湖北省恩施州2017-2018学年高三理数第一次教学质量监测考试

湖北省恩施州2017-2018学年高三理数第一次教学质量监测考试
一、单选题
1．（2018·恩施模拟）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2018·恩施模拟）已知 为虚数单位，复数 满足 ，且 ，则 （　　）
A．2或 B． C．2 D．
3．（2018·河南模拟）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： ）的数据，绘制了下面的折线图。
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（　　）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
D．最低气温低于 的月份有4个
4．（2018·恩施模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
5．（2018·恩施模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何 ”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少 ”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． 平方尺 B． 平方尺
C． 平方尺 D． 平方尺
6．（2018·恩施模拟）定义 表示不超过 的最大整数， ，例如 ，执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （　　）
A． B． C． D．
7．（2018·恩施模拟）已知函数 的最小正周期为 ，且其图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2018·恩施模拟）设 满足约束条件 则 的最大值为（　　）
A． B．3 C．9 D．12
9．（2018·河南模拟）函数 的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2018·恩施模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2018·恩施模拟）设椭圆 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．（2018·恩施模拟）已知 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018·河南模拟）在 中， ， ，则 　 　．
14．（2018·恩施模拟） 的展开式中常数项为　 　．
15．（2018·恩施模拟）在正项等比数列 中， 是 的两个根，则 　 　．
16．（2018·河南模拟）设 ， 分别是双曲线 （ ， ）的左、右焦点，过 的直线 与双曲线分别交于 ， ，且 在第一象限，若 为等边三角形，则双曲线的实轴长为　 　．
三、解答题
17．（2018·恩施模拟）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
18．（2018·河南模拟）某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.
（1）求甲获得奖品的概率；
（2）设 为甲参加游戏的轮数，求 的分布列与数学期望.
19．（2018·恩施模拟）如图，在三棱台 中， ， 分别是 ， 的中点， 平面 ， 是等边三角形， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
20．（2018·恩施模拟）设直线 的方程为 ，该直线交抛物线 于 两个不同的点.
（1）若点 为线段 的中点，求直线 的方程；
（2）证明：以线段 为直径的圆 恒过点 .
21．（2018·恩施模拟）函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ，且 ，证明： .
22．（2018·恩施模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数），设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 .
（1）写出 的普遍方程及参数方程；
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 的极坐标方程为 ， 为曲线 上的动点，求点 到 的距离的最小值.
23．（2018·恩施模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）若 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】 ，由题设有 ，所以 ，解得 ，故答案为：B.
【分析】首先根据一元二次不等式的解法求出集合M，再利用子集的性质得到关于m的不等式组解出m的取值范围即可。
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】 ，所以 ，解得 或 ，故答案为：A.
【分析】根据题意整理化简原有的代数式，结合复数模的定义得到关于a的方程解出即可。
3．【答案】D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20℃ ，而5月份的最高气温为不超过20℃ ，故B正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于 ℃ 的月份是1，2，4三月份，故D错，故答案为：D.
【分析】根据题目中所给的条件的特点，由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，即可得最低气温低于0℃的月份有多少个．
4．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 （舎），所以 ，故答案为：C.
【分析】根据题意利用等差数列通项公式整理化简即可求出公差的值，进而求出数列的通项公式即可。
5．【答案】C
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为 尺，表面积为 平方尺.故答案为：C
【分析】根据题意可得四棱锥的外接球就是长方体的外接球，求出长方体的体对角线即为球的半径的值，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。
6．【答案】D
【知识点】设计程序框图解决实际问题
【解析】【解答】第一次执行循环体后， ， ，经过判断后， ，第二次执行循环体后， ， ，经过判断后， ，第三次执行循环体后， ， ，此时判断后不执行循环， ，故答案为：D.
【分析】根据题意由程序框图的内容逐一代入数值验证即可得出结论。
7．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为最小正周期为 ，所以 ，向右平移 后所得图像的解析式为
，由题设应有 ，所以 也即是 ，又 ，所以 ，故答案为：A.
【分析】根据题意首先求出函数的周期值从而求出 ω的值，再结合函数图象平移的性质即可求出 φ 的代数式，对k赋值即可得出 φ 的具体数值。
8．【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】可行域如图所示，当动直线 过 时， 有最大值，又 ，所以 的最大值为 ,
故答案为：C.
