浙江省杭州市萧山区靖江中学2016届九年级下册数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2016九下·萧山开学考）计算 ﹣ ，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=2 ﹣ = ．
故答案为：A．
【分析】先将二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可。
2．下列计算正确的是（ ）
A．a﹣（2a﹣b）=﹣a﹣b B．（a2﹣2ab+a）÷a=a﹣2b
C． D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、a﹣2a+b=﹣a+b，故A错误；
B、a2÷a﹣2ab÷a+a÷a=a﹣2b+1，故B错误；
C、（﹣ 2）3=﹣ a6，故C错误；
D、（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2，故D正确．
故选：D．
【分析】根据去括号、合并同类项，整式的除法，积的乘方等于乘方的积，多项式乘多项式，可得答案．
3．（2016九下·萧山开学考）在 ，sin45°， ﹣1， ，（ ）0，﹣ ，（ ）﹣2，1.732， 中任取一个，是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有9个数，无理数有sin45°， ﹣1， ， 共4个，
∴任取一个，是无理数的概率是 ．
故答案为：B．
【分析】先利用特殊锐角的三角函数值，零指数的意义，算术平方根的意义，负指数的意义，分别化简，然后判断出无理数的个数，而一共是9个数，根据概率公式计算即可。
4．（2016九下·萧山开学考）如图，在△ABC中，BC=10，∠B=60°，∠C=45°，则点A到BC的距离是（ ）
A．10﹣5 B．5+5 C．15﹣5 D．15﹣10
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；勾股定理的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．
在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴BD=cot∠B×AD= AD．
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴CD=AD，
∴BC=（1+ ）AD=10．
解得：AD=15﹣5 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D．在Rt△ABD中，∠B=60°，根据cot∠B的比值就可以求出BD与AD的关系，在Rt△ADC中，∠C=45°，从而得出CD=AD，根据勾股定理得出BC与AD的关系，再根据BD+DC=BC,列出关于AD的方程，从而得出AD的值。
5．（2016九下·杭州开学考）若不等式组 （x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（ ）
A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．不能确定
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵不等式组 （x为未知数）无解，
∴由﹣2x+4≥0，
解得：x≤2，
则x＞a时，即x＞2时此不等式组无解，
∴a=2，
∵y=ax2﹣2x+1中，
b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4a=4﹣4×2=﹣4＜0，
∴二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的没有交点．
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】解不等式组得出a的值，再求判别式可判断出答案.
6．（2016八上·江苏期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，从而利用SSS判断出△ABD≌△ACD；根据中垂线的性质得出OA=OC，AE=CE，从而利用SSS判断出△AOE≌△COE；再利用SAS判断出△BOD≌△COD；利用SSS判断出△AOC≌△AOB；
7．（2017九下·萧山开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】矩形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，
∴NM= ，
∴DM=3+ = ，
故选A．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果．
8．（2016九下·萧山开学考）函数的自变量x满足 ≤x≤2时，函数值y满足 ≤y≤1，则下列函数①y= x，②y= ，③y= ，④y=﹣ x+ ，⑤y=（x﹣1）2，符合条件的函数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：①y= x，x= 时y取最小值 ，x=2时，y取最大值1，符合，
②y= ，x= 时y取最大值1，x=2时y取最小值 ，符合，
③y= ，x= 时y取最大值4，x=2时y取最小值1，不符合，
④y=﹣ x+ ，x= 时y取最大值1，x=2时y取最小值 ，符合，
⑤y=（x﹣1）2，x=1时，y取最小值0，x=2时y取最大值1，不符合．
综上所述，符合条件的函数有①②④共3个．
故答案为：B．
【分析】分别将x=与x=2代入个函数解析式中，求出y的值，进而就可以得出y的取值范围，将求得的y的范围与题中y的取值范围进行比较就可以得出结论。
9．（2016九下·萧山开学考）已知A，B是两个锐角，且满足 ， ，则实数t所有可能值的和为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：根据已知，得
，即2= ，
∴3t2+5t﹣8=0，
∴解得t1=1，t2=﹣ ，
又∵ ＞0，即t＞0，
∴t2=﹣ 不符合题意舍去，
∴t所有可能值的和为1．
故答案为：C．
【分析】根据将题干里的两个方程相加，然后根据同角三角函数的关系得出方程2= ，求解得出t的值，又 sin 2 A + cos 2 B = ＞0，即t＞0，从而得出t所有可能值的和为1 。
10．（2017九下·萧山开学考）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为 ．其中，正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤
【答案】D
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC= BC= ，CD=DE= CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正确；
②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；
当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；
故②不完全正确；
④∵ ，∴ ；
由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC= ，AD=1；
故S梯形ABCD= （1+2）×1= ，故⑤正确；
因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．
【分析】首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．
二、填空题
11．（2015九下·武平期中）分解因式：xy2﹣x= ．
【答案】x（y﹣1）（y+1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：xy2﹣x，
=x（y2﹣1），
=x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
12．若方程组 的解满足条件x=y，则a= ．
【答案】3
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： ，
②﹣①得4y=4，
解得y=1，
∵x=y，
∴x=1，
把x=y=1代入①得a﹣2=1，
解得a=3．
故答案为：3．
【分析】先把两式相减求得y的值，根据x=y得到x的值，再代入任意一个方程即可求出a的值．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则PB= ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：当AP＞BP时，
AP= ×2= ﹣1，
当AP＜BP时，
AP=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ．
故答案为： ．
【分析】根据黄金分割点的定义，分AP＞BP和AP＜BP两种情况，AP= AB叫做黄金比进行计算，代入数据即可得出AP的长．
14．（2016九下·萧山开学考）在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x ＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－ ，则∠A＝ .
