浙江省湖州市长兴县2016届九年级下册数学开学考试试卷

浙江省湖州市长兴县2016届九年级下册数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2016九下·长兴开学考）二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，﹣3） B．（﹣3，0）
C．（1，0） D．（0，1）
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x2+2x﹣3=﹣3，
所以二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
故选A．
【分析】计算自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
2．（2017九下·海宁开学考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA= = ．
故选B．
【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
3．（2016九下·长兴开学考）在比例尺为1：100000的地图上，测得A，B两地之间的距离为2cm，则A，B两地之间的实际距离为（　　）
A．200000cm B．400000cm
C．200000000000cm D．400000000000cm
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：根据题意，2÷=200000厘米．
即实际距离是200000厘米．
故选A
【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．
4．（2016九下·长兴开学考）一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担当组长，则女生当组长的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，
∴女生当组长的概率是：
故选A．
【分析】由一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担当组长，直接利用概率公式求解即可求得答案．
5．如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，又∠ADC=140°，
∴∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°，
故选：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理得到答案．
6．（2016九下·长兴开学考）将抛物线y=（x﹣1）2+1向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为（　　）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2
C．y=（x﹣2）2+1 D．y=x2+1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（1，0），
由平移不改变二次项系数，
∴得到的抛物线解析式为：y=（x﹣1）2．
故选：B．
【分析】原抛物线顶点坐标为（1，1），平移后抛物线顶点坐标为（1，0），平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式．
7．（2017九下·海宁开学考）如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP AC D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
C、∵∠A=∠A，AB2=AP AC，即，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
8．（2016九下·长兴开学考）如图，⊙O经过△ABC的两个顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，点P从点A出发，沿A→D→E→C的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数；圆周角定理
【解析】【解答】解：①当点P沿A→D运动时，
y随x增大减小；
②当点P沿D→E运动时，
根据圆周角定理，y的值不变；
③当点P沿E→C运动时，
③当点P沿E→C运动时，
故答案为：C．
【分析】分段函数问题，分三段一一分析 ①当点P沿A→D运动时，y随x增大减小 ，②当点P沿D→E运动时，根据圆周角定理，y的值不变；③当点P沿E→C运动时，③当点P沿E→C运动时。
9．（2017九下·海宁开学考）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．
10．（2017九下·海宁开学考）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN= ；③BP=4PK；④PM PA=3PD2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：作PI∥CE交DE于I，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
则 ，又点P是CD的中点，
∴ = ，
∵AD=CE，
∴ = ，
∴BP=3PK，
故③错误；
作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP= ，
则AP= ，
根据三角形面积公式，BM= ，
∵点O是线段BK的中点，
∴PB=3PO，
∴OG= BM= ，
MG= MP= ，
tan∠OMN= = ，故②正确；
∵∠ABP=90°，BM⊥AP，
∴PB2=PM PA，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB= PC，
∵PD=PC，
∴PB2=3PD，
∴PM PA=3PD2，故④正确．
故选B．
【分析】根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到 = ，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN= ，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM PA=3PD2，故④正确．
二、填空题
11．（2016九下·长兴开学考）计算：2cos60°﹣tan45°=　 　．
【答案】0
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：2cos60°﹣tan45°=2× ﹣1=0．
【分析】将特殊锐角的三角函数值代入求解即可。
12．（2017九下·海宁开学考）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为　 　，对称轴是直线　 　．
【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
故答案为：（﹣1，﹣1），x=﹣1．
【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．
13．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是　 　．
【答案】DO=CD
【知识点】菱形的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：DO=CD．理由如下：
∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵DO=CD，
∴AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，
