足，且，则实数的值是 .
3. 不等式的解集为 .
4．由组成没有重复数字且与不相邻的五位数的个数是 .
5. 如果执行右面的程序框图，那么输出的 ．
6. 若的二项展开式中，所有项的系数之和为，
则展开式中的常数项是 .
7. 过点的直线的参数方程为（为参数），直线的
极坐标方程为，若，则等于 .
8. 已知函数是偶函数，则函数图像与轴
交点的纵坐标的最大值是 .
9. 在棱锥中，侧棱两两垂直，为底面上一点，
若到三个侧面的距离分别为，则以线段为直径的球的表面积为 .
10. 若对任意的实数，恒成立，则实数的取值范围是 .
11. 在正项等比数列中，，则的最小值为 .
12. 对任意，函数满足，设，数列的前项的和为，则 ．
13. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.
现有平面内曲线上的每一点绕原点沿沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，
则曲线的方程是 .
14.在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
② 到两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线；
③ 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线；
④ 到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形．
其中正确的命题是____________（写出所有正确命题的序号）①③④
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
15． 设，那么“”是“”的 （ ）B
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
16.已知且，函数，，在同一坐标系中的图象可能是（ ）C
A． B． C． D．
17．已知函数则函数的零点个数是 （ ）C
A． B． C． D．无穷多个
18. 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离．
已知点，曲线：，那么平面内到曲线的距离与到点的距离之差的
绝对值为的点的轨迹是 （ ）A
A．一条直线，一条射线，一条线段 B．二条射线
C．一条直线，一条线段 D．一条直线，一条射线
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
已知函数 的最小正周期为.
（1）若，求的值；
（2）求函数的单调区间及其图象的对称轴方程.
解：（1） ,
因为最小正周期为,所以，解得,
由题意得，，
所以.
（2）分别由，
可得， ………………8分
所以,函数的单调增区间为；
的单调减区间为
由得.
所以，图象的对称轴方程为.
20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
高山先生家住小区，工作在中学，他从家开车到中学上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的分布律和数学期望.
解：（1）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则
．
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（2）依题意，的可能取值为0，1，2．
，
，
．
随机变量的分布律为：
0 1 2
．
21．（本题满分14分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离．
解：（1）；
（2）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，
平面平面，
平面．
连结，在正方形中，
分别为的中点，
，．
在正方形中，，
又平面，
平面．
（3）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．
点到平面的距离为．
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，点为点关于轴的对称点.
（1）求双曲线的方程；
（2）判断三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形面积的最小值.
解：（1）双曲线的方程为；
（2）由（1）可知，由题意直线的斜率不为0，
所以设直线的方程为，代入整理得，
设，则.
由韦达定理知，
所以.
因为
向量共线，所以三点共线.
（3）因为直线与双曲线右支交于点，
所以，得.
，
令，
，
又，所以，即时，三角形面积的最小值18.
23．已知是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且.
（1）求+的值及+的值；
（2）已知，当时，，设，
为数列的前项和，若存在正整数，使得不等式成立，求和的值.
（3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和．
解：（1）∵点在直线上，设.
又，即，，∴.
①当时，=， ；
②当时，， +=
==；综合①②得，+.
（2）由（1）知，当时, .
∴，，
∴时，+++ ，① ，②
①＋②得，,则.
又时，满足上式， ∴.
（3），=.
.
，，
∴，为正整数，∴，
当时，，∴，∴.
（4），.
将所得的积排成如下矩阵：
，设矩阵的各项和为.
在矩阵的左下方补上相应的数可得
矩阵中第一行的各数和，
矩阵中第二行的各数和，
………
矩阵中第行的各数和，
从而矩阵中的所有数之和为.
所以.
在这个自然数中，任取个数．
（1）求这个数中至少个是奇数的概率；
（2）若取出的个数中一定有数字，设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有一组相邻的数，此时的值是）．求的概率.
22. 已知不等式：的解集为.
（1）求解集；
（2）若，解关于的不等式：；
（3）求实数的取值范围，使关于的不等式的解集满足.
解：（1）
（2）等价于，即
1）当时，等价于，即，
所以：①当时，； ②当时，； ③当时，；
2）当时，
3）当时， 综上：（略）
（3）若，则：
①当时，,不可能成立；
②当时，，成立；
③当时，，成立；
2）当时，，成立；
3）当时，，须有，则。
综上：
开始
，
结束
输出a
Y
N
O
O
O
O
x
x
x
x
y
y
y
y
1
1
1
1
1
1
1
1
H
J
A1
A2
B1
B2
L1
L2
A3
班级 姓名 成绩
考生注意： 1．考试时间120分钟．答题写在规定的区域．
2．本试卷共有23道试题，满分150分．
一、填空题：本大题有14小题，每小题4分，共56分．请将答案填写在题中的横线上．
1．设集合，，则 .