【答案】55°
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：将二次函数配方得：y=（a+b）（x+ ）2﹣ ，
∵该二次函数的最小值为﹣ ，
∴﹣ =﹣ a+ b，整理，得：a=b，
在△ABC中，∵∠C=70°，
∴当a=b时，∠A=∠B= =55°，
故答案为：55°．
【分析】首先将二次函数化为顶点式，然后根据该二次函数的最小值为﹣ ，得出方程从而得出a=b，然后根据等腰三角形两底角相等得出答案。
15．（2016九下·萧山开学考）如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BC= ，CD= ，则sin∠AEB的值为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中点，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．
在Rt△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC= ，CD= ，
∴BD= ，
∴sin∠DCB=BD：BC= ，
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB= ．
故答案为： ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAE=∠BDC=90°．根据等弧所对的圆周角相等得出∠ABE=∠DBC ，从而判断出△ABE∽△DBC，在Rt△DCB中，根据勾股定理算出BD，从而根据正弦函数的定义得出sin∠DCB的值，根据相似三角形对应边成比例，及等角的同名三角函数值相等得出答案。
16．（2016九下·萧山开学考）如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD= ．
【答案】 或
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，
∴∠FDB=∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形；
∵BC=1，∴AB=2；
∵BD=BF，
∴2﹣AD=1﹣CF；
∴AD=CF+1．
①如图1，∠FED=90°，△CEF∽△EDF，
∴ = ，即 = ，
解得，CF= ；
∴AD= +1= ；
②如图2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，
∴ = ，即 = ；
解得，CF= ；
∴AD= +1= ．
故答案为 或 ．
【分析】由于∠EDF=30°，且DE总垂直于AB，因此∠FDB=60°，从而得出△FDB是等边三角形，故BD=BF，2-AD=1-CF，即AD=CF+1．由于∠C是直角，当△CEF∽△DEF时，△DEF必为直角三角形，那么可分两种情况讨论：①∠DEF=90°，此时，△CEF∽△DEF；②∠DFE=90°，此时△CEF∽△FED；可根据各相似三角形得到的比例线段求出CF的值，进而可求得AD的值．
三、解答题
17．（2016九下·萧山开学考）计算
（1）﹣14﹣
（2）6tan230°﹣cos30° tan60°﹣2sin45°+cos60°．
【答案】（1）解：原式=﹣1﹣16+27=10
（2）解：原式=2﹣ ﹣ + =1﹣
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据乘方的意义，算术平方根的意义，绝对值的意义，分别化简，然后再算除法，最后计算加减法得出答案；
（2）先将特殊锐角的三角函数值代入，再按照实数的运算方法计算即可。
18．（2016九下·萧山开学考）学校对全体初三学生寒假期间在家每天的学习时间作了调查．全校共初三学生500人，从中随机抽取50份调查问卷，并绘制成统计图，请结合统计图回答以下问题：
（1）已知，每天学习时间2小时的人数是学习时间8小时人数的一半，请将条形统计图补充完整；
（2）求学生在家学习时间的中位数和众数；
（3）初三学生中学习时间在6小时的大约有多少人？
【答案】（1）解：平均每天学习时间是4小时的人数是：50﹣2﹣28﹣4=16．
（2）解：中位数6小时，众数6小时
（3）解：28÷50×500=280 （人）
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形统计图可得学习8h的有4人，再结合题意可求出学习2h的人数，然后用总人数减去其它学习时间的人数，即可求出学习4h的人数，进而补全条形统计图；
（2），共调查了50人，则中位数是按学习时间从少到多排序后第25、26位学生学习时间的平均数，据此可求出中位数，这组数据中出现次数最多的是众数；
（3），先用学习时间6h的人数除以调查的总人数，再乘全校初三学生的人数，即可完成解答.
