湖南省常德市澧县张公庙中学2016届九年级下册数学入学考试试卷

湖南省常德市澧县张公庙中学2016届九年级下册数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2016·浙江模拟）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
2．（2016九下·澧县开学考）若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数y= 的图象在（　　）
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
3．（2016九下·澧县开学考）已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3
C．x＜－1或x＞4 D．x＜－1或x＞3
4．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（　　）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
5．（2016九下·澧县开学考）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
6．（2016九下·澧县开学考）在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2016九上·东海期末）如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（　　）
A． B． C．2 D．
8．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
二、填空题
9．（2016九下·澧县开学考）如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为　 　．
（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．
10．（2016九下·澧县开学考）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为　 　．
11．（2016九下·澧县开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为　 　．
12．（2017·武汉模拟）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为　 　．
13．（2016九下·澧县开学考）如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为　 　．
14．（2016九下·澧县开学考）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是　 　．
15．（2016九下·澧县开学考）如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数y=x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，…，C2010A2011C2011B2011都是正方形，则正方形C2010A2011C2011B2011的边长为　 　．
16．（2016九下·澧县开学考）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x=　 　．
三、解答题
17．（2016九下·澧县开学考）用公式法解下列方程
2x2+6=7x．
18．（2016九下·澧县开学考）计算： sin45°+cos230°﹣ +2sin60°．
19．（2016九下·澧县开学考）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求 的长．
20．（2016九下·澧县开学考）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．
21．（2016九下·澧县开学考）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．
（1）求两支架落点E、F之间的距离；
（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．
（参考数据：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ≈1.73，可使用科学计算器）
22．（2017·杭州模拟）为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为 A，B，C，D 四个等级，其中相应等级的里程依次为 200 千米，210 千米，220千米，230 千米，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；
（2）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
23．（2016九下·澧县开学考）如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．
24．（2016九下·澧县开学考）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 m小时，求m的值．
25．（2016九下·澧县开学考）在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为　 　．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为　 　；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；　 　
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求 的值．　 　
26．（2016九下·澧县开学考）如图，已知二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+ x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，kb＞0，
反比例函数y= 中，kb＞0，
∴图象在一、三象限．
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系得出k＜0，b＜0，kb＞0，再根据反比例函数中比例系数与图像的关系就能判断出图像所在的位置。
3．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】本题主要考查的就是二次函数的对称性以及函数与不等式之间的关系.根据题意可得函数的对称轴为直线x=1，则函数与x轴的另一个交点为(3，0)，则根据图像可得：当y＜0时，则-1＜x＜3.
【分析】根据抛物线的对称性知函数与x轴的另一个交点，要求函数值y＜0，则x的取值范围，就是求x轴下方图像的自变量的取值范围，利用图像直接写出即可。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形对应中线的比2：3，
∴两个相似三角形的周长的比为2：3，
设这两个三角形的周长分别为2x，3x，
则2x+3x=20，解得x=4，
∴2x=8，3x=12，
即两个三角形的周长分别8和12．
故选A．
【分析】根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比得到两个相似三角形的周长的比为2：3，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，则2x+3x=20，然后解方程求出x后计算2x和3x即可．
5．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；
B.4×10≠6×5，故本选项错误；
C.4×3=2×6，故本选项正确；
D.2×3≠1×4，故本选项错误；
故选C．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴可设BC=5x，AB=13x，
∴AC==12x，
∴tanB===．
故选C．
【分析】根据sinA=，可设BC=5x，AB=13x，利用勾股定理求出AC=12x，再利用锐角三角函数的定义得出tanB的值．
7．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：
点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ．
故答案为：A
【分析】根据三点确定一个圆得到三角形的外接圆，得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径.
