浙江省杭州市高桥中学2016届九年级下册数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2017九下·萧山开学考） 是一个（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
2．（2016九下·杭州开学考）化简：（﹣3x2）2x3的结果是（ ）
A．﹣3x5 B．18x5 C．﹣6x5 D．﹣18x5
3．（2016九下·杭州开学考）已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，则另一组新数组x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．无法计算
4．（2017八下·通辽期末）一次函数y=（k﹣3）x+2，若y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2017七下·大冶期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．（2017九下·萧山开学考）如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（ ）
A．60° B．150° C．180° D．240°
7．（2016九下·杭州开学考）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2016九下·杭州开学考）若不等式组 （x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（ ）
A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．不能确定
9．（2016九下·杭州开学考）已知w关于t的函数： ，则下列有关此函数图象的描述正确的是（ ）
A．该函数图象与坐标轴有两个交点
B．该函数图象经过第一象限
C．该函数图象关于原点中心对称
D．该函数图象在第四象限
10．（2016九下·杭州开学考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤
二、填空题
11．一组数据5，9，8，8，10的中位数是 ，方差是 ．
12．（2017九下·萧山开学考）分解因式：a3﹣4a（a﹣1）= ．
13．已知a+b=2，b≤2，y﹣a2﹣2a+2=0．则y的取值范围是 ．
14．（2016九下·杭州开学考）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8．⊙O经过B、C两点，且AO=4，则⊙O的半径长是 ．
15．（2017九下·萧山开学考）正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．
16．（2016九下·杭州开学考）如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．
（1）若该抛物线过原点O，则a= ；
（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2016九下·杭州开学考）先化简，再求值： ÷（x+2﹣ ），其中x满足x（x2﹣4）=0．
18．（2016九下·杭州开学考）在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率
（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．
19．（2016九下·杭州开学考）某政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+n．
（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，则n= ；
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润为多少元．
20．（2016九下·杭州开学考）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，BC在x轴上，一次函数y=kx﹣2的图象经过点A、C，并与y轴交于点E，反比例函数y= 的图象经过点A．
（1）点E的坐标是 ；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
21．（2016九下·杭州开学考）如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ： =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE CP的值．
22．（2016九下·杭州开学考）如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．
（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；
（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ 是一个无限不循环小数，
∴ 是一个无理数．
故选D．
【分析】根据无理数的定义即可作答．
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】（﹣3x2）2x3=[2×（﹣3）]（x3 x2）=﹣6x5．故选C．
【分析】利用单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质，计算后直接选取答案．
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】∵数x1、x2、x3、x4、x5的平均数为5，∴数x1+x2+x3+x4+x5=5×5，∴x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均数=（x1+1+x2+2+x3+3+x4+4+x5+5）÷5=（5×5+15）÷5=8．故选：B．
【分析】根据平均数的性质知，要求x1+1，x2+2，x3+3，x4+4，、x5+5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．
4．【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据一次函数的性质，对于y=（k﹣3）x+2，
当（k﹣3）＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大，
分析选项可得D选项正确．
答案为D．
【分析】根据一次函数的性质，当y随x的增大而增大时，求得k的范围，在选项中找到范围内的值即可．
5．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠FED=65°，
由折叠的性质知，∠FED=∠FED′=65°，
∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．
故∠AED′等于50°．
故选：A．
【分析】首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
6．【答案】D
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，
即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
所以旋转120°或240°后与原图形重合．
故选：D．
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，
∴tanA= = = ，
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】过B作BE∥AC交CD于E．由题意可得AC=2BE，由cot∠BCD=3，可设BE=x，则BC=3x，AC=2x，在Rt△ABC中可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵不等式组 （x为未知数）无解，
∴由﹣2x+4≥0，
解得：x≤2，
则x＞a时，即x＞2时此不等式组无解，
∴a=2，
∵y=ax2﹣2x+1中，
b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4a=4﹣4×2=﹣4＜0，
∴二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的没有交点．
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】解不等式组得出a的值，再求判别式可判断出答案.