19．（2016九下·萧山开学考）给出下面四个方程：x+y=2，xy=1，x=cos60°，y+2x=5
（1）任意两个方程所组成的方程组是二元一次方程组的概率是多少？
（2）请找出一个解是整数的二元一次方程组，并直接写出这个方程组的解．
【答案】（1）解：列表如下：（A、x+y=2，B、xy=1，C、x=cos60°，D、y+2x=5）
A B C D
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中组成二元一次方程组的情况有6种，分别为（C，A）；（D，A）；（A，C）；（D，C）；（A，D）；（C，D），
则P= =
（2）解： ，
解得：
【知识点】二元一次方程的定义；解二元一次方程组；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）用列表法得出所有可能结果共12种，其中组成二元一次方程组的情况有6种，故根据概率公式计算即可；
（2）经过观察C,方程的解不可能是整数，B方程不是二元一次方程，故和它们组合的方程组不满足条件，从而判断出由A,D组成的方程组适合题意，直接写出答案就好。
20．（2017九下·萧山开学考）如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，请说明理由．（写出证明及计算过程）
【答案】解：∵A1B1C1D1是正方形，
∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1，
∵∠AA1D1+∠AD1A1=90°，∠AA1D1+∠BA1B1=90°，
∴∠AD1A1=∠BA1B1，
同理可得：∠AD1A1=∠BA1B1=∠DC1D1=∠C1B1C，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1，
∴AA1=D1D，
设AD1=x，那么AA1=DD1=1﹣x，
Rt△AA1D1中，根据勾股定理可得：
A1D12=x2+（1﹣x）2，
∴正方形A1B1C1D1的面积=A1D12=x2+（1﹣x）2= ，
解得x= ，x= ．
答：依次将四周的直角边分别为 和 的直角三角形减去即可．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题中易证四边的四个小直角三角形全等，那么可设一边为x，那么另一边就是（1﹣x），可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是其面积，然后根据剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，来列方程求解．
21．（2016九下·萧山开学考）如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO＝10，sin∠BOA＝ ．
（1）①在图中，求作△ABO的外接圆；（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）；②求点B的坐标与cos∠BAO的值；
（2）若A，O位置不变，将点B沿 轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形，请直接写出平移距离．
【答案】（1）解：①如图所示：
②作BH⊥OA，垂足为H，
在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA= ，
∴BH=6，
∴OH=8，∴点B的坐标为（8，6），
∵OA=20，OH=8，∴AH=12，
在Rt△AHB中，∵BH=6，
∴AB= =6
∴cos∠BAO= =
（2）解：①当BO=AB时，∵AO=20，∴OH=10，∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位，②当AO=AB′时，∵AO=20，∴AB′=20，过B′作B′N⊥x轴，∵点B的坐标为（8，6），∴B′N=6，∴AN= =2 ．∴点B沿x轴正半轴方向平移（2 +12）个单位，
③当AO=OB″时，
∵AO=20，∴OB″=20，过B″作B″P⊥x轴．∵B的坐标为（8，6），
∴B″P=6，
∴OP= =2 ，∴点B沿x轴正半轴方向平移（2 ﹣8）个单位，综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2 +12）个单位，或（2 ﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出BO和AB的垂直平分线，两线交点就是外接圆圆心，以交点为圆心，交点到O的距离为半径画圆即可；
（2）作BH⊥OA，垂足为H首先根据sin∠BOA及BO=10计算出B点坐标，然后根据勾股定理求出AB长，可得cos∠BAO；
（3）分三种情况进行计算，①当BO=AB时，②当AO=AB′时，③当AO=OB″时，因为点B是沿x轴正半轴方向平移，因此B点纵坐标不变，依次利用勾股定理求出其横坐标即可。
22．（2016九下·萧山开学考）已知二次函数y=kx2+2（k﹣3）x+（k﹣3）的图象开口向上，且k为整数，且该抛物线与x轴有两个交点（a，0）和（b，0）．一次函数y1=（k﹣2）x+m与反比例函数y2= 的图象都经过（a，b）．
（1）求k的值；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，抛物线与x轴有两个交点，令y=0，即kx2+2（k﹣3）x+（k﹣3）=0，则△=4（k﹣3）2﹣4k（k﹣3）＞0，
解得，k＜3，
∵二次函数的图象开口向上，故k＞0，
又∵k为整数，k﹣2≠0，
∴k=1；
（2）解：由（1）得，y=x2﹣4x﹣2，令x2﹣4x﹣2=0得x=2+ 或x=2﹣ ，∴a+b=4，ab=﹣2，把（a，b）代入y1=﹣x+m， 得，m=a+b=4，n=ab=﹣2∴一次函数的表达式为y1=﹣x+4，∴反比例函数的表达式为y2=﹣ ，
当y1＞y2时，x＜2﹣ 或0＜x＜2+
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点得出△=4（k﹣3）2﹣4k（k﹣3）＞0，解得，k＜3，又二次函数的图象开口向上，故k＞0，又k为整数，k﹣2≠0，从而得出K=1 ；
（2）首先利用抛物线与x轴的交点得出其交点的横坐标，进而求出a+b=4，ab=﹣2，然后求出m,n的值，从而得出一次函数及反比例函数的解析式，画出草图，根据图像要当y1＞y2时，自变量的值，主要能清楚谁大谁小，谁大就写谁的图像在上方时的自变量的取值即可。
23．（2016九下·萧山开学考）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴ ．
又∵A（﹣1，0），B（9，0），
∴ ，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，﹣3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣9），
∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a= ，
∴二次函数的解析式为y= （x+1）（x﹣9），
即y= x2﹣ x﹣3
（2）解：∵AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD= ∠BCE= ×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D= AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，﹣5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得
∴直线BD的解析式为y=x﹣9．
∵C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y= x﹣3
（3）．解：假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 = ．分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，
因此，点Q1（7，﹣4）符合 = ，
∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y= x﹣ ．
解方程组 得 ∴点P1坐标为（ ， ），坐标为（ ， ）不符合题意，舍去．
②∵Q1（7，﹣4），
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合 = ．
∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17．
解方程组 得 ，即 ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．解法二：分两种情况（如图所示）：
①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，﹣3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y= x﹣3．
又∵DP1∥CB，
∴设直线DP1的解析式为y= x+n．
把D（4，﹣5）代入可求n=﹣ ，
∴直线DP1解析式为y= x﹣ ．
解方程组 得 ∴点P1坐标为（ ， ）或（ ， ）（不符合题意舍去）．
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y= x﹣3．
取x=4，得y=﹣ ，
∴M（4，﹣ ），∴O′N=O′M= ，∴N（ ，0），又∵D（4，﹣5），
∴直线DN解析式为y=3x﹣17．
解方程组
得 ，∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．解法三：分两种情况（如图所示）：
①求点P1坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，又∵C（0，﹣3）∴可求得CG的解析式为y=x﹣3，设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，DG的解析式为y=3x﹣17，解方程组 得 ，即 ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意舍去．∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，及同角的余角相等可以得出∠OCA=∠OBC ，又∠AOC=∠COB=90°，从而判断出△AOC∽△COB，根据相似三角形对应边成比例得出：OA∶OC＝OC∶OB ；已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，因此求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），从而得出OO′=4，O′（4，0），根据角平分线的定义得出∠BCD的度数 ；如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；根据B、C两点的坐标即可用待定系数法求出直线BC的解析式 ；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 弧BQ=弧CD．
①根据O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．
故把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，从而得出点Q1（7，﹣4）符合弧BQ与弧CD相等，根据D,Q1的坐标用待定系数法去除直线DQ1的解析式，然后解直线DQ1与抛物线的解析式联立的方程组求出P1点的坐标，然后判定是否符合题意；
②由于Q1（7，﹣4），故点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合弧BQ与弧CD相等，根据D,Q2的坐标用待定系数法求出直线DQ2的解析式，然后解直线DQ2与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
解法二：
①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．由于B（9，0），C（0，﹣3）．故用待定系数法可求出直线BC解析式 ；又DP1∥CB，及D（4，﹣5）求出直线DP1解析式为 ；然后解直线DP1与抛物线的解析式联立的方程组求出P1点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），∠NDB=∠CBD．根据直线BC的解析式，得出M的坐标，进而得出N点的坐标，从而得出直线DN的解析式，解直线DN的解析式与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
解法三 ：
①求点P1坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，又C（0，﹣3）故可求得CG的解析式为，
设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，DG的解析式；解直线DG的解析式与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 。
1 / 1浙江省杭州市萧山区靖江中学2016届九年级下册数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2016九下·萧山开学考）计算 ﹣ ，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．3
2．下列计算正确的是（ ）
A．a﹣（2a﹣b）=﹣a﹣b B．（a2﹣2ab+a）÷a=a﹣2b
C． D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