∴四边形OACB为菱形．
【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
14．（2016九下·长兴开学考）如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是　 　．
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点E作EH垂直BC于H。
∵∠CBD=90°，∠D=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠ACE=60°，
∵AC=BC= +1，
∴BD= ，AB= （ +1），
∵∠AEC=∠BED，
∴△BDE∽△ACE，
∴ = ，
∴ = ，
∴BE= ，AE= ，
∵∠ACB=90°，
∴△BHE∽△BCA，
∴ = ，
∴ = ，
∴EH=1，
故答案为1．
【分析】过点E作EH垂直BC于H。AC=BC=，∠D=60°，根据特殊锐角的三角函数值可以求出BD，AB的长，进而判断出△BDE∽△ACE，根据相似三角形对应边成比例得出BE，AE的长，再判断出△BHE∽△BCA，根据对应边成比例得出EH的长。
15．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为　 　．
【答案】2 ﹣2
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2 ，
∴它的内切圆半径为：R= （2 +2 ﹣4）=2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
16．（2016九下·长兴开学考）如图，正方形OABC和正方形CDEF在平面直角坐标系中，点O，C，F在y轴上，点O为坐标原点，点M为OC的中点，抛物线y=ax2+b经过M，B，E三点，则 的值为　 　．
【答案】1+
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设正方形OABC的边长为m，和正方形CDEF的边长为n．
∵点M为OC的中点，
∴点M为（0， ）、点B为（m，m）和点E为（n，m+n），
∵抛物线y=ax2+b经过M，B，E三点，
∴m=am2+ ，
解得：a= ，
∴抛物线y= x2+ ，
把点E（n，m+n）代入抛物线得
m+n= n2+ ，
解得：n=m+ m或n=m﹣ m（不合题意，舍去），
即CB=m，EF=m+ m，
∴ =1+ ．
【分析】设正方形OABC的边长为m，和正方形CDEF的边长为n．又点M为OC的中点，从而得出M,B,E三点的坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式，再把E点的坐标代入就可以得出用含m的式子表示n,从而表示出CB.EF的长度，进而得到其比值。
三、解答题
17．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，cosB= ，求AC的长．
【答案】解：∵∠C=90°，BC=6，cosB= ，
∴cosB= = = ，
∴AB=8，
∴AC= = =2
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求出AB，再根据勾股定理即可得出AC的长．
18．（2016九下·长兴开学考）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 　 　 　 　
（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于 ，求m的值．
【答案】（1）4；2，3
（2）解：根据题意得： = ，
解得：m=2，
所以m的值为2
【知识点】随机事件；概率公式
【解析】【解答】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件；
当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件，
故答案为：4；2，3．
【分析】（1）根据随机事件及必然事件的定义即可得出答案；
（2）根据概率公式知：先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，摸出黑球的概率为,又知磁石的概率是 ，从而列出方程，求解即可。
19．（2016九下·长兴开学考）综合题
（1）如图①，在△ABC中，点D、F在AB上，点E，G在AC上，且DE∥FG∥BC，若AD=2，AE=1，DF=4，则EG=　 　， =　 　．
（2）如图②，在△ABC中点D、F在AB上，点E，G在AC上，且DE∥FG∥BC，以AD，DF，FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF），以AE，EG，GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG），求证：∠M=∠N．
【答案】（1）2；2
（2）证明：∵DE∥FG∥BC，∴ ，
∵AM=BF，MD=DF，AN=GC，NE=EG，
∴ ，
∴△ADM∽△AEN，
∴∠M=∠N
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：∵DE∥FG，
∴ ，
∵AD=2，AE=1，DF=4，
∴EG=2，
∴AF=AD+DF=6，AG=AE+EG=3，
∵DE∥FG∥BC，
∴ =2；
故答案为：2，2；
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出：AD∶DF＝AE∶EG ,从而得出EG的长，进而得出AF,AG的长 ，再根据平行线分线段成比例定理得出FB∶GC＝AF∶AG ,从而得出答案；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出：AD∶AE＝DF∶EG＝FB∶GC ,又AM=BF，MD=DF，AN=GC，根据等量代换得出AD∶AE＝MD∶NE＝AM∶AN ，从而判断出△ADM∽△AEN，根据相似三角形对应角相等得出结论。
20．（2016九下·长兴开学考）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=BO=2，∠AOB=120°．
（1）求a，b的值；
（2）连结OM，求∠AOM的大小．
【答案】（1）解：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴AE=1，EO= ，
∴A点坐标为：（﹣1， ），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：
，
解得： ．
∴a= ，b=﹣
（2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为：y= x2﹣ x；过点M作MF⊥OB于点F，∵y= x2﹣ x= （x2﹣2x）= （x﹣1）2﹣ ，∴M点坐标为：（1，﹣ ），
∴tan∠FOM= = ，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出AE,OE的长，进而得出A,B两点的坐标，然后利用待定系数法就可以求出a,b的值；
（2）过点M作MF⊥OB于点F，根据抛物线求出其顶点M的坐标，从而得出OF,MF的长度，根据tan∠FOM的值就可以求出∠FOM的值，进而得出答案。
21．（2016九下·长兴开学考）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，AC=6，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：证明：连接OM，
则∠OMB=∠OBM=∠MBE
又∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，
∴AE与⊙O相切