8．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D．
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
9．【答案】4.9m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意可知：AB⊥BC．
∴在Rt△ABC中，sin∠ACB= ，
∴AC= = = ≈4.39，
∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9（m）．
故答案为：4.9m．
【分析】在Rt△ABC中，利用∠ACB的正弦函数的定义及AB的值，算出AC的值，然后根据CD=AC+AD算出答案。
10．【答案】（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
故答案为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx,ky）或（-kx,-ky）,故把点A、B、C的横纵坐标分别乘以 或- 得到A′、B′、C′的坐标，然后描点并顺次连接即可得到△A′B′C′．
11．【答案】 π
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵点A的坐标（﹣2，0），
∴OA=2，
∵△ABO是直角三角形，∠AOB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OB= OA=1，
∴边OB扫过的面积为： = π．
故答案为： π．
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB的长度，求旋转过程中边OB扫过的面积就是求扇形BOB'的面积，利用扇形面积公式计算即可。
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】方法一解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0．
﹣ =﹣3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
方法二：解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣3，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案为3．
【分析】方法一、由抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3得出b2=12a，利用根的判别式，即可求得m的取值范围；方法二、一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=﹣m有交点，根据图像易求出m的取值范围。
13．【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵反比例函数y= 的图象过A，B两点，
∴ab=4，cd=4，
∴S△AOC= |ab|=2，S△BOD= |cd|=2，
∵点M（﹣3，2），
∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，
故答案为：10．
【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数的比例系数K的几何意义知：ab=4，cd=4，从而得出S△AOC= |ab|=2，S△BOD= |cd|=2，根据M点的坐标得出S矩形MCDO=3×2=6，然后利用四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO算出答案。
14．【答案】20
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故答案为：20．
【分析】根据切线长定理知：PA=PB=10，CA=CE，DE=DB ，根据三角形的周长=PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB，计算即可。
15．【答案】2011
【知识点】正方形的性质；探索数与式的规律；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y=x
联立 ，
解得 或 ，
∴点B1（1，1），
OB1= = ，
∵OA1C1B1是正方形，
∴OC1= OB1= × =2，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1B2的解析式为y=x+2，
联立 ，
解得， 或 ，
∴点B2（2，4），
C1B2= =2 ，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1C2= C1B2= ×2 =4，
∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立 ，
解得， 或 ，
∴点B3（3，9），
C2B3= =3 ，
…，
依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=2011 ．
故答案为：2011 ．
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
16．【答案】﹣2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得x2﹣2 （﹣2x）+3=﹣1，
整理得x2+4x+4=0，
（x+2）2=0，
所以x1=x2=﹣2．
故答案为﹣2．
【分析】根据新定义得出方程，再用直接开平方法解出答案即可。
17．【答案】解：方程整理得：2x2﹣7x+6=0，
这里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x=，
解得：x1=2，x2=．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
18．【答案】解：原式= +（ ）2﹣ +2×
= + ﹣ +
=1+
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值。再按实数运算方法计算即可。
19．【答案】（1）解：如图，
⊙C为所求
（2）解：∵⊙C切AB于D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴CD=3cos30°= ，
∴ 的长= = π
【知识点】切线的性质；弧长的计算；作图-垂线
【解析】【分析】（1）过点C作AB的垂线，垂足为点D，然后以C点为圆心，CD为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余可计算出∠DCE=90°-∠A=60°，进而得出∠BCD=90°-∠ACD=30°，再在Rt△BCD中利用∠BCD的余弦可计算出CD=的长，利用弧长公式计算出答案。
20．【答案】解：∵y1与x成正比例，∴y1=kx，∵y2与x+2成反比例，∴y2= ，∵y=y1+y2，∴y=kx+ ，∵当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7，∴ ，解得： ，∴y=2x+ ，当x=﹣3时，y=2×（﹣3）﹣5=﹣11
【知识点】反比例函数的定义；正比例函数的定义
【解析】【分析】首先设出y1=kx， 再将它们代入y=y1+y2，然后用待定系数法即可求出y关于x的函数关系式；最后把x=﹣3代入求值即可。
21．【答案】（1）解：连接EF．∵CD平行于地面，∴GD∥EF．∴ ．又∵AB∥EF，
∴AB∥CD．
而OE∥DM，
则四边形OGDN是平行四边形．
∴OG=DN，GD=ON．
∵ON=40cm，∠EOF=90°，∠ODC=30°，∴GD=40cm，OG= GD=20cm，又EG=30cm，即 ，得EF=100cm
（2）解：延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．∵四边形ONHE是平行四边形，∴NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．由于MN=60cm，∴MH=110cm．
在Rt△MHP中，MP=MH sin∠MHP，
即MP=110sin60°=110× =55 ≈95（cm）．答：躺椅的高度约为95cm
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接EF．根据平行线分线段成比例定理得出：，然后根据AB∥CD ，OE∥DM，判断出四边形OGDN是平行四边形．根据平行四边形的性质得出OG=DN，GD=ON．根据含30角的之间三角形边之间的关系得出OG的长，从而根据比例式列出关于EF的方程，求解即可；
（2）延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．根据平行四边形的性质得出NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．利用在Rt△MHP中，MP=MH sin∠MHP，算出结果即可。