9．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；函数的图象
【解析】【解答】解：函数式中含二次根式，分母中含t，故当t＞0时，函数式有意义，
此时w＜0，函数图象在第四象限．
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得t＞0，从而可得w＜0，进而判断出正确答案.
10．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF= BC=4．
∴DE= DF=4 （故③错误）．
当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．
此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．
故B符合题意.
故答案为：B．
【分析】连接CF.先证明△ADF≌△CEF可得EF=DF、∠CFE=∠AFD，再由∠AFD+∠CFD=90°可得∠EFD=90°，从而判断①；
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，从而判断②；
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，从而求出DF的值，进而可得DE的值，可判断③；
由△ADF≌△CEF可得S四边形CEFD=S△AFC，从而判断④；
由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF，从而求出△CDE的面积，可判断⑤.
11．【答案】8；2.8
【知识点】方差
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列为5，8，8，9，10，
最中间的数是8，则中位数是8；
平均数是：（5+8+8+9+10）÷5=8，
方差是= =2.8，
故答案为：8，2.8
【分析】根据中位数的定义，将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的数，求出平均数，再根据方差公式进行 计算即可．
12．【答案】a（a﹣2）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a3﹣4a2+4a=a（a2﹣4a+4）=a（a﹣2）2，
故答案为：a（a﹣2）2．
【分析】首先利用整式的乘法把式子整理成a3﹣4a2+4a，再提取公因式a，然后再利用完全平方公式进行二次分解即可．
13．【答案】y≥﹣2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由a+b=2，得：b=2﹣a，
∵b≤2，得：2﹣a≤2，
解得：a≥0，
∵y﹣a2﹣2a+2=0，
∴y=a2+2a﹣2=（a+1）2﹣3，
∵当a＞﹣1时，y随a的增大而增大，
∴当a≥0时，y≥﹣2，
故答案为：y≥﹣2．
【分析】根据a+b=2、b≤2求出a的取值范围，由y﹣a2﹣2a+2=0得y=a2+2a﹣2=（a+1）2﹣3，结合自变量a的取值范围可知y的范围．
14．【答案】 ，
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过A点作BC的垂直平分线，垂足为D，
∵AB=AC=5，BC=8，∴BD=4，
∴在Rt△ABD中，AD= =3，
当点O在A点上方时，OD=AO+AD=4+3=7，
在Rt△OBD中，半径OB= = = ，
当点O在A点下方时，O′D=AO′﹣AD=4﹣3=1，
在Rt△O′BD中，半径O′B= = = ．
故答案为： ， ．
【分析】过A点作BC的垂直平分线，垂足为D.由题意可知O在BC的垂直平分线，然后分点O在A点上方和点O在A点下方，再利用勾股定理求解.
15．【答案】 a2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，EF．
∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积 （G为BF与DE的交点），
∴△ABD的面积= 正方形ABCD的面积= a2．
∵△BCD中EF为中位线，
∴EF∥BD，EF= BD，
∴△GEF∽△GBD，
∴DG=2GE，
∴△BDE的面积= △BCD的面积．
∴△BDG的面积= △BDE的面积= △BCD的面积= a2= a2．
∴阴影部分的面积= a2+ a2= a2．
故答案为： a2．
【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于 正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．
16．【答案】（1）﹣
（2）a＜﹣ 或a＞
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax2+bx+c，
得 ，
解得a=﹣ ，
故答案为：﹣ ；
（ 2 ）如图2，
∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此时直线OQ的斜率为﹣ ，则直线OQ的解析式为y=﹣ x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）
综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 或a＞ ．
故答案为：a＜﹣ 或a＞ ．
【分析】（1）过点D作DF⊥x轴于点F，易证△AOB≌△BFD，从而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式可得a的值；
（2）把D、E的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c可得y=ax2﹣4ax+3a+1．然后分抛物线y=ax2+bx+c开口向下和开口向上来讨论求解.