（2）解：由AE与⊙O相切，AE⊥BC∴OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴∵BC=4∴BE=2，AB=6，即 ，
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OM ，根据角平分线的定义及等边对等角得出∠OMB=∠OBM=∠MBE，根据等腰三角形的三线合一得出AE⊥BC，根据三角形的内角和及等量代换得出∠AMO=90°，从而得出结论AE与⊙O相切 ；
（2）根据切线的性质定理及平行线的判定方法得出OM∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所截得的三角形与原三角形相似得△AOM∽△ABE；根据相似三角形对应边成比例得出OM∶BE=AO∶AB ;从而得出关于圆的半径的方程，求解即可。
22．（2016九下·长兴开学考）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【答案】（1）解：由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600
（2）解：P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元
（3）解：由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，
解得x1=50，x2=70．
∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440盒
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式，得 P=（x﹣40）y,又y=﹣20x+1600 ，故P=（x﹣40）（﹣20x+1600）， 再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，把P=6000代入求出x的两个界点值 ；根据抛物线开口向下得出当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润 ；根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式，利用一次函数的性质与系数之间的关系即可求解。
23．（2016九下·长兴开学考）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．
【答案】解：发现：如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，∴S扇形KRQ= = ，在Rt△RKE中，RE=RK sin60°= ，∴S△PRK= RE= ，∴S阴影= + ；拓展：如图5， ∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，∴△AON∽△BMN，∴ ，即 ，∴BN= ，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，∴x的取值范围是0＜x≤2 ﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，则∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，OS= =2，在Rt△OSO′中，SO′=OS tan60°=2 ，KO′=2 ﹣ ，在Rt△KGO′中，∠O′=30°，∴KG= KO′= ﹣ ，∴在Rt△OGK中，sinα= = = ，②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα= = = = ；③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，∴α=60°，∴sinα=sin60°= ；综上所述sinα的值为： 或 或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，根据直角三角形的直角边与斜边的关系得出∠POH=30° ；进而求得α的度数，根据平行线的性质及圆周角定理得出∠RKQ的度数，然后利用S阴影=S扇形KRQ+S△PRK求得答案；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，根据相似三角形对应边成比例即可求得BN，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，根据勾股定理求出BQ=AF的值，则可求出x的取值范围；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况：①半圆K与BC相切于点T，②当半圆K与AD相切于T，③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点；分别求解即可求得答案．
24．（2016九下·长兴开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1．
又∵tan∠ACO= ，
∴OC=4．
∴C（0，﹣4）．
∵OC=OB，
∴OB=4
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．
∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4
（2）解：∵抛物线的对称轴为x=﹣ = ，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得： ，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+ MP+ PM=（1+ ）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+ ）=4+4
（3）解：如图1所示；当∠EGN=90°．
设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴ 时，△AOC∽△EGN．
∴ = ，整理得：a2+a﹣8=0．
解得：a= （负值已舍去）．
∴点G的坐标为（ ，0）．
如图2所示：当∠EGN=90°．
设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴ 时，△AOC∽△NGE．
∴ =4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．
解得：a= （负值已舍去）．
∴点G的坐标为（ ，0）．
∵EN在EP的右面，
∴∠NEG＜90°．
如图3所示：当∠ENG′=90°时，
EG′=EG× × =（ ﹣1）× = ．
∴点G′的横坐标= ．
∵ ≈4.03＞4，
∴点G′不在EG上．
故此种情况不成立．
综上所述，点G的坐标为（ ，0）或（ ，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3，-4），然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式，根据直线AD的一次项系数的特点得出∠BAD=45°，进而得出△PMD为等腰直角三角形，所当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2-3a-4），M（-a-1），则PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根据△MPH的周长=（）PM，即可以得出答案；
（3）当∠EGN=90°时，设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2-3a-4），则EG=a-1，NG=-a2+3a+4，故OA∶OC＝EG∶GN ；如果△AOC∽△EGN，然后根据题意列方程求解判断是否适合题意即可 。’