【分析】根据题意作出不等式的平面区域，联立直线的方程求出交点的坐标把目标函数平移到该点即可得出最大值即可。
9．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】∵ ，∴ 为偶函数，图象关于 轴对称，当 时，
，当 时， .根据对称性可判断图形的形状，
故答案为:B
【分析】根据题目中所给的条件的特点，先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出大致图象．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
10．【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图
【解析】【解答】几何体如图所示，它是边长为1的正方体割去一个角（沿面对角线割开），再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为1的等腰直角三角形，高也为1，该几何体的体积为 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意由三视图可得出该图像是边长为1的正方体割去一个角（沿面对角线割开），再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为1的等腰直角三角形，代入数值到体积公式求出结果即可。
11．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为点 为椭圆内一点，所以 ，设左焦点 ，则 ，又 ，所以
，也就是 即 ，从而 ，故答案为：B.
【分析】根据题意利用椭圆的定义再结合绝对值不等式的性质即可得出PA|+|PF|的取值范围，解出a的取值范围进而得到离心率的取值范围。
12．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】考虑函数 及函数 ，对于 图像上的任意一点 ，有 ，也就是 ，所以 在 的图像上；反之，对于 图像上的任意一点 ，有 ，也就是 ，所以 在的图像上，故函数 及函数 的图像关于直线 对称，所以 恒成立等价于 在 上恒成立，也就是 在 上恒成立，令 ，则 ，当 时， ， 在 为增函数，当 时， ， 在 为减函数，所以 ，所以 即 ，当且仅当 等号成立，
故答案为：A.
【分析】根据题意构造出函数并对其求导，结合导函数的正负情况即可得到原函数的单调性以及极值的情况，由极值点和最小值即可得到关于m、 λ的代数式，结合函数单调性的定义即可得出结论。
13．【答案】-4
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，故填 ．
【分析】本题考查平面向量数量积的运算，是基础题．解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量线性运算的合理运用．
14．【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】考虑 的展开式中的 的系数，其展开式的通项为 ，令 即 ，从而 的系数为 ，所以 的常数项为 ，填 ．
【分析】根据题意首先求出展开式的通项公式，整理化简令x的次数等于零即可求出r的值，从而得到常数项的值。
15．【答案】
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】因为 为等比数列，所以 ，又 ，所以 ，填 ．
【分析】首先利用等比数列的项的性质求出关于a2、a6的关系式，整理化简已知的代数式代入数值求出结果即可。
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 在第二象限，设 ，则 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 且 ，故 ，整理得到 且 ．又 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以实轴长为 ，填 ．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据双曲线的定义,以及等边三角形得∠F1AF2=120°，再利用余弦定理算出a,b,c之间的关系，结合双曲线的第二定义，可得m的值，最后利用点A在双曲线上，将点的坐标代入双曲线的方程，即可得实轴长．
17．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，而 ，故 ，所以
（2）解：由 ，得 ，化简得 ，解得 ，或 （舍去），所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)首先根据题意结合三角形的内角和再利用正弦定理整理化简代数式，即可得到cosB的值从而求出B的值。(2)根据题意由余弦定理代入数值求出关于a的方程，解出其值并把数值代入到三角形的面积公式求出结果即可。
18．【答案】（1）解：设甲获得奖品为事件 ，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，
则
（2）解：随机变量 的取值可以为1,2,3,4.
,
,
,
.
的分布列为
1 2 3 4
所以数学期望
【知识点】等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】第一问能获的甲是通过四轮卡片的结果，轮与轮之间是相互独立的，每一轮甲留下的概率是古典概率问题，必须弄清楚基本事件，才能求解。第二问其实是第一问题的具体化，因为按规则，只能进行四轮游戏，所以随机变量的可能取值为1，2，3，4，而对应的概率就是第一问中甲在每轮中留下的概率，最后列出对应表，再计算期望。
19．【答案】（1）证明：因为 ， 为棱 的中点，所以 ，所以四边形 为平行四边形，从而 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 是 的中位线，所以 ，同理可证， 平面 .因为 ，所以平面 平面 . 又 平面 ，所以 平面
（2）解：以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，则 .
设平面 的一个法向量 ，则 即
取 ，得 .
