广东省普通高中2017-2018学年数学1月学业水平考试试卷
一、单选题
1．（2018·广东模拟）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2018·广东模拟）对任意的正实数 ，下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·广东模拟）已知函数 ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2018·广东模拟）设 是虚数单位， 是实数，若复数 的虚部是2，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2018·广东模拟）设实数 为常数，则函数 存在零点的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·广东模拟）已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2018·广东模拟）某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）
A．6和9 B．9和6 C．7和8 D．8和7
8．（2018·广东模拟）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·广东模拟）若实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018·广东模拟）如图， 是平行四边形 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2018·广东模拟）设 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2018·广东模拟）函数 ，则 的最大值和最小正周期分别为（ ）
A．2和 B．4和 C． 2和 D． 4和
13．（2018·广东模拟）设点 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2018·广东模拟）设函数 是定义在 上的减函数，且 为奇函数，若 ， ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2018·广东模拟）已知数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2018·广东模拟）双曲线 的离心率为 .
17．（2018·广东模拟）若 ，且 ，则 .
18．（2018·广东模拟）笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .
19．（2018·广东模拟）圆心为两直线 和 的交点，且与直线 相切的圆的标准方程是 .
三、解答题
20．（2018·广东模拟）若等差数列 满足 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
21．（2018·广东模拟）如图所示，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 垂直平分 ，且 分别交 于点 .
（1）证明： ；
（2）证明： .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意可知
故答案为:B
【分析】直接由集合的交集运算求交集.
2．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵
∴选项B错误.
故答案为：B.
【分析】由对数的运算性质判断即可.
3．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】∵函数
∵
∴
故答案为:C
【分析】由分段函数解析式,先求f(0),再求a的值.
4．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】复数
∵复数 的虚部为2
∴
∴
故答案为:D
【分析】由复数的乘除运算求出复数,再由虚部求x的值.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】∵若函数 存在零点
∴
∴
∴函数 存在零点的充分必要条件是
故答案为:C
【分析】二次函数有零点就是判别式不小于0.
6．【答案】B
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】对于 ，若 ∥ ，则 ，因为 ，故 错误；对于 ，因为 ，所以 ，则 ，故 正确；对于 ， ， ，故 错误；对于 ， ，故 错误
故答案为:B
【分析】由向量的坐标运算,对各选项判断.
7．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】∵某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人
∴男女生的比例为 ，
∵用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动
∴男生的人数为 ，女生的人数为
故答案为:A
【分析】分层抽样的特点就是对应成比例.
8．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由图像可知该空间几何体为长方体，长和宽为2，高为1
体积
故答案为：C
【分析】由三视图还原出几何体，是长方体，再求体积.
9．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据已知作出可行域如图所示：
，即 ，斜率为 ，在 处截取 得最小值为
故答案为：D
【分析】先作出平面区域，平移目标直线得到最优解，求最值.
10．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算
【解析】【解答】对于 ， ，故 错误；对于 ， ，故 错误；对于 ， ，故 错误。
故答案为：D
【分析】由平行四边形的性质，结合向量的几何意义判断.
11．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 的内角 的对边分别为 ，且
∴根据余弦定理得
∵
∴
故答案为:A
【分析】在三角形中,已知三边长,由余弦定理求角.
12．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】∵函数
∴函数的最大值为2，最小正周期为
故答案为:A
【分析】先由二倍角正弦公式将函数式化为一个角的正弦,再由正弦函数的性质求最大值和周期.
13．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】∵
∵
∴
∵ ，
∴
∴
故答案为:B
【分析】由椭圆的定义结合方程求出a,b,c.
14．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】对于 ，因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，故 正确；对于 ，因为函数 是定义域 上的减函数，过原点，且 ，所以 ，故 正确；对于 ，设 ，则当 ， 有最小值为2，所以 ，因为函数 是定义域 上的减函数，所以 ，故 正确；对于 ，因为 ，所以 ，因为函数 是定义域 上的减函数，所以 ，故 错误
故答案为:D
【分析】由函数的奇偶性和单调性对各选项判断.
15．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵当 时， ，当 时
∴
∴首项 ，公比
故答案为:C
【分析】由数列的前n项和公式,求出通项公式,再对数列求和.
16．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵由题可知
∴
∴离心率
故答案为:
【分析】由双曲线的标准方程,得到a,b,c,再求离心率.
17．【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵
∴
∵
∴
∴
故答案为:
【分析】由诱导公式求出cosθ,再由同角关系求正弦和正切.
18．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】第一次为黑色的概率为 ，第二次为黑色的概率为
两次都是黑色的概率为
故答案为
【分析】由相互独立事件的概率公式求解.
19．【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标；圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【解答】联立方程组 解之得
∵圆与直线 相切
∴圆的半径
故答案为:
【分析】求出两交点即圆心的坐标,再由圆心到切线的距离得到半径,得到圆的方程.
20．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 .
数列 的通项公式为
（2）解：由（1）知，
又 适合上式
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(1)由条件得到首项和公差的方程组求出首项和公差得到通项公式;
(2)由数列{an}的通项公式求出数列{bn}的通项公式,再由等差数列的前n项和公式求和.
21．【答案】（1）证明： 垂直平分
为 的中点
又 为 的中点
为 的中位线
又
（2）证明：连接
， 为 的中点
垂直平分
又 ，
又
又 ，
又
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)证明EF与平面中直线BP平行得到直线与平面平行；
(2)先证明直线D⊥平面PAC，得到直线与直线垂直.