1 / 1浙江省湖州市长兴县2016届九年级下册数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2016九下·长兴开学考）二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，﹣3） B．（﹣3，0）
C．（1，0） D．（0，1）
2．（2017九下·海宁开学考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2016九下·长兴开学考）在比例尺为1：100000的地图上，测得A，B两地之间的距离为2cm，则A，B两地之间的实际距离为（　　）
A．200000cm B．400000cm
C．200000000000cm D．400000000000cm
4．（2016九下·长兴开学考）一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担当组长，则女生当组长的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
6．（2016九下·长兴开学考）将抛物线y=（x﹣1）2+1向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为（　　）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2
C．y=（x﹣2）2+1 D．y=x2+1
7．（2017九下·海宁开学考）如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP AC D．
8．（2016九下·长兴开学考）如图，⊙O经过△ABC的两个顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，点P从点A出发，沿A→D→E→C的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2017九下·海宁开学考）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
10．（2017九下·海宁开学考）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN= ；③BP=4PK；④PM PA=3PD2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．（2016九下·长兴开学考）计算：2cos60°﹣tan45°=　 　．
12．（2017九下·海宁开学考）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为　 　，对称轴是直线　 　．
13．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是　 　．
14．（2016九下·长兴开学考）如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是　 　．
15．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为　 　．
16．（2016九下·长兴开学考）如图，正方形OABC和正方形CDEF在平面直角坐标系中，点O，C，F在y轴上，点O为坐标原点，点M为OC的中点，抛物线y=ax2+b经过M，B，E三点，则 的值为　 　．
三、解答题
17．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，cosB= ，求AC的长．
18．（2016九下·长兴开学考）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 　 　 　 　
（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于 ，求m的值．
19．（2016九下·长兴开学考）综合题
（1）如图①，在△ABC中，点D、F在AB上，点E，G在AC上，且DE∥FG∥BC，若AD=2，AE=1，DF=4，则EG=　 　， =　 　．
（2）如图②，在△ABC中点D、F在AB上，点E，G在AC上，且DE∥FG∥BC，以AD，DF，FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF），以AE，EG，GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG），求证：∠M=∠N．
20．（2016九下·长兴开学考）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=BO=2，∠AOB=120°．
（1）求a，b的值；
（2）连结OM，求∠AOM的大小．
21．（2016九下·长兴开学考）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，AC=6，求⊙O的半径．
22．（2016九下·长兴开学考）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
23．（2016九下·长兴开学考）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．
24．（2016九下·长兴开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x2+2x﹣3=﹣3，
所以二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
故选A．
【分析】计算自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA= = ．
故选B．
【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
3．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：根据题意，2÷=200000厘米．
即实际距离是200000厘米．
故选A
【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，
∴女生当组长的概率是：
故选A．
【分析】由一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担当组长，直接利用概率公式求解即可求得答案．
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，又∠ADC=140°，
∴∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°，
故选：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理得到答案．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（1，0），
由平移不改变二次项系数，
∴得到的抛物线解析式为：y=（x﹣1）2．
故选：B．
【分析】原抛物线顶点坐标为（1，1），平移后抛物线顶点坐标为（1，0），平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
C、∵∠A=∠A，AB2=AP AC，即，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
8．【答案】C
【知识点】分段函数；圆周角定理
【解析】【解答】解：①当点P沿A→D运动时，
y随x增大减小；
②当点P沿D→E运动时，
根据圆周角定理，y的值不变；
③当点P沿E→C运动时，
③当点P沿E→C运动时，
故答案为：C．
【分析】分段函数问题，分三段一一分析 ①当点P沿A→D运动时，y随x增大减小 ，②当点P沿D→E运动时，根据圆周角定理，y的值不变；③当点P沿E→C运动时，③当点P沿E→C运动时。
