4.4 数学归纳法学案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4
数学归纳法学案
一、学习目标
1.
了解数学归纳法原理；
2.
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；
3.
明确数列问题解决的重要方法——“归纳——猜想——证明”.
二、基础梳理
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
三、巩固练习
1.现有命题“，”，不知真假.请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为(
)
A.不能用数学归纳法去判断真假
B.一定为真命题
C.加上条件后才是真命题，否则为假
D.存在一个很大常数，当时，命题为假
2.用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应添加的式子是(
)
A．
B．
C．
D．
3.用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式(
)
A.
B.
C.
D.
4.用数学归纳法证明“”，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(
)
A.
B.
C.
D.
5.用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是(
)
A.
B.
C.
D.
6.证明：能被9整除.
7.用数学归纳法证明当为正奇数时，能被整除.
8.已知数列满足，前项和.
（1）求的值；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明.
参考答案
巩固练习
1.答案：B
解析：（1）当时，左边=1，右边=1，左边=右边，即时，等式成立.
（2）假设时，等式成立，
即，
则时，，
即时，等式也成立.
综上，时，等式恒成立.故选B.
2.答案：C
解析：时等式为，
时等式为，
等式左端由变为，
增加，减少即添乘.故选C.
3.答案：B
解析：由题意得，当时，不等式为.故选B.
4.答案：D
解析：由所证明的等式可知，当时，
右边.故选D.
5.答案：D
解析：当时，假设成立的等式为，
当时，要证明的等式为，
左边需要添加的项为.故选D.
6.答案：①当时，是9的倍数，命题成立.
②假设当时，命题成立，即能被9整除.那么当时，
.
由假设知能被9整除，又能被9整除，
所以能被9整除.
即时命题也成立.
根据①②，知能被9整除.
7.答案：①当时，显然能被整除.
②假设当(且为正奇数)时，命题成立，即能被整除.
当时，.
又根据假设能被整除，
能被整除.
又能被整除，
能被整除，
当时命题也成立.
由①②知，当为正奇数时，能被整除.
8.答案：（1），前项和，
令，得.
令，得.
令，得.
（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明.
①当时，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，
即，
，
，
，
当时结论成立.
由①②可知，对一切都有成立.