17．【答案】解：原式= ÷
=
=
= ，
解x（x2﹣4）=0得x=0或x=2或x=﹣2，
因为x≠0且x≠2，
所以x=﹣2，
当x=﹣2时，原式= =﹣
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号内的加减运算，再把除法转化成乘法约分化简，再由x（x2﹣4）=0求出符合条件的x值代入计算.
18．【答案】（1）解：
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两数差为0的结果数为3，
所以 P（两数差为0）=
（2）解：
该游戏公平．理由如下：
因为这两数的差为非正数的结果数为6，这两数的差为正数的结果数为6，
小马赢的概率=，小虎赢的概率=
所以游戏公平．
【知识点】游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两数差为0的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先找出这两数的差为非正数的结果数和这两数的差为正数的结果数，再根据概率公式计算出小马赢的概率和小虎赢的概率，然后通过比较概率的大小判断该游戏是否公平．
19．【答案】（1）500
（2）解：由题意，得：w=（x﹣20） y，
=（x﹣20） （﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，
令：﹣10x2+700x﹣10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40（舍）．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元
（3）解：由（2）知：w=﹣10x2+700x﹣10000，∴ ．
∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下．
∵x≤32∴w随x的增大而增大．
∴当x=32时，w最大=2160．
答：销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润为2160元
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵y=﹣10x+n，当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，
∴则W=（25﹣20）×（﹣10×25+n）=1250，
解得：n=500；
故答案为：500．
【分析】（1）利润=销售量乘以每件的利润可求出；
（2）由利润=销售量乘以每件的利润（销售量y=-10x+n）得到w关于x的二次函数，再由w=2000得到关于x的一元二次方程，求解可得符合条件的x值；
（3）由（2）得到w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可求出函数的定价和最值.
20．【答案】（1）E（0，﹣2）
（2）解：把C（4，0）代入y=kx﹣2得4k﹣2=0，解得k= ，
∴一次函数解析式为y= x﹣2；
∵OC=4，
∴A点坐标为（6，1），
把A（6，1）代入y= 得m=6×1=6，
∴反比例函数解析式为y=
（3）解：令
解得 ，
∴另一个交点（﹣2，﹣3），
∴观察图象得：当x＜﹣2或 0＜x＜6时次函数的值小于反比例函数的值
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）一次函数y=kx﹣2中令x=0得y=﹣2，
所以E（0，﹣2）；
【分析】（1）把x=0代入求出y的值，即可得E的坐标；
（2）利用待定系数法求出一次函数解析式，从而求出A的坐标，再由待定系数法求出反比例函数的解析式；
（3）把两个函数的解析式联立求出交点坐标，再结合图像可得答案.
21．【答案】（1）解：PD与⊙O相切．理由如下：连接OP，∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠OPD=120°﹣30°=90°，
∵OP为半径，∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连BC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ： =1：2，∴∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE垂直平分PC，如图，
设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，
∴AE=AB﹣BE=3x，∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=DE，
∴DB=3x﹣x=2x，
∴AE：EB：BD的值为3：1：2
（3）解：如图，连接OC，∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，
而∠ACE=∠PCA，
∴△ACE∽△PCA，
∴ ，即AC2=PC CE，
∵A02+OC2=AC2=8，∴PC CE=AC2=8．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OP，利用圆周角定理可求出∠AOP=120°，进而可得∠PAO=∠APO=30°，再利用等腰三角形的性质可求出∠D=30°，进而可得∠OPD=90°，从而得证；
（2）连BC，由AB为直径可得∠ACB=90°，再由已知可得∠BAC=30°，∠ABC=60°，从而得出AE垂直平分PC，设BE=x，在Rt△BCE和Rt△ABC中，利用直角三角形的性质可得答案；
（3）连接OC，由圆周角定理可得∠CAB=∠APC，OC⊥AB，从而证出△ACE∽△PCA，由相似三角形的性质可得AC2=PC CE，又由勾股定理可求出AC2，进而求出答案.