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：作PI∥CE交DE于I，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
则 ，又点P是CD的中点，
∴ = ，
∵AD=CE，
∴ = ，
∴BP=3PK，
故③错误；
作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP= ，
则AP= ，
根据三角形面积公式，BM= ，
∵点O是线段BK的中点，
∴PB=3PO，
∴OG= BM= ，
MG= MP= ，
tan∠OMN= = ，故②正确；
∵∠ABP=90°，BM⊥AP，
∴PB2=PM PA，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB= PC，
∵PD=PC，
∴PB2=3PD，
∴PM PA=3PD2，故④正确．
故选B．
【分析】根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到 = ，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN= ，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM PA=3PD2，故④正确．
11．【答案】0
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：2cos60°﹣tan45°=2× ﹣1=0．
【分析】将特殊锐角的三角函数值代入求解即可。
12．【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
故答案为：（﹣1，﹣1），x=﹣1．
【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．
13．【答案】DO=CD
【知识点】菱形的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：DO=CD．理由如下：
∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵DO=CD，
∴AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，
∴四边形OACB为菱形．
【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
14．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点E作EH垂直BC于H。
∵∠CBD=90°，∠D=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠ACE=60°，
∵AC=BC= +1，
∴BD= ，AB= （ +1），
∵∠AEC=∠BED，
∴△BDE∽△ACE，
∴ = ，
∴ = ，
∴BE= ，AE= ，
∵∠ACB=90°，
∴△BHE∽△BCA，
∴ = ，
∴ = ，
∴EH=1，
故答案为1．
【分析】过点E作EH垂直BC于H。AC=BC=，∠D=60°，根据特殊锐角的三角函数值可以求出BD，AB的长，进而判断出△BDE∽△ACE，根据相似三角形对应边成比例得出BE，AE的长，再判断出△BHE∽△BCA，根据对应边成比例得出EH的长。
15．【答案】2 ﹣2
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2 ，
∴它的内切圆半径为：R= （2 +2 ﹣4）=2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
16．【答案】1+
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设正方形OABC的边长为m，和正方形CDEF的边长为n．
∵点M为OC的中点，
∴点M为（0， ）、点B为（m，m）和点E为（n，m+n），
∵抛物线y=ax2+b经过M，B，E三点，
∴m=am2+ ，
解得：a= ，
∴抛物线y= x2+ ，
把点E（n，m+n）代入抛物线得
m+n= n2+ ，
解得：n=m+ m或n=m﹣ m（不合题意，舍去），
即CB=m，EF=m+ m，
∴ =1+ ．
【分析】设正方形OABC的边长为m，和正方形CDEF的边长为n．又点M为OC的中点，从而得出M,B,E三点的坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式，再把E点的坐标代入就可以得出用含m的式子表示n,从而表示出CB.EF的长度，进而得到其比值。
17．【答案】解：∵∠C=90°，BC=6，cosB= ，
∴cosB= = = ，
∴AB=8，
∴AC= = =2
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求出AB，再根据勾股定理即可得出AC的长．
18．【答案】（1）4；2，3
（2）解：根据题意得： = ，
解得：m=2，
所以m的值为2
【知识点】随机事件；概率公式
【解析】【解答】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件；
当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件，
故答案为：4；2，3．
【分析】（1）根据随机事件及必然事件的定义即可得出答案；
（2）根据概率公式知：先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，摸出黑球的概率为,又知磁石的概率是 ，从而列出方程，求解即可。
19．【答案】（1）2；2
（2）证明：∵DE∥FG∥BC，∴ ，
∵AM=BF，MD=DF，AN=GC，NE=EG，
∴ ，
∴△ADM∽△AEN，
∴∠M=∠N
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：∵DE∥FG，
∴ ，
∵AD=2，AE=1，DF=4，
∴EG=2，
∴AF=AD+DF=6，AG=AE+EG=3，
∵DE∥FG∥BC，
∴ =2；
故答案为：2，2；
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出：AD∶DF＝AE∶EG ,从而得出EG的长，进而得出AF,AG的长 ，再根据平行线分线段成比例定理得出FB∶GC＝AF∶AG ,从而得出答案；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出：AD∶AE＝DF∶EG＝FB∶GC ,又AM=BF，MD=DF，AN=GC，根据等量代换得出AD∶AE＝MD∶NE＝AM∶AN ，从而判断出△ADM∽△AEN，根据相似三角形对应角相等得出结论。
20．【答案】（1）解：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴AE=1，EO= ，
∴A点坐标为：（﹣1， ），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：
，
解得： ．
∴a= ，b=﹣
（2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为：y= x2﹣ x；过点M作MF⊥OB于点F，∵y= x2﹣ x= （x2﹣2x）= （x﹣1）2﹣ ，∴M点坐标为：（1，﹣ ），
∴tan∠FOM= = ，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出AE,OE的长，进而得出A,B两点的坐标，然后利用待定系数法就可以求出a,b的值；
（2）过点M作MF⊥OB于点F，根据抛物线求出其顶点M的坐标，从而得出OF,MF的长度，根据tan∠FOM的值就可以求出∠FOM的值，进而得出答案。
