22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2021-2022学年人教版 数学 九年级 上册（共81张ppt）

二次函数与一元二次方程
教学目标
了解二次函数与一元二次方程的联系．
教学重点
教学难点
二次函数与一元二次方程的联系．
会求二次函数与坐标轴的交点．
二次函数与一元二次方程关系及其应用．
知识回顾
二次函数的一般式
_____是自变量，______是______的函数．
x
x
y
当y=0时
知识回顾
这是什么方程？
我们学过的“?一元二次方程”
一元二次方程与二次函数有什么关系？
思考
以40 m /s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：
（1）球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
思考
（1）球的飞行高度能否达到15 m？若能，需要多少时间？?
解：（1）当h = 15时，
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
思考
（2）球的飞行高度能否达到20 m？若能，需要多少时间？
解：（2）当h = 20时，
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
思考
（3）球的飞行高度能否达到20.5 m？若能，需要多少时间？
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，
即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
为一个常数（定值）时
一般地，当 y 取定值时，二次函数为一元二次方程
如：
y=5
讨论
我们已经知道，
当 y 取定值时，二次函数为一元二次方程
换而言之
已知二次函数y的值，求自变量的值
求一元二次方程的根
思考
这些二次函数的图象与x轴有公共点吗？
如果有，公共点的横坐标分别是多少？
没有公共点
公共点的横坐标是-2和1
公共点的横坐标是3
思考
没有公共点
公共点的横坐标是-2和1
公共点的横坐标是3
当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？
此时的函数值都是0
思考
由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？?
没有公共点
公共点的横坐标是-2和1
公共点的横坐标是3
的根是
的根是
归纳
二次函数
与x轴交点坐标
相应方程的根
（-2,0）（1,0）
-2
1
（3,0）
3
无交点
无实根
总结
与x轴交点横坐标
根
思考
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标．
怎么做呢？
令y=0，解一元二次方程的根．
思考
解：当 y = 0 时，
（2x＋3）（x－1） = 0
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
思考
解：当 y = 0 时，
所以该抛物线与 x 轴只有一个交点．
思考
解：当 y = 0 时，
所以该抛物线与 x 轴没有交点．
你能想到求抛物线与x轴交点的简便方法吗？
归纳
与x轴交点的情况
一元二次方程
的根的情况
有两个交点
有两个不等实根
＞0
有一个交点
有两个相等实根
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＞0
△=0
△＜0
例题
答案：
例题
答案：有
(2.5,0),(-1,0)
归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题
不与x轴相交的抛物线是（? ? ? ? ）
D
练习——求交点
（0，-5）
与x轴交于点　　　　　　　　　　　　.
（2.5，0），（-1，0）
练习——判断交点个数
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
练习——判断交点个数
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点
D. 不能确定
C
练习——已知交点反求参数
.
练习——已知交点反求参数
16
练习——已知交点反求参数
8
练习——已知交点反求参数
.
练习——已知交点反求参数
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；
(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______．
(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______．
=1
＞1
=0
=2
练习——已知交点反求参数
a＞0且△＜0
练习——证明总有交点
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1,0），求B点坐标.
（1）算判别式；
（2）（-2，0）或（-1/2，0）
练习——已知根的情况推交点
Ａ
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
练习——已知根的情况推交点
1
1
例题
画图难免不够精准，那有没有其他的估计方法呢？
它与x轴的公共点的横坐标大约是
-0.7，2.7
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根
第一步：先确定一个范围
观察图象，可知当x=2时，y<0， 可知当x=3时，y>0．
因为抛物线是一条连续的曲线，所以2、
?3之间一定存在一个x的值，使得y=0．?