22．【答案】（1）解：这次被抽检的电动汽车共有：30÷30%=100（辆），
等级为A的电动车有：100﹣30﹣40﹣20=10（辆），
补全的统计图如右图所示
（2）解：这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为： =217（千米），
即这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为217千米
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为B等级的有30辆电动汽车，所占的百分比为30%，用30÷30%即可求出电动汽车的总量；分别计算出C、D所占的百分比，即可得到A所占的百分比，即可求出A的电动汽车的辆数，即可补全统计图；
（2）用总里程除以汽车总辆数，即可解答．
23．【答案】（1）解：证明：连接OD．∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，∵∠EFD=∠FDE，∠EFD=∠CDE，∴∠CDO+∠CDE=90°，∴DE为⊙O的切线
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=EO2，∴32+x2=（x+1）2，解得：x=4，∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴ = = ，即 = ，解得：AG=6
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，进而利用等腰三角形的性质得出∠C=∠ODC，根据三角形的内角和得出∠OCD+∠CFO=90°，进而利用等量代换得出∠CDO+∠CDE=90°，根据切线的判定定理进而得出答案；
（2）根据等边对等角得出EF=ED，首先利用勾股定理得出DE的长，进而得出OE的长，根据切线的性质及∠OED=∠GEA，判断出Rt△EOD∽Rt△EGA，再利用相似三角形的性质得出AG的长．
24．【答案】（1）解：设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：
，
解得： ，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米
（2）解：由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+ m）=1600，
解得：m1=20，m2=0（不合题意舍去），
答：m的值为20
【知识点】一元二次方程的其他应用；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm ，利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；
（2）根据速度×时间=路程，列出关于m的方程，求解检验即可。
25．【答案】（1）
（2）1；解：②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，；∴∠AMN=∠ANM=60°，∴AM=AN，∴AM=A′M=AN=A′N，∴四边形AM A′N是菱形；；③在菱形ABCD中，AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=60°，∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，∴∠NA′B=∠DMA′，∴△DMA′∽△BA′N，∴ = ，∵MD= AD=1，A′M=2，∴ =
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，
过点N作NG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴ = =1，
∴BN=DM= AD=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBG=60°
∴BG= ，GN= ，
∴AN= = = ；
故答案为： ；
（ 2 ）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线，
∵∠DAB=60°AM=2，
∴AN= AM=1，
故答案为：1；
【分析】（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，根据菱形的性质得出AD∥BC，OD=OB，∠NBG=60° ,根据平行线分线段成比例定理得出DM∶BN＝OD∶OB＝1，从而得出BN=DM=1 ，利用含30°的直角三角形的边的关系得出BG、GN的长，利用勾股定理解决问题；
（2）①利用线段中垂线的性质得到MN⊥AA',利用含30°的直角三角形的边的关系得出AN的长；
②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根据翻折的性质得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AM A′N是菱形
③根据菱形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，证得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，从而判断出△DMA′∽△BA′N，利用相似三角形对应边成比例得到结果．
26．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴ ，
解得 ．
∴抛物线表达式：y=﹣ x2+ x+4
（2）解：△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣ x2+ x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵A（0，4），C（8，0），∴AC= =4 ，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4 ，0）或（8+4 ，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4 ，0）、（3，0）、（8+4 ，0）
（4）解：设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴ ，
∵MN∥AC∴ ，∴ ，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD= （n+2），∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN= BN OA﹣ BN MD= （n+2）×4﹣ × （n+2）2=﹣ （n﹣3）2+5，∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）令二次函数解析式中y=0，求出点B的坐标，利用勾股定理求出AB、AC、的长，然后根据线段的和差算出BC的长度，由三者满足AB2+AC2=BC2，利用勾股定理得逆定理即可得出△ABC为直角三角形；
（3）根据A,C两点的坐标，由两点间的距离公式得出AC的长度 ，设点N的坐标为（m，0），由两点间的距离公式分别求出线段AN、AC、NC的长度，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N③作AC的垂直平分线，交x轴于N ，由线段相等得出关于m的方程，解方程求出m值，由此即可得出点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0）（-21 / 1湖南省常德市澧县张公庙中学2016届九年级下册数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2016·浙江模拟）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
2．（2016九下·澧县开学考）若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数y= 的图象在（　　）
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，kb＞0，
反比例函数y= 中，kb＞0，
∴图象在一、三象限．
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系得出k＜0，b＜0，kb＞0，再根据反比例函数中比例系数与图像的关系就能判断出图像所在的位置。
3．（2016九下·澧县开学考）已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3
C．x＜－1或x＞4 D．x＜－1或x＞3
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】本题主要考查的就是二次函数的对称性以及函数与不等式之间的关系.根据题意可得函数的对称轴为直线x=1，则函数与x轴的另一个交点为(3，0)，则根据图像可得：当y＜0时，则-1＜x＜3.