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一、单选题
1．（2018·广东模拟）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意可知
故答案为:B
【分析】直接由集合的交集运算求交集.
2．（2018·广东模拟）对任意的正实数 ，下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵
∴选项B错误.
故答案为：B.
【分析】由对数的运算性质判断即可.
3．（2018·广东模拟）已知函数 ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】∵函数
∵
∴
故答案为:C
【分析】由分段函数解析式,先求f(0),再求a的值.
4．（2018·广东模拟）设 是虚数单位， 是实数，若复数 的虚部是2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】复数
∵复数 的虚部为2
∴
∴
故答案为:D
【分析】由复数的乘除运算求出复数,再由虚部求x的值.
5．（2018·广东模拟）设实数 为常数，则函数 存在零点的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】∵若函数 存在零点
∴
∴
∴函数 存在零点的充分必要条件是
故答案为:C
【分析】二次函数有零点就是判别式不小于0.
6．（2018·广东模拟）已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】对于 ，若 ∥ ，则 ，因为 ，故 错误；对于 ，因为 ，所以 ，则 ，故 正确；对于 ， ， ，故 错误；对于 ， ，故 错误
故答案为:B
【分析】由向量的坐标运算,对各选项判断.
7．（2018·广东模拟）某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）
A．6和9 B．9和6 C．7和8 D．8和7
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】∵某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人
∴男女生的比例为 ，
∵用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动
∴男生的人数为 ，女生的人数为
故答案为:A
【分析】分层抽样的特点就是对应成比例.
8．（2018·广东模拟）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由图像可知该空间几何体为长方体，长和宽为2，高为1
体积
故答案为：C
【分析】由三视图还原出几何体，是长方体，再求体积.
9．（2018·广东模拟）若实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据已知作出可行域如图所示：
，即 ，斜率为 ，在 处截取 得最小值为
故答案为：D
【分析】先作出平面区域，平移目标直线得到最优解，求最值.
10．（2018·广东模拟）如图， 是平行四边形 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算
【解析】【解答】对于 ， ，故 错误；对于 ， ，故 错误；对于 ， ，故 错误。
故答案为：D
【分析】由平行四边形的性质，结合向量的几何意义判断.
11．（2018·广东模拟）设 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 的内角 的对边分别为 ，且
∴根据余弦定理得
∵
∴
故答案为:A
【分析】在三角形中,已知三边长,由余弦定理求角.
12．（2018·广东模拟）函数 ，则 的最大值和最小正周期分别为（ ）
A．2和 B．4和 C． 2和 D． 4和
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】∵函数
∴函数的最大值为2，最小正周期为
故答案为:A
【分析】先由二倍角正弦公式将函数式化为一个角的正弦,再由正弦函数的性质求最大值和周期.
13．（2018·广东模拟）设点 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】∵
∵
∴
∵ ，
∴
∴
故答案为:B
【分析】由椭圆的定义结合方程求出a,b,c.
14．（2018·广东模拟）设函数 是定义在 上的减函数，且 为奇函数，若 ， ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】对于 ，因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，故 正确；对于 ，因为函数 是定义域 上的减函数，过原点，且 ，所以 ，故 正确；对于 ，设 ，则当 ， 有最小值为2，所以 ，因为函数 是定义域 上的减函数，所以 ，故 正确；对于 ，因为 ，所以 ，因为函数 是定义域 上的减函数，所以 ，故 错误
故答案为:D
【分析】由函数的奇偶性和单调性对各选项判断.
15．（2018·广东模拟）已知数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵当 时， ，当 时
∴
∴首项 ，公比
故答案为:C
【分析】由数列的前n项和公式,求出通项公式,再对数列求和.
二、填空题
16．（2018·广东模拟）双曲线 的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵由题可知
∴
∴离心率
故答案为:
【分析】由双曲线的标准方程,得到a,b,c,再求离心率.
17．（2018·广东模拟）若 ，且 ，则 .
【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵
∴
∵
∴
∴
故答案为:
【分析】由诱导公式求出cosθ,再由同角关系求正弦和正切.
18．（2018·广东模拟）笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】第一次为黑色的概率为 ，第二次为黑色的概率为
两次都是黑色的概率为
故答案为
【分析】由相互独立事件的概率公式求解.
19．（2018·广东模拟）圆心为两直线 和 的交点，且与直线 相切的圆的标准方程是 .
【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标；圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【解答】联立方程组 解之得
∵圆与直线 相切
∴圆的半径
故答案为:
【分析】求出两交点即圆心的坐标,再由圆心到切线的距离得到半径,得到圆的方程.
三、解答题
20．（2018·广东模拟）若等差数列 满足 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 .
数列 的通项公式为
（2）解：由（1）知，
又 适合上式
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(1)由条件得到首项和公差的方程组求出首项和公差得到通项公式;
(2)由数列{an}的通项公式求出数列{bn}的通项公式,再由等差数列的前n项和公式求和.
21．（2018·广东模拟）如图所示，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 垂直平分 ，且 分别交 于点 .
（1）证明： ；
（2）证明： .
【答案】（1）证明： 垂直平分
为 的中点
又 为 的中点
为 的中位线
又
（2）证明：连接
， 为 的中点
垂直平分
又 ，
又
又 ，
又
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)证明EF与平面中直线BP平行得到直线与平面平行；
(2)先证明直线D⊥平面PAC，得到直线与直线垂直.
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