22．【答案】（1）解：∵∠MCA=∠BDO=90°，∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：
①当△AMC∽△BOD时， =tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴ =2，解得AC=8；
②当△AMC∽△OBD时， =tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴ =2，解得AC=2．故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似
（2）解：△ABO为直角三角形．理由如下：∵MC∥BD，∴△AMC∽△ABD，∴ ，∠AMC=∠ABD，∵M为AB中点，∴C为AD中点，BD=2MC=8．∵tan∠EOF=2，∴OD=4，∴CD=OC﹣OD=8，
∴AC=CD=8．
在△AMC与△BOD中， ，
∴△AMC≌△BOD（SAS），
∴∠CAM=∠DBO，
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，
∴△ABO为直角三角形
（3）解：连结BC，设OD=a，则BD=2a．∵S△AMC=S△BOC，S△AMC= AC MC=2AC，S△BOC= OC BD=12a，
∴2AC=12a，
∴AC=6a．
∵△AMC∽△ABD，
∴ ，即 ，
解得a1=3，a2=﹣ （舍去），
∴AC=6×3=18．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）△AMC和△BOD相似时分两种情况：△AMC∽△BOD和△AMC∽△OBD，再由相似三角形的对应边成比例求出AC的长；
（2）易证△AMC∽△ABD，根据相似三角形的性质和三角形的中位线性质可求出OD=4，CD=8，AC=CD=8，从而得出△AMC≌△BOD，则∠CAM=∠DBO，再由∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM可求出∠ABO的度数，进而得出△ABO的形状；
（3）设OD=a，则BD=2a．利用三角形的面积可得AC=6a，再由△AMC∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例可求出a的值，进而得出AC的长.
1 / 1浙江省杭州市高桥中学2016届九年级下册数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2017九下·萧山开学考） 是一个（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ 是一个无限不循环小数，
∴ 是一个无理数．
故选D．
【分析】根据无理数的定义即可作答．
2．（2016九下·杭州开学考）化简：（﹣3x2）2x3的结果是（ ）
A．﹣3x5 B．18x5 C．﹣6x5 D．﹣18x5
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】（﹣3x2）2x3=[2×（﹣3）]（x3 x2）=﹣6x5．故选C．
【分析】利用单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质，计算后直接选取答案．
3．（2016九下·杭州开学考）已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，则另一组新数组x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．无法计算
【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】∵数x1、x2、x3、x4、x5的平均数为5，∴数x1+x2+x3+x4+x5=5×5，∴x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均数=（x1+1+x2+2+x3+3+x4+4+x5+5）÷5=（5×5+15）÷5=8．故选：B．
【分析】根据平均数的性质知，要求x1+1，x2+2，x3+3，x4+4，、x5+5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．
4．（2017八下·通辽期末）一次函数y=（k﹣3）x+2，若y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据一次函数的性质，对于y=（k﹣3）x+2，
当（k﹣3）＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大，
分析选项可得D选项正确．
答案为D．
【分析】根据一次函数的性质，当y随x的增大而增大时，求得k的范围，在选项中找到范围内的值即可．
5．（2017七下·大冶期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠FED=65°，
由折叠的性质知，∠FED=∠FED′=65°，
∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．
故∠AED′等于50°．
故选：A．
【分析】首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
6．（2017九下·萧山开学考）如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（ ）
A．60° B．150° C．180° D．240°
【答案】D
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，
即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
所以旋转120°或240°后与原图形重合．
故选：D．
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7．（2016九下·杭州开学考）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，
∴tanA= = = ，
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】过B作BE∥AC交CD于E．由题意可得AC=2BE，由cot∠BCD=3，可设BE=x，则BC=3x，AC=2x，在Rt△ABC中可求出答案.