技巧：找到比较接近，且两个y值异号的点．
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根
第二步：取平均数
取2和3的平均数2.5，
当x=2.5，y=-0.75<0．
那根是在2与2.5之间，
还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根
第三步：取异号缩小范围
一定得让相应的y值异号，
这样才能保证抛物线穿过x轴，
即根在该范围之间．
当x=2.5时，y<0，
当x=2时，y<0，
当x=3时，y>0，
所以根是在2.5与3之间
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根
第四步：再取平均数
取2.5和3的平均数2.75，
当x=2.75，y=0.0625 > 0．
第五步：再取异号
所以根是在2.5与2.75之间
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根
第六步：重复上述操作
可以逐步得到： 根在2.625与2.75之间， 根在2.6875与2.75之间， ……
可以看到：根所在的范围越来越小
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根
第七步：根据精确度取值
因为只需要保留一位小数，
且|2.6875-2.75|=0.0625<0.1，
所以可以取根为2.6875≈2.7
归纳
通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程根的步骤
第一步：先确定一个范围
第二步：取平均数
第三步：取异号缩小范围
第四步：根据需要重复二、三的操作
第五步：根据精确度取值
升华：这种求根近似值的方法也能用来求更高次的一元方程．
练习
练习
根据下列表格的对应值：
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C
用函数的观点解方程进阶
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号绝对值相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
A
用函数的观点解方程进阶
答案：k＜2
用函数的观点解不等式
用函数的观点解不等式
①与y轴的交点坐标;
②与x轴的两个交点间的距离；
③何时y＞0?
用函数的观点解不等式
（1）求证：无论m为何值，函数y的图象与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点．
（2）当m为何值时，函数的图象经过原点．
（3）指出（2）的图象中，使y＜0时， x的取值范围及使y＞0时， x的取值范围．
抛物线与直线的交点
（1）求这两个函数的关系式；
（2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标．　
答案：（1）
（2）（3，4），（1.5，2.5）
思考
你能判断出a，b，c的正负吗？
归纳
开口
向上，a＞0
向下，a＜0
对称轴
y轴右侧，ab异号
y轴左侧，ab同号
与y轴交点
正半轴，c＞0
负半轴，c＜0
与x轴交点
两个交点，＞0；一个交点，=0；
没有交点，＜0
对称轴
根据对称轴的范围和值列式、变形
a
b
c
与a、b有关的式子
看什么
怎么看
归纳
在x轴上方，＞0
a+b+c
a-b+c
4a+2b+c
4a-2b+c
看什么
怎么看
x=1的点
x=-1的点
x=2的点
x=-2的点
顶点
在x轴下方，＜0
在x轴上方，＞0
在x轴下方，＜0
在x轴上方，＞0
在x轴下方，＜0
在x轴上方，＞0
在x轴下方，＜0
例题
①abc＞0；
②b=2a；
③a+b+c＜0；
④a+b-c＞0;
⑤a-b+c＞0．
正确有______个．
4
例题
A
B
C
D
C
练习
a>0,
b<0,
c>0,
△>0.
练习
a>0,
b>0,
c=0,
△>0.
练习
a<0,
b<0,
c>0,
△>0.
练习
a>0,
b<0,
c>0,
△=0.
练习
a>0,
b=0,
c=0,
△=0.
练习
a<0,
b>0,
c<0,
△<0.
练习
A
B
C
D
C
练习
四
练习
A、abc＞0
C、2a+b＞0
D、4a-2b+c＜0
D
总结
这节课我们学会了什么？
与x轴交点横坐标
根
总结
这节课我们学会了什么？
与x轴交点的情况
的根的情况
有两个交点
有两个不等实根
有一个交点
有两个相等实根
没有交点
有交点
没有实根
有实根
＞0
?=0
＜0
≥0
这节课我们还学会了什么？
总结
a
b
c
与a、b有关的式子
看什么
开口
对称轴
与y轴交点
与x轴交点
对称轴
怎么看
向上，a＞0
向下，a＜0
y轴右侧，ab异号
y轴左侧，ab同号
正半轴，c＞0
负半轴，c＜0
两个交点，＞0；一个交点，=0；
没有交点，＜0
根据对称轴的范围和值列式、变形
总结
这节课我们还学会了什么？
a+b+c
a-b+c
4a+2b+c
4a-2b+c
看什么
x=1的点
x=-1的点
x=2的点
x=-2的点
顶点
怎么看
在x轴上方，＞0
在x轴下方，＜0
在x轴上方，＞0
在x轴下方，＜0
在x轴上方，＞0
在x轴下方，＜0
在x轴上方，＞0
在x轴下方，＜0
（1）画出这个函数的图象；
（2）观察图象，当x取哪些值时，函数值为0？
复习巩固
2.用函数的图象求下列方程的解：
复习巩固
（1）画出上述函数的图像；
（2）观察图象，指出铅球推出的距离.
综合运用
综合运用
（2）x取什么值时，函数值大于0；
（3）x取什么值时，函数值小于0.
拓广探索
拓广探索