3．（2016九下·萧山开学考）在 ，sin45°， ﹣1， ，（ ）0，﹣ ，（ ）﹣2，1.732， 中任取一个，是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2016九下·萧山开学考）如图，在△ABC中，BC=10，∠B=60°，∠C=45°，则点A到BC的距离是（ ）
A．10﹣5 B．5+5 C．15﹣5 D．15﹣10
5．（2016九下·杭州开学考）若不等式组 （x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（ ）
A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．不能确定
6．（2016八上·江苏期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．（2017九下·萧山开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2016九下·萧山开学考）函数的自变量x满足 ≤x≤2时，函数值y满足 ≤y≤1，则下列函数①y= x，②y= ，③y= ，④y=﹣ x+ ，⑤y=（x﹣1）2，符合条件的函数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2016九下·萧山开学考）已知A，B是两个锐角，且满足 ， ，则实数t所有可能值的和为（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2017九下·萧山开学考）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为 ．其中，正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤
二、填空题
11．（2015九下·武平期中）分解因式：xy2﹣x= ．
12．若方程组 的解满足条件x=y，则a= ．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则PB= ．
14．（2016九下·萧山开学考）在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x ＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－ ，则∠A＝ .
15．（2016九下·萧山开学考）如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BC= ，CD= ，则sin∠AEB的值为 ．
16．（2016九下·萧山开学考）如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD= ．
三、解答题
17．（2016九下·萧山开学考）计算
（1）﹣14﹣
（2）6tan230°﹣cos30° tan60°﹣2sin45°+cos60°．
18．（2016九下·萧山开学考）学校对全体初三学生寒假期间在家每天的学习时间作了调查．全校共初三学生500人，从中随机抽取50份调查问卷，并绘制成统计图，请结合统计图回答以下问题：
（1）已知，每天学习时间2小时的人数是学习时间8小时人数的一半，请将条形统计图补充完整；
（2）求学生在家学习时间的中位数和众数；
（3）初三学生中学习时间在6小时的大约有多少人？
19．（2016九下·萧山开学考）给出下面四个方程：x+y=2，xy=1，x=cos60°，y+2x=5
（1）任意两个方程所组成的方程组是二元一次方程组的概率是多少？
（2）请找出一个解是整数的二元一次方程组，并直接写出这个方程组的解．
20．（2017九下·萧山开学考）如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，请说明理由．（写出证明及计算过程）
21．（2016九下·萧山开学考）如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO＝10，sin∠BOA＝ ．
（1）①在图中，求作△ABO的外接圆；（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）；②求点B的坐标与cos∠BAO的值；
（2）若A，O位置不变，将点B沿 轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形，请直接写出平移距离．
22．（2016九下·萧山开学考）已知二次函数y=kx2+2（k﹣3）x+（k﹣3）的图象开口向上，且k为整数，且该抛物线与x轴有两个交点（a，0）和（b，0）．一次函数y1=（k﹣2）x+m与反比例函数y2= 的图象都经过（a，b）．
（1）求k的值；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
23．（2016九下·萧山开学考）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=2 ﹣ = ．
故答案为：A．
【分析】先将二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可。
2．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、a﹣2a+b=﹣a+b，故A错误；
B、a2÷a﹣2ab÷a+a÷a=a﹣2b+1，故B错误；
C、（﹣ 2）3=﹣ a6，故C错误；
D、（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2，故D正确．
故选：D．
【分析】根据去括号、合并同类项，整式的除法，积的乘方等于乘方的积，多项式乘多项式，可得答案．
3．【答案】B
【知识点】算术平方根；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有9个数，无理数有sin45°， ﹣1， ， 共4个，
∴任取一个，是无理数的概率是 ．
故答案为：B．
【分析】先利用特殊锐角的三角函数值，零指数的意义，算术平方根的意义，负指数的意义，分别化简，然后判断出无理数的个数，而一共是9个数，根据概率公式计算即可。
4．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；勾股定理的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．
在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴BD=cot∠B×AD= AD．
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴CD=AD，
∴BC=（1+ ）AD=10．