8．（2016九下·杭州开学考）若不等式组 （x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（ ）
A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．不能确定
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵不等式组 （x为未知数）无解，
∴由﹣2x+4≥0，
解得：x≤2，
则x＞a时，即x＞2时此不等式组无解，
∴a=2，
∵y=ax2﹣2x+1中，
b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4a=4﹣4×2=﹣4＜0，
∴二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的没有交点．
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】解不等式组得出a的值，再求判别式可判断出答案.
9．（2016九下·杭州开学考）已知w关于t的函数： ，则下列有关此函数图象的描述正确的是（ ）
A．该函数图象与坐标轴有两个交点
B．该函数图象经过第一象限
C．该函数图象关于原点中心对称
D．该函数图象在第四象限
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；函数的图象
【解析】【解答】解：函数式中含二次根式，分母中含t，故当t＞0时，函数式有意义，
此时w＜0，函数图象在第四象限．
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得t＞0，从而可得w＜0，进而判断出正确答案.
10．（2016九下·杭州开学考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF= BC=4．
∴DE= DF=4 （故③错误）．
当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．
此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．
故B符合题意.
故答案为：B．
【分析】连接CF.先证明△ADF≌△CEF可得EF=DF、∠CFE=∠AFD，再由∠AFD+∠CFD=90°可得∠EFD=90°，从而判断①；
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，从而判断②；
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，从而求出DF的值，进而可得DE的值，可判断③；
由△ADF≌△CEF可得S四边形CEFD=S△AFC，从而判断④；
由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF，从而求出△CDE的面积，可判断⑤.
二、填空题
11．一组数据5，9，8，8，10的中位数是 ，方差是 ．
【答案】8；2.8
【知识点】方差
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列为5，8，8，9，10，
最中间的数是8，则中位数是8；
平均数是：（5+8+8+9+10）÷5=8，
方差是= =2.8，
故答案为：8，2.8
【分析】根据中位数的定义，将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的数，求出平均数，再根据方差公式进行 计算即可．
12．（2017九下·萧山开学考）分解因式：a3﹣4a（a﹣1）= ．
【答案】a（a﹣2）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a3﹣4a2+4a=a（a2﹣4a+4）=a（a﹣2）2，
故答案为：a（a﹣2）2．
【分析】首先利用整式的乘法把式子整理成a3﹣4a2+4a，再提取公因式a，然后再利用完全平方公式进行二次分解即可．
13．已知a+b=2，b≤2，y﹣a2﹣2a+2=0．则y的取值范围是 ．
【答案】y≥﹣2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由a+b=2，得：b=2﹣a，
∵b≤2，得：2﹣a≤2，
解得：a≥0，
∵y﹣a2﹣2a+2=0，
∴y=a2+2a﹣2=（a+1）2﹣3，
∵当a＞﹣1时，y随a的增大而增大，
∴当a≥0时，y≥﹣2，
故答案为：y≥﹣2．
【分析】根据a+b=2、b≤2求出a的取值范围，由y﹣a2﹣2a+2=0得y=a2+2a﹣2=（a+1）2﹣3，结合自变量a的取值范围可知y的范围．
14．（2016九下·杭州开学考）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8．⊙O经过B、C两点，且AO=4，则⊙O的半径长是 ．
【答案】 ，
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过A点作BC的垂直平分线，垂足为D，
∵AB=AC=5，BC=8，∴BD=4，
∴在Rt△ABD中，AD= =3，
当点O在A点上方时，OD=AO+AD=4+3=7，
在Rt△OBD中，半径OB= = = ，
当点O在A点下方时，O′D=AO′﹣AD=4﹣3=1，
在Rt△O′BD中，半径O′B= = = ．
故答案为： ， ．
【分析】过A点作BC的垂直平分线，垂足为D.由题意可知O在BC的垂直平分线，然后分点O在A点上方和点O在A点下方，再利用勾股定理求解.
