4.1数列的概念 学案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1数列的概念
学案
一、学习目标
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类.
2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.
3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.
二、基础梳理
1.数列的相关概念及分类：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示...第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的符号表示：数列的一般形式是，，…，，…，简记为.
3.数列与函数的关系：数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为.
4.数列的函数表示法及性质：数列可以用表格和图象来表示，定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
5.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
三、巩固练习
1.已知数列，则5是这个数列的(
)
A.
第12项
B.
第13项
C.
第14项
D.
第25项
2.数列，.......的一个通项公式为(
)
A.
B.
C.
D.
3.数列的通项公式等于(
)
A.
B.
C.
D.
4.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是(???)??
A.
B.
C.
D.
5.在数列中，已知，，则其通项公式为
(
)
A.
B.
C.
D.
6.已知数列，则是数列是递增数列的（
）条件
A.
充分不必要
B.
必要不充分
C.
充要
D.
既不充分也不必要
7.已知数列则此数列的一个通项公式为__________.
8.已知数列满足，，若，则______.
9.数列满足，，则________.
10.已知，则从第__________项起的各项为正数.
11.已知数列中，（且）.
（1）若，求数列中的最大项和最小项的值.
（2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：数列的通项公式为，由得，则，解得，故选B．
2.答案：B
解析：数列中正负项(先正后负)间隔出现，必有，…故，
∴数列…的一个通项公式是，故选B.
3.答案：B
解析：∵数列前几项可知，每一项都是满足，因此带入答案验证可知，排除A，C，D，选B
4.答案：C
解析：星星的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知选C.
5.答案：A
解析：本题主要考查递推数列的基本运算.由题意知，，
6.答案：B
解析：数列是递增数列，例是1，2，3，1，数列不为递增数列，
即是数列是递增数列的不充分条件
当数列是递增数列，则恒成立，即，
即是数列是递增数列的必要条件
故是数列是递增数列的必要不充分条件，
故选：B．
7.答案：
解析：∵，，∴.
8.答案：
解析：
，
∴，，，
，故答案为：
9.答案：
解析：由，得，
∵，∴，
，，…，
∴是以3为周期得数列，
∴.
10.答案：7
解析：由得或，而，∴
11.解析：（1）∵（且），又，
∴.
结合函数的单调性，
可知，.
∴数列中的最大项为，最小项为.
（2），已知对任意的，都有成立，结合函数的单调性，可知，即.