解得：AD=15﹣5 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D．在Rt△ABD中，∠B=60°，根据cot∠B的比值就可以求出BD与AD的关系，在Rt△ADC中，∠C=45°，从而得出CD=AD，根据勾股定理得出BC与AD的关系，再根据BD+DC=BC,列出关于AD的方程，从而得出AD的值。
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵不等式组 （x为未知数）无解，
∴由﹣2x+4≥0，
解得：x≤2，
则x＞a时，即x＞2时此不等式组无解，
∴a=2，
∵y=ax2﹣2x+1中，
b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4a=4﹣4×2=﹣4＜0，
∴二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的没有交点．
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】解不等式组得出a的值，再求判别式可判断出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，从而利用SSS判断出△ABD≌△ACD；根据中垂线的性质得出OA=OC，AE=CE，从而利用SSS判断出△AOE≌△COE；再利用SAS判断出△BOD≌△COD；利用SSS判断出△AOC≌△AOB；
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，
∴NM= ，
∴DM=3+ = ，
故选A．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：①y= x，x= 时y取最小值 ，x=2时，y取最大值1，符合，
②y= ，x= 时y取最大值1，x=2时y取最小值 ，符合，
③y= ，x= 时y取最大值4，x=2时y取最小值1，不符合，
④y=﹣ x+ ，x= 时y取最大值1，x=2时y取最小值 ，符合，
⑤y=（x﹣1）2，x=1时，y取最小值0，x=2时y取最大值1，不符合．
综上所述，符合条件的函数有①②④共3个．
故答案为：B．
【分析】分别将x=与x=2代入个函数解析式中，求出y的值，进而就可以得出y的取值范围，将求得的y的范围与题中y的取值范围进行比较就可以得出结论。
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：根据已知，得
，即2= ，
∴3t2+5t﹣8=0，
∴解得t1=1，t2=﹣ ，
又∵ ＞0，即t＞0，
∴t2=﹣ 不符合题意舍去，
∴t所有可能值的和为1．
故答案为：C．
【分析】根据将题干里的两个方程相加，然后根据同角三角函数的关系得出方程2= ，求解得出t的值，又 sin 2 A + cos 2 B = ＞0，即t＞0，从而得出t所有可能值的和为1 。
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC= BC= ，CD=DE= CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正确；
②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；
当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；
故②不完全正确；
④∵ ，∴ ；
由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC= ，AD=1；
故S梯形ABCD= （1+2）×1= ，故⑤正确；
因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．
【分析】首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．
11．【答案】x（y﹣1）（y+1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：xy2﹣x，
=x（y2﹣1），
=x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
12．【答案】3
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： ，
②﹣①得4y=4，
解得y=1，
∵x=y，
∴x=1，
把x=y=1代入①得a﹣2=1，
解得a=3．
故答案为：3．
【分析】先把两式相减求得y的值，根据x=y得到x的值，再代入任意一个方程即可求出a的值．
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：当AP＞BP时，
AP= ×2= ﹣1，
当AP＜BP时，
AP=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ．
故答案为： ．
【分析】根据黄金分割点的定义，分AP＞BP和AP＜BP两种情况，AP= AB叫做黄金比进行计算，代入数据即可得出AP的长．
14．【答案】55°
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：将二次函数配方得：y=（a+b）（x+ ）2﹣ ，
∵该二次函数的最小值为﹣ ，
∴﹣ =﹣ a+ b，整理，得：a=b，
在△ABC中，∵∠C=70°，
∴当a=b时，∠A=∠B= =55°，
故答案为：55°．
【分析】首先将二次函数化为顶点式，然后根据该二次函数的最小值为﹣ ，得出方程从而得出a=b，然后根据等腰三角形两底角相等得出答案。
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中点，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．
在Rt△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC= ，CD= ，
∴BD= ，
∴sin∠DCB=BD：BC= ，
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB= ．
故答案为： ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAE=∠BDC=90°．根据等弧所对的圆周角相等得出∠ABE=∠DBC ，从而判断出△ABE∽△DBC，在Rt△DCB中，根据勾股定理算出BD，从而根据正弦函数的定义得出sin∠DCB的值，根据相似三角形对应边成比例，及等角的同名三角函数值相等得出答案。
16．【答案】 或
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，
∴∠FDB=∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形；
∵BC=1，∴AB=2；
∵BD=BF，
∴2﹣AD=1﹣CF；
∴AD=CF+1．
①如图1，∠FED=90°，△CEF∽△EDF，
