4.3.2等比数列的前n项和公式学案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式学案
一、学习目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.
2.会用等比数列的前n项和公式解决一些与前n项和有关的计算问题.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前n项和有关的实际问题.
4.掌握错位相减法，并能应用其求等比数列的前n项和.
5.掌握等比数列前n项和的性质，并能正确应用.
二、基础梳理
设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是.
根据等比数列的通项公式，上式可写成.①
用公比q乘①的两边，可得.②
用①减去②，可得，即.
因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式.（1）
因为，所以公式（1）还可以写成.
三、巩固练习
1.在等比数列中，，，，则(
)
A.8
B.15
C.
D.31
2.等比数列的前项和，其中是常数，则(
)
A.
B.
C.1
D.2
3.已知等比数列的前项和为，则数列的公比(
)
A.
B.1
C.
D.2
4.设等比数列前项和为，若，，则(
)
A.32
B.64
C.72
D.216
5.我国数学巨著《九章算术》中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何?其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是(
)
A.2
B.3
C.4
D.1
6.等比数列各项为正数，，，成等差数列.若为的前项和，则(
)
A.2
B.
C.
D.
7.已知数列满足，且，则的值等于(
)
A.10
B.100
C.
D.
8.已知为等比数列的前项和，，，公比，则项数_____________.
9.在等比数列中，表示其前项和，若，，则公比等于__________.
10.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为____________.
11.已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
12.已知数列是由正数组成的等比数列，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，若，求实数的值.
13.某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.
(1)求年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8000万元.
(已知)
答案以及解析
1.答案：C
解析：由等比数列的前项和公式可得.故选C.
2.答案：B
解析：当时，.当时，，化为，对于上式时也成立，，解得.故选B.
3.答案：C
解析：等比数列中，，则，变形可得，进而可得，解得.
4.答案：B
解析：方法一：设等比数列的公比为.根据题意，等比数列中，若，，即，又由，得，则.
方法二：由，，可知等比数列的公比，因此，，，成等比数列，结合可知，.因此.
5.答案：B
解析：依题意，每天的织布数构成一个公比的等比数列，其前项和为，则，，解得，，解得.故选B.
6.答案：C
解析：设的公比为，，，成等差数列，，，，，解得或(舍去)，.故选C.
7.答案：B
解析：数列满足，则，整理得(常数)，且，因此，解得，所以.则.故选B.
8.答案：5
解析：由，，公比，得，整理得，解得.
9.答案：3
解析：在等比数列中，，，，，.
10.答案：6
解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前项和.由，得.由于，，则，即.
11.解析：(1)设等比数列的公比为，则由可知，且，，.
(2)记，
数列的前项和，
，
两式相减可得，.
12.解析：(1)设数列的公比为.，，成等差数列，
，.
，.
.
(2)由(1)知，，，.
.
，.
13.解析：(1)设第年的旅游业收入估计为万元，则，，
，且，
数列是首项为400，公比为的等比数列，
，
即年内旅游业总收入为万元.
(2)由(1)知，
令，即，
，，.
又，大约9年后，旅游业总收入超过8000万元.