21．【答案】（1）解：证明：连接OM，
则∠OMB=∠OBM=∠MBE
又∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，
∴AE与⊙O相切
（2）解：由AE与⊙O相切，AE⊥BC∴OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴∵BC=4∴BE=2，AB=6，即 ，
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OM ，根据角平分线的定义及等边对等角得出∠OMB=∠OBM=∠MBE，根据等腰三角形的三线合一得出AE⊥BC，根据三角形的内角和及等量代换得出∠AMO=90°，从而得出结论AE与⊙O相切 ；
（2）根据切线的性质定理及平行线的判定方法得出OM∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所截得的三角形与原三角形相似得△AOM∽△ABE；根据相似三角形对应边成比例得出OM∶BE=AO∶AB ;从而得出关于圆的半径的方程，求解即可。
22．【答案】（1）解：由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600
（2）解：P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元
（3）解：由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，
解得x1=50，x2=70．
∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440盒
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式，得 P=（x﹣40）y,又y=﹣20x+1600 ，故P=（x﹣40）（﹣20x+1600）， 再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，把P=6000代入求出x的两个界点值 ；根据抛物线开口向下得出当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润 ；根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式，利用一次函数的性质与系数之间的关系即可求解。
23．【答案】解：发现：如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，∴S扇形KRQ= = ，在Rt△RKE中，RE=RK sin60°= ，∴S△PRK= RE= ，∴S阴影= + ；拓展：如图5， ∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，∴△AON∽△BMN，∴ ，即 ，∴BN= ，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，∴x的取值范围是0＜x≤2 ﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，则∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，OS= =2，在Rt△OSO′中，SO′=OS tan60°=2 ，KO′=2 ﹣ ，在Rt△KGO′中，∠O′=30°，∴KG= KO′= ﹣ ，∴在Rt△OGK中，sinα= = = ，②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα= = = = ；③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，∴α=60°，∴sinα=sin60°= ；综上所述sinα的值为： 或 或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，根据直角三角形的直角边与斜边的关系得出∠POH=30° ；进而求得α的度数，根据平行线的性质及圆周角定理得出∠RKQ的度数，然后利用S阴影=S扇形KRQ+S△PRK求得答案；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，根据相似三角形对应边成比例即可求得BN，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，根据勾股定理求出BQ=AF的值，则可求出x的取值范围；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况：①半圆K与BC相切于点T，②当半圆K与AD相切于T，③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点；分别求解即可求得答案．
24．【答案】（1）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1．
又∵tan∠ACO= ，
∴OC=4．
∴C（0，﹣4）．
∵OC=OB，
∴OB=4
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．
∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4
（2）解：∵抛物线的对称轴为x=﹣ = ，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得： ，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+ MP+ PM=（1+ ）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+ ）=4+4
（3）解：如图1所示；当∠EGN=90°．
设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴ 时，△AOC∽△EGN．
∴ = ，整理得：a2+a﹣8=0．
解得：a= （负值已舍去）．
∴点G的坐标为（ ，0）．
如图2所示：当∠EGN=90°．
设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴ 时，△AOC∽△NGE．
∴ =4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．
解得：a= （负值已舍去）．
∴点G的坐标为（ ，0）．
∵EN在EP的右面，
∴∠NEG＜90°．
如图3所示：当∠ENG′=90°时，
EG′=EG× × =（ ﹣1）× = ．
∴点G′的横坐标= ．
∵ ≈4.03＞4，
∴点G′不在EG上．
故此种情况不成立．
综上所述，点G的坐标为（ ，0）或（ ，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3，-4），然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式，根据直线AD的一次项系数的特点得出∠BAD=45°，进而得出△PMD为等腰直角三角形，所当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2-3a-4），M（-a-1），则PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根据△MPH的周长=（）PM，即可以得出答案；
（3）当∠EGN=90°时，设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2-3a-4），则EG=a-1，NG=-a2+3a+4，故OA∶OC＝EG∶GN ；如果△AOC∽△EGN，然后根据题意列方程求解判断是否适合题意即可 。’
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