【分析】根据抛物线的对称性知函数与x轴的另一个交点，要求函数值y＜0，则x的取值范围，就是求x轴下方图像的自变量的取值范围，利用图像直接写出即可。
4．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（　　）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形对应中线的比2：3，
∴两个相似三角形的周长的比为2：3，
设这两个三角形的周长分别为2x，3x，
则2x+3x=20，解得x=4，
∴2x=8，3x=12，
即两个三角形的周长分别8和12．
故选A．
【分析】根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比得到两个相似三角形的周长的比为2：3，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，则2x+3x=20，然后解方程求出x后计算2x和3x即可．
5．（2016九下·澧县开学考）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；
B.4×10≠6×5，故本选项错误；
C.4×3=2×6，故本选项正确；
D.2×3≠1×4，故本选项错误；
故选C．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
6．（2016九下·澧县开学考）在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴可设BC=5x，AB=13x，
∴AC==12x，
∴tanB===．
故选C．
【分析】根据sinA=，可设BC=5x，AB=13x，利用勾股定理求出AC=12x，再利用锐角三角函数的定义得出tanB的值．
7．（2016九上·东海期末）如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：
点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ．
故答案为：A
【分析】根据三点确定一个圆得到三角形的外接圆，得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径.
8．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D．
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
二、填空题
9．（2016九下·澧县开学考）如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为　 　．
（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．
【答案】4.9m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意可知：AB⊥BC．
∴在Rt△ABC中，sin∠ACB= ，
∴AC= = = ≈4.39，
∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9（m）．
故答案为：4.9m．
【分析】在Rt△ABC中，利用∠ACB的正弦函数的定义及AB的值，算出AC的值，然后根据CD=AC+AD算出答案。
10．（2016九下·澧县开学考）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为　 　．
【答案】（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
故答案为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx,ky）或（-kx,-ky）,故把点A、B、C的横纵坐标分别乘以 或- 得到A′、B′、C′的坐标，然后描点并顺次连接即可得到△A′B′C′．
11．（2016九下·澧县开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为　 　．
【答案】 π
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵点A的坐标（﹣2，0），
∴OA=2，
∵△ABO是直角三角形，∠AOB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OB= OA=1，
∴边OB扫过的面积为： = π．
故答案为： π．
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB的长度，求旋转过程中边OB扫过的面积就是求扇形BOB'的面积，利用扇形面积公式计算即可。
12．（2017·武汉模拟）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】方法一解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0．
﹣ =﹣3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
方法二：解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣3，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案为3．
【分析】方法一、由抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3得出b2=12a，利用根的判别式，即可求得m的取值范围；方法二、一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=﹣m有交点，根据图像易求出m的取值范围。
13．（2016九下·澧县开学考）如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为　 　．
【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵反比例函数y= 的图象过A，B两点，
∴ab=4，cd=4，
∴S△AOC= |ab|=2，S△BOD= |cd|=2，
∵点M（﹣3，2），
∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，
故答案为：10．
【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数的比例系数K的几何意义知：ab=4，cd=4，从而得出S△AOC= |ab|=2，S△BOD= |cd|=2，根据M点的坐标得出S矩形MCDO=3×2=6，然后利用四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO算出答案。
14．（2016九下·澧县开学考）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是　 　．
【答案】20
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故答案为：20．
【分析】根据切线长定理知：PA=PB=10，CA=CE，DE=DB ，根据三角形的周长=PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB，计算即可。
15．（2016九下·澧县开学考）如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数y=x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，…，C2010A2011C2011B2011都是正方形，则正方形C2010A2011C2011B2011的边长为　 　．