15．（2017九下·萧山开学考）正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．
【答案】 a2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，EF．
∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积 （G为BF与DE的交点），
∴△ABD的面积= 正方形ABCD的面积= a2．
∵△BCD中EF为中位线，
∴EF∥BD，EF= BD，
∴△GEF∽△GBD，
∴DG=2GE，
∴△BDE的面积= △BCD的面积．
∴△BDG的面积= △BDE的面积= △BCD的面积= a2= a2．
∴阴影部分的面积= a2+ a2= a2．
故答案为： a2．
【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于 正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．
16．（2016九下·杭州开学考）如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．
（1）若该抛物线过原点O，则a= ；
（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是 ．
【答案】（1）﹣
（2）a＜﹣ 或a＞
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax2+bx+c，
得 ，
解得a=﹣ ，
故答案为：﹣ ；
（ 2 ）如图2，
∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此时直线OQ的斜率为﹣ ，则直线OQ的解析式为y=﹣ x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）
综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 或a＞ ．
故答案为：a＜﹣ 或a＞ ．
【分析】（1）过点D作DF⊥x轴于点F，易证△AOB≌△BFD，从而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式可得a的值；
（2）把D、E的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c可得y=ax2﹣4ax+3a+1．然后分抛物线y=ax2+bx+c开口向下和开口向上来讨论求解.
三、解答题
17．（2016九下·杭州开学考）先化简，再求值： ÷（x+2﹣ ），其中x满足x（x2﹣4）=0．
【答案】解：原式= ÷
=
=
= ，
解x（x2﹣4）=0得x=0或x=2或x=﹣2，
因为x≠0且x≠2，
所以x=﹣2，
当x=﹣2时，原式= =﹣
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号内的加减运算，再把除法转化成乘法约分化简，再由x（x2﹣4）=0求出符合条件的x值代入计算.
18．（2016九下·杭州开学考）在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率
（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）解：
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两数差为0的结果数为3，
所以 P（两数差为0）=
（2）解：
该游戏公平．理由如下：
因为这两数的差为非正数的结果数为6，这两数的差为正数的结果数为6，
小马赢的概率=，小虎赢的概率=
所以游戏公平．
【知识点】游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两数差为0的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先找出这两数的差为非正数的结果数和这两数的差为正数的结果数，再根据概率公式计算出小马赢的概率和小虎赢的概率，然后通过比较概率的大小判断该游戏是否公平．
19．（2016九下·杭州开学考）某政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+n．
（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，则n= ；
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润为多少元．
【答案】（1）500
（2）解：由题意，得：w=（x﹣20） y，
=（x﹣20） （﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，
令：﹣10x2+700x﹣10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40（舍）．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元
（3）解：由（2）知：w=﹣10x2+700x﹣10000，∴ ．
∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下．
∵x≤32∴w随x的增大而增大．
∴当x=32时，w最大=2160．
答：销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润为2160元
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵y=﹣10x+n，当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，
∴则W=（25﹣20）×（﹣10×25+n）=1250，
解得：n=500；
故答案为：500．
【分析】（1）利润=销售量乘以每件的利润可求出；
（2）由利润=销售量乘以每件的利润（销售量y=-10x+n）得到w关于x的二次函数，再由w=2000得到关于x的一元二次方程，求解可得符合条件的x值；
（3）由（2）得到w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可求出函数的定价和最值.