∴ = ，即 = ，
解得，CF= ；
∴AD= +1= ；
②如图2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，
∴ = ，即 = ；
解得，CF= ；
∴AD= +1= ．
故答案为 或 ．
【分析】由于∠EDF=30°，且DE总垂直于AB，因此∠FDB=60°，从而得出△FDB是等边三角形，故BD=BF，2-AD=1-CF，即AD=CF+1．由于∠C是直角，当△CEF∽△DEF时，△DEF必为直角三角形，那么可分两种情况讨论：①∠DEF=90°，此时，△CEF∽△DEF；②∠DFE=90°，此时△CEF∽△FED；可根据各相似三角形得到的比例线段求出CF的值，进而可求得AD的值．
17．【答案】（1）解：原式=﹣1﹣16+27=10
（2）解：原式=2﹣ ﹣ + =1﹣
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据乘方的意义，算术平方根的意义，绝对值的意义，分别化简，然后再算除法，最后计算加减法得出答案；
（2）先将特殊锐角的三角函数值代入，再按照实数的运算方法计算即可。
18．【答案】（1）解：平均每天学习时间是4小时的人数是：50﹣2﹣28﹣4=16．
（2）解：中位数6小时，众数6小时
（3）解：28÷50×500=280 （人）
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形统计图可得学习8h的有4人，再结合题意可求出学习2h的人数，然后用总人数减去其它学习时间的人数，即可求出学习4h的人数，进而补全条形统计图；
（2），共调查了50人，则中位数是按学习时间从少到多排序后第25、26位学生学习时间的平均数，据此可求出中位数，这组数据中出现次数最多的是众数；
（3），先用学习时间6h的人数除以调查的总人数，再乘全校初三学生的人数，即可完成解答.
19．【答案】（1）解：列表如下：（A、x+y=2，B、xy=1，C、x=cos60°，D、y+2x=5）
A B C D
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中组成二元一次方程组的情况有6种，分别为（C，A）；（D，A）；（A，C）；（D，C）；（A，D）；（C，D），
则P= =
（2）解： ，
解得：
【知识点】二元一次方程的定义；解二元一次方程组；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）用列表法得出所有可能结果共12种，其中组成二元一次方程组的情况有6种，故根据概率公式计算即可；
（2）经过观察C,方程的解不可能是整数，B方程不是二元一次方程，故和它们组合的方程组不满足条件，从而判断出由A,D组成的方程组适合题意，直接写出答案就好。
20．【答案】解：∵A1B1C1D1是正方形，
∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1，
∵∠AA1D1+∠AD1A1=90°，∠AA1D1+∠BA1B1=90°，
∴∠AD1A1=∠BA1B1，
同理可得：∠AD1A1=∠BA1B1=∠DC1D1=∠C1B1C，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1，
∴AA1=D1D，
设AD1=x，那么AA1=DD1=1﹣x，
Rt△AA1D1中，根据勾股定理可得：
A1D12=x2+（1﹣x）2，
∴正方形A1B1C1D1的面积=A1D12=x2+（1﹣x）2= ，
解得x= ，x= ．
答：依次将四周的直角边分别为 和 的直角三角形减去即可．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题中易证四边的四个小直角三角形全等，那么可设一边为x，那么另一边就是（1﹣x），可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是其面积，然后根据剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，来列方程求解．
21．【答案】（1）解：①如图所示：
②作BH⊥OA，垂足为H，
在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA= ，
∴BH=6，
∴OH=8，∴点B的坐标为（8，6），
∵OA=20，OH=8，∴AH=12，
在Rt△AHB中，∵BH=6，
∴AB= =6
∴cos∠BAO= =
（2）解：①当BO=AB时，∵AO=20，∴OH=10，∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位，②当AO=AB′时，∵AO=20，∴AB′=20，过B′作B′N⊥x轴，∵点B的坐标为（8，6），∴B′N=6，∴AN= =2 ．∴点B沿x轴正半轴方向平移（2 +12）个单位，
③当AO=OB″时，
∵AO=20，∴OB″=20，过B″作B″P⊥x轴．∵B的坐标为（8，6），
∴B″P=6，
∴OP= =2 ，∴点B沿x轴正半轴方向平移（2 ﹣8）个单位，综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2 +12）个单位，或（2 ﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出BO和AB的垂直平分线，两线交点就是外接圆圆心，以交点为圆心，交点到O的距离为半径画圆即可；
（2）作BH⊥OA，垂足为H首先根据sin∠BOA及BO=10计算出B点坐标，然后根据勾股定理求出AB长，可得cos∠BAO；
（3）分三种情况进行计算，①当BO=AB时，②当AO=AB′时，③当AO=OB″时，因为点B是沿x轴正半轴方向平移，因此B点纵坐标不变，依次利用勾股定理求出其横坐标即可。
22．【答案】（1）解：由题意得，抛物线与x轴有两个交点，令y=0，即kx2+2（k﹣3）x+（k﹣3）=0，则△=4（k﹣3）2﹣4k（k﹣3）＞0，
解得，k＜3，
∵二次函数的图象开口向上，故k＞0，
又∵k为整数，k﹣2≠0，
∴k=1；
（2）解：由（1）得，y=x2﹣4x﹣2，令x2﹣4x﹣2=0得x=2+ 或x=2﹣ ，∴a+b=4，ab=﹣2，把（a，b）代入y1=﹣x+m， 得，m=a+b=4，n=ab=﹣2∴一次函数的表达式为y1=﹣x+4，∴反比例函数的表达式为y2=﹣ ，
当y1＞y2时，x＜2﹣ 或0＜x＜2+
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点得出△=4（k﹣3）2﹣4k（k﹣3）＞0，解得，k＜3，又二次函数的图象开口向上，故k＞0，又k为整数，k﹣2≠0，从而得出K=1 ；
（2）首先利用抛物线与x轴的交点得出其交点的横坐标，进而求出a+b=4，ab=﹣2，然后求出m,n的值，从而得出一次函数及反比例函数的解析式，画出草图，根据图像要当y1＞y2时，自变量的值，主要能清楚谁大谁小，谁大就写谁的图像在上方时的自变量的取值即可。