2. 已知复数满足，且，则实数的值是 .
3. 不等式的解集为 .
4．由组成没有重复数字且与不相邻的五位数的个数是 .
5. 如果执行右面的程序框图，那么输出的 ．
6. 若的二项展开式中，所有项的系数之和为，
则展开式中的常数项是 .
7. 过点的直线的参数方程为（为参数），直线的
极坐标方程为，若，则等于 .
8. 已知函数是偶函数，则函数图像与轴
交点的纵坐标的最大值是 .
9. 在棱锥中，侧棱两两垂直，为底面上一点，
若到三个侧面的距离分别为，则以线段为直径的球的表面积为 .
10. 若对任意的实数，恒成立，则实数的取值范围是 .
11. 在正项等比数列中，，则的最小值为 .
12. 对任意，函数满足，设，数列的前项的和为，则 ．
13. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.
现有平面内曲线上的每一点绕原点沿沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，
则曲线的方程是 .
14.在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
② 到两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线；
③ 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线；
④ 到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形．
其中正确的命题是____________（写出所有正确命题的序号）①③④
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
15． 设，那么“”是“”的 （ ）B
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
16.已知且，函数，，在同一坐标系中的图象可能是（ ）C
A． B． C． D．
17．已知函数则函数的零点个数是 （ ）C
A． B． C． D．无穷多个
18. 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离．
已知点，曲线：，那么平面内到曲线的距离与到点的距离之差的
绝对值为的点的轨迹是 （ ）A
A．一条直线，一条射线，一条线段 B．二条射线
C．一条直线，一条线段 D．一条直线，一条射线
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
已知函数 的最小正周期为.
（1）若，求的值；
（2）求函数的单调区间及其图象的对称轴方程.
解：（1） ,
因为最小正周期为,所以，解得,
由题意得，，
所以.
（2）分别由，
可得， ………………8分
所以,函数的单调增区间为；
的单调减区间为
由得.
所以，图象的对称轴方程为.
20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
高山先生家住小区，工作在中学，他从家开车到中学上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的分布律和数学期望.
解：（1）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则
．
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（2）依题意，的可能取值为0，1，2．
，
，
．
随机变量的分布律为：
0 1 2
．
21．（本题满分14分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离．
解：（1）；
（2）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，
平面平面，
平面．
连结，在正方形中，
分别为的中点，
，．
在正方形中，，
又平面，
平面．
（3）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．
点到平面的距离为．
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，点为点关于轴的对称点.
（1）求双曲线的方程；
（2）判断三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形面积的最小值.
解：（1）双曲线的方程为；
（2）由（1）可知，由题意直线的斜率不为0，
所以设直线的方程为，代入整理得，
设，则.
由韦达定理知，
所以.
因为
向量共线，所以三点共线.
（3）因为直线与双曲线右支交于点，
所以，得.
，
令，
，
又，所以，即时，三角形面积的最小值18.
23．已知是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且.
（1）求+的值及+的值；
（2）已知，当时，，设，
为数列的前项和，若存在正整数，使得不等式成立，求和的值.
（3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和．
解：（1）∵点在直线上，设.
又，即，，∴.
①当时，=， ；
②当时，， +=
==；综合①②得，+.
（2）由（1）知，当时, .
∴，，
∴时，+++ ，① ，②
①＋②得，,则.
又时，满足上式， ∴.
（3），=.
.
，，
∴，为正整数，∴，
当时，，∴，∴.
（4），.
将所得的积排成如下矩阵：
，设矩阵的各项和为.
在矩阵的左下方补上相应的数可得
矩阵中第一行的各数和，
矩阵中第二行的各数和，
………
矩阵中第行的各数和，
从而矩阵中的所有数之和为.
所以.
在这个自然数中，任取个数．
（1）求这个数中至少个是奇数的概率；
（2）若取出的个数中一定有数字，设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有一组相邻的数，此时的值是）．求的概率.
22. 已知不等式：的解集为.
（1）求解集；
（2）若，解关于的不等式：；
（3）求实数的取值范围，使关于的不等式的解集满足.
解：（1）
（2）等价于，即
1）当时，等价于，即，
所以：①当时，； ②当时，； ③当时，；
2）当时，
3）当时， 综上：（略）
（3）若，则：
①当时，,不可能成立；
②当时，，成立；
③当时，，成立；
2）当时，，成立；
3）当时，，须有，则。
综上：
开始
，
结束
输出a
Y
N
O
O
O
O
x
x
x
x
y
y
y
y
1
1
1
1
1
1
1
1
H
J
A1
A2
B1
B2
L1
L2
A3
同课章节目录