20．（2016九下·杭州开学考）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，BC在x轴上，一次函数y=kx﹣2的图象经过点A、C，并与y轴交于点E，反比例函数y= 的图象经过点A．
（1）点E的坐标是 ；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
【答案】（1）E（0，﹣2）
（2）解：把C（4，0）代入y=kx﹣2得4k﹣2=0，解得k= ，
∴一次函数解析式为y= x﹣2；
∵OC=4，
∴A点坐标为（6，1），
把A（6，1）代入y= 得m=6×1=6，
∴反比例函数解析式为y=
（3）解：令
解得 ，
∴另一个交点（﹣2，﹣3），
∴观察图象得：当x＜﹣2或 0＜x＜6时次函数的值小于反比例函数的值
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）一次函数y=kx﹣2中令x=0得y=﹣2，
所以E（0，﹣2）；
【分析】（1）把x=0代入求出y的值，即可得E的坐标；
（2）利用待定系数法求出一次函数解析式，从而求出A的坐标，再由待定系数法求出反比例函数的解析式；
（3）把两个函数的解析式联立求出交点坐标，再结合图像可得答案.
21．（2016九下·杭州开学考）如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ： =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE CP的值．
【答案】（1）解：PD与⊙O相切．理由如下：连接OP，∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠OPD=120°﹣30°=90°，
∵OP为半径，∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连BC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ： =1：2，∴∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE垂直平分PC，如图，
设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，
∴AE=AB﹣BE=3x，∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=DE，
∴DB=3x﹣x=2x，
∴AE：EB：BD的值为3：1：2
（3）解：如图，连接OC，∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，
而∠ACE=∠PCA，
∴△ACE∽△PCA，
∴ ，即AC2=PC CE，
∵A02+OC2=AC2=8，∴PC CE=AC2=8．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OP，利用圆周角定理可求出∠AOP=120°，进而可得∠PAO=∠APO=30°，再利用等腰三角形的性质可求出∠D=30°，进而可得∠OPD=90°，从而得证；
（2）连BC，由AB为直径可得∠ACB=90°，再由已知可得∠BAC=30°，∠ABC=60°，从而得出AE垂直平分PC，设BE=x，在Rt△BCE和Rt△ABC中，利用直角三角形的性质可得答案；
（3）连接OC，由圆周角定理可得∠CAB=∠APC，OC⊥AB，从而证出△ACE∽△PCA，由相似三角形的性质可得AC2=PC CE，又由勾股定理可求出AC2，进而求出答案.
22．（2016九下·杭州开学考）如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．
（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；
（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．
【答案】（1）解：∵∠MCA=∠BDO=90°，∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：
①当△AMC∽△BOD时， =tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴ =2，解得AC=8；
②当△AMC∽△OBD时， =tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴ =2，解得AC=2．故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似
（2）解：△ABO为直角三角形．理由如下：∵MC∥BD，∴△AMC∽△ABD，∴ ，∠AMC=∠ABD，∵M为AB中点，∴C为AD中点，BD=2MC=8．∵tan∠EOF=2，∴OD=4，∴CD=OC﹣OD=8，
∴AC=CD=8．
在△AMC与△BOD中， ，
∴△AMC≌△BOD（SAS），
∴∠CAM=∠DBO，
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，
∴△ABO为直角三角形
（3）解：连结BC，设OD=a，则BD=2a．∵S△AMC=S△BOC，S△AMC= AC MC=2AC，S△BOC= OC BD=12a，
∴2AC=12a，
∴AC=6a．
∵△AMC∽△ABD，
∴ ，即 ，
解得a1=3，a2=﹣ （舍去），
∴AC=6×3=18．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）△AMC和△BOD相似时分两种情况：△AMC∽△BOD和△AMC∽△OBD，再由相似三角形的对应边成比例求出AC的长；
（2）易证△AMC∽△ABD，根据相似三角形的性质和三角形的中位线性质可求出OD=4，CD=8，AC=CD=8，从而得出△AMC≌△BOD，则∠CAM=∠DBO，再由∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM可求出∠ABO的度数，进而得出△ABO的形状；
（3）设OD=a，则BD=2a．利用三角形的面积可得AC=6a，再由△AMC∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例可求出a的值，进而得出AC的长.
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