【答案】2011
【知识点】正方形的性质；探索数与式的规律；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y=x
联立 ，
解得 或 ，
∴点B1（1，1），
OB1= = ，
∵OA1C1B1是正方形，
∴OC1= OB1= × =2，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1B2的解析式为y=x+2，
联立 ，
解得， 或 ，
∴点B2（2，4），
C1B2= =2 ，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1C2= C1B2= ×2 =4，
∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立 ，
解得， 或 ，
∴点B3（3，9），
C2B3= =3 ，
…，
依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=2011 ．
故答案为：2011 ．
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
16．（2016九下·澧县开学考）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x=　 　．
【答案】﹣2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得x2﹣2 （﹣2x）+3=﹣1，
整理得x2+4x+4=0，
（x+2）2=0，
所以x1=x2=﹣2．
故答案为﹣2．
【分析】根据新定义得出方程，再用直接开平方法解出答案即可。
三、解答题
17．（2016九下·澧县开学考）用公式法解下列方程
2x2+6=7x．
【答案】解：方程整理得：2x2﹣7x+6=0，
这里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x=，
解得：x1=2，x2=．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
18．（2016九下·澧县开学考）计算： sin45°+cos230°﹣ +2sin60°．
【答案】解：原式= +（ ）2﹣ +2×
= + ﹣ +
=1+
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值。再按实数运算方法计算即可。
19．（2016九下·澧县开学考）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求 的长．
【答案】（1）解：如图，
⊙C为所求
（2）解：∵⊙C切AB于D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴CD=3cos30°= ，
∴ 的长= = π
【知识点】切线的性质；弧长的计算；作图-垂线
【解析】【分析】（1）过点C作AB的垂线，垂足为点D，然后以C点为圆心，CD为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余可计算出∠DCE=90°-∠A=60°，进而得出∠BCD=90°-∠ACD=30°，再在Rt△BCD中利用∠BCD的余弦可计算出CD=的长，利用弧长公式计算出答案。
20．（2016九下·澧县开学考）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．
【答案】解：∵y1与x成正比例，∴y1=kx，∵y2与x+2成反比例，∴y2= ，∵y=y1+y2，∴y=kx+ ，∵当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7，∴ ，解得： ，∴y=2x+ ，当x=﹣3时，y=2×（﹣3）﹣5=﹣11
【知识点】反比例函数的定义；正比例函数的定义
【解析】【分析】首先设出y1=kx， 再将它们代入y=y1+y2，然后用待定系数法即可求出y关于x的函数关系式；最后把x=﹣3代入求值即可。
21．（2016九下·澧县开学考）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．
（1）求两支架落点E、F之间的距离；
（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．
（参考数据：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ≈1.73，可使用科学计算器）
【答案】（1）解：连接EF．∵CD平行于地面，∴GD∥EF．∴ ．又∵AB∥EF，
∴AB∥CD．
而OE∥DM，
则四边形OGDN是平行四边形．
∴OG=DN，GD=ON．
∵ON=40cm，∠EOF=90°，∠ODC=30°，∴GD=40cm，OG= GD=20cm，又EG=30cm，即 ，得EF=100cm
（2）解：延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．∵四边形ONHE是平行四边形，∴NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．由于MN=60cm，∴MH=110cm．
在Rt△MHP中，MP=MH sin∠MHP，
即MP=110sin60°=110× =55 ≈95（cm）．答：躺椅的高度约为95cm
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接EF．根据平行线分线段成比例定理得出：，然后根据AB∥CD ，OE∥DM，判断出四边形OGDN是平行四边形．根据平行四边形的性质得出OG=DN，GD=ON．根据含30角的之间三角形边之间的关系得出OG的长，从而根据比例式列出关于EF的方程，求解即可；
（2）延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．根据平行四边形的性质得出NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．利用在Rt△MHP中，MP=MH sin∠MHP，算出结果即可。
22．（2017·杭州模拟）为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为 A，B，C，D 四个等级，其中相应等级的里程依次为 200 千米，210 千米，220千米，230 千米，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；
（2）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
【答案】（1）解：这次被抽检的电动汽车共有：30÷30%=100（辆），
等级为A的电动车有：100﹣30﹣40﹣20=10（辆），
补全的统计图如右图所示
（2）解：这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为： =217（千米），
即这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为217千米
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为B等级的有30辆电动汽车，所占的百分比为30%，用30÷30%即可求出电动汽车的总量；分别计算出C、D所占的百分比，即可得到A所占的百分比，即可求出A的电动汽车的辆数，即可补全统计图；
（2）用总里程除以汽车总辆数，即可解答．