23．【答案】（1）解：∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴ ．
又∵A（﹣1，0），B（9，0），
∴ ，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，﹣3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣9），
∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a= ，
∴二次函数的解析式为y= （x+1）（x﹣9），
即y= x2﹣ x﹣3
（2）解：∵AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD= ∠BCE= ×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D= AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，﹣5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得
∴直线BD的解析式为y=x﹣9．
∵C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y= x﹣3
（3）．解：假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 = ．分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，
因此，点Q1（7，﹣4）符合 = ，
∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y= x﹣ ．
解方程组 得 ∴点P1坐标为（ ， ），坐标为（ ， ）不符合题意，舍去．
②∵Q1（7，﹣4），
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合 = ．
∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17．
解方程组 得 ，即 ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．解法二：分两种情况（如图所示）：
①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，﹣3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y= x﹣3．
又∵DP1∥CB，
∴设直线DP1的解析式为y= x+n．
把D（4，﹣5）代入可求n=﹣ ，
∴直线DP1解析式为y= x﹣ ．
解方程组 得 ∴点P1坐标为（ ， ）或（ ， ）（不符合题意舍去）．
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y= x﹣3．
取x=4，得y=﹣ ，
∴M（4，﹣ ），∴O′N=O′M= ，∴N（ ，0），又∵D（4，﹣5），
∴直线DN解析式为y=3x﹣17．
解方程组
得 ，∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．解法三：分两种情况（如图所示）：
①求点P1坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，又∵C（0，﹣3）∴可求得CG的解析式为y=x﹣3，设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，DG的解析式为y=3x﹣17，解方程组 得 ，即 ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意舍去．∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，及同角的余角相等可以得出∠OCA=∠OBC ，又∠AOC=∠COB=90°，从而判断出△AOC∽△COB，根据相似三角形对应边成比例得出：OA∶OC＝OC∶OB ；已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，因此求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），从而得出OO′=4，O′（4，0），根据角平分线的定义得出∠BCD的度数 ；如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；根据B、C两点的坐标即可用待定系数法求出直线BC的解析式 ；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 弧BQ=弧CD．
①根据O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．
故把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，从而得出点Q1（7，﹣4）符合弧BQ与弧CD相等，根据D,Q1的坐标用待定系数法去除直线DQ1的解析式，然后解直线DQ1与抛物线的解析式联立的方程组求出P1点的坐标，然后判定是否符合题意；
②由于Q1（7，﹣4），故点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合弧BQ与弧CD相等，根据D,Q2的坐标用待定系数法求出直线DQ2的解析式，然后解直线DQ2与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
解法二：
①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．由于B（9，0），C（0，﹣3）．故用待定系数法可求出直线BC解析式 ；又DP1∥CB，及D（4，﹣5）求出直线DP1解析式为 ；然后解直线DP1与抛物线的解析式联立的方程组求出P1点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），∠NDB=∠CBD．根据直线BC的解析式，得出M的坐标，进而得出N点的坐标，从而得出直线DN的解析式，解直线DN的解析式与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
解法三 ：
①求点P1坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，又C（0，﹣3）故可求得CG的解析式为，
设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，DG的解析式；解直线DG的解析式与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 。
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