23．（2016九下·澧县开学考）如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．
【答案】（1）解：证明：连接OD．∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，∵∠EFD=∠FDE，∠EFD=∠CDE，∴∠CDO+∠CDE=90°，∴DE为⊙O的切线
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=EO2，∴32+x2=（x+1）2，解得：x=4，∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴ = = ，即 = ，解得：AG=6
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，进而利用等腰三角形的性质得出∠C=∠ODC，根据三角形的内角和得出∠OCD+∠CFO=90°，进而利用等量代换得出∠CDO+∠CDE=90°，根据切线的判定定理进而得出答案；
（2）根据等边对等角得出EF=ED，首先利用勾股定理得出DE的长，进而得出OE的长，根据切线的性质及∠OED=∠GEA，判断出Rt△EOD∽Rt△EGA，再利用相似三角形的性质得出AG的长．
24．（2016九下·澧县开学考）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 m小时，求m的值．
【答案】（1）解：设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：
，
解得： ，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米
（2）解：由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+ m）=1600，
解得：m1=20，m2=0（不合题意舍去），
答：m的值为20
【知识点】一元二次方程的其他应用；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm ，利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；
（2）根据速度×时间=路程，列出关于m的方程，求解检验即可。
25．（2016九下·澧县开学考）在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为　 　．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为　 　；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；　 　
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求 的值．　 　
【答案】（1）
（2）1；解：②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，；∴∠AMN=∠ANM=60°，∴AM=AN，∴AM=A′M=AN=A′N，∴四边形AM A′N是菱形；；③在菱形ABCD中，AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=60°，∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，∴∠NA′B=∠DMA′，∴△DMA′∽△BA′N，∴ = ，∵MD= AD=1，A′M=2，∴ =
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，
过点N作NG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴ = =1，
∴BN=DM= AD=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBG=60°
∴BG= ，GN= ，
∴AN= = = ；
故答案为： ；
（ 2 ）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线，
∵∠DAB=60°AM=2，
∴AN= AM=1，
故答案为：1；
【分析】（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，根据菱形的性质得出AD∥BC，OD=OB，∠NBG=60° ,根据平行线分线段成比例定理得出DM∶BN＝OD∶OB＝1，从而得出BN=DM=1 ，利用含30°的直角三角形的边的关系得出BG、GN的长，利用勾股定理解决问题；
（2）①利用线段中垂线的性质得到MN⊥AA',利用含30°的直角三角形的边的关系得出AN的长；
②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根据翻折的性质得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AM A′N是菱形
③根据菱形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，证得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，从而判断出△DMA′∽△BA′N，利用相似三角形对应边成比例得到结果．
26．（2016九下·澧县开学考）如图，已知二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+ x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴ ，
解得 ．
∴抛物线表达式：y=﹣ x2+ x+4
（2）解：△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣ x2+ x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵A（0，4），C（8，0），∴AC= =4 ，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4 ，0）或（8+4 ，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4 ，0）、（3，0）、（8+4 ，0）
（4）解：设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴ ，
∵MN∥AC∴ ，∴ ，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD= （n+2），∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN= BN OA﹣ BN MD= （n+2）×4﹣ × （n+2）2=﹣ （n﹣3）2+5，∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）令二次函数解析式中y=0，求出点B的坐标，利用勾股定理求出AB、AC、的长，然后根据线段的和差算出BC的长度，由三者满足AB2+AC2=BC2，利用勾股定理得逆定理即可得出△ABC为直角三角形；
（3）根据A,C两点的坐标，由两点间的距离公式得出AC的长度 ，设点N的坐标为（m，0），由两点间的距离公式分别求出线段AN、AC、NC的长度，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N③作AC的垂直平分线，交x轴于N ，由线段相等得出关于m的方程，解方程求出m值，由此即可得出点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0）（-21 / 1