同理，设平面 的一个法向量 ，又 ，
由 ，得 取 ，得 .所以 ，即二面角 的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 根据题意由中点以及平行四边形的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证结论。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面AB1B和平面BB1C的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值，再利用同角三角函数的基本关系式即可求出面角 A B B1 C 的正弦值即可。
20．【答案】（1）解：联立方程组 ，消去 得 .设 ，则 .因为 为线段 的中点，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为
（2）证明：因为设 ，则 ， ，所以 ，即 ，
所以 ，因此 ，即以线段 为直径的圆恒过点
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由点斜式求出直线的方程再联立直线与抛物线的方程消元即可得到关于y的一元二次方程，借助韦达定理求出y1+y2、y1y2的关于m的代数式，由中点的坐标代入数值求出m的结果，从而求出直线的方程即可。(2)根据题意求出x1+x2、x1x2的代数式，并把结果代入到向量数量积的公式再由二次函数的性质整理化简即可得出上式为零，进而得证出线线垂直从而得证出结论。
21．【答案】（1）解：函数 的定义域为 ，令 ，开口向上， 为对称轴的抛物线，
当 时，
① ，即 时， ，即 在 上恒成立，
②当 时，由 ，得 ，
因为 ，所以 ，当 时， ，即 ，
当 或 时， ，即 ，
综上，当 时， 在 上递减，
在 和 上递增，当 时，在 上递增.
（2）解：若函数 有两个极值点 且 ，则必有 ，且 ，且 在 上递减，在 和 上递增，
则 ，因为 是方程 的两根，所以 ，即 ，
要证 又 ，
即证 对 恒成立，设 则 当 时， ，故 ，所以 在 上递增，故 ，所以 ，所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的定义域，并对其求导再结合题意构造函数g(x) ，再结合m的取值范围利用二次函数的性质即可得出导函数的正负，从而得出原函数的单调性以及单调区间。(2)利用极值点的定义结合导函数的性质即可得出f ( x )的单调性，再根据题意构造函数并通过x的取值范围得出导函数的正负从而求出原函数的单调性，再结合单调性的定义即可得证结果。
22．【答案】（1）解：将参数方程转化为一般方程 ，① ，②①×②消 可得： ．
即 的轨迹方程为 ． 的普通方程为 ．
的参数方程为 （ 为参数 ）
（2）解：由曲线 ： 得： ，即曲线 的直角坐标方程为：
由（Ⅰ）知曲线 与直线 无公共点，曲线 上的点 到直线 的距离为
，所以当 时， 的最小值为
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)根据题意把直线的参数方程化为一般方程，再根据题意整理化简即可求出点P的轨迹方程，由题意把C1的普通方程转化为参数方程即可。(2)由题意利用极坐标和直角坐标的互化关系，整理化简即可求出曲线 C2 的直角坐标方程，再由(1)的结论结合点到直线的距离公式代入数值求出代数式，再结合正弦型函数的最值即可求出最小值。
23．【答案】解：（Ⅰ） 即 ，平方整理得： ，所以-3，-1是方程 的两根，由根与系数的关系得到 ，解得 .（Ⅱ）因为 所以要不等式 恒成立只需 当 时， 解得 当 时， 此时满足条件的 不存在综上可得实数 的范围是
【知识点】绝对值不等式；绝对值三角不等式
【解析】【分析】(1)根据题意利用绝对值不等式的性质去绝对值整理化简即可得出关于x的不等式，再由根的情况限制出a的取值范围解出a的值即可。(2)根据题意利用绝对值的性质去绝对值，结合题意解出不等式得到关于a的不等式，解出a的取值范围即可。
1 / 1湖北省恩施州2017-2018学年高三理数第一次教学质量监测考试
一、单选题
1．（2018·恩施模拟）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】 ，由题设有 ，所以 ，解得 ，故答案为：B.
【分析】首先根据一元二次不等式的解法求出集合M，再利用子集的性质得到关于m的不等式组解出m的取值范围即可。
2．（2018·恩施模拟）已知 为虚数单位，复数 满足 ，且 ，则 （　　）
A．2或 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】 ，所以 ，解得 或 ，故答案为：A.
【分析】根据题意整理化简原有的代数式，结合复数模的定义得到关于a的方程解出即可。
3．（2018·河南模拟）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： ）的数据，绘制了下面的折线图。
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（　　）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
D．最低气温低于 的月份有4个
【答案】D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20℃ ，而5月份的最高气温为不超过20℃ ，故B正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于 ℃ 的月份是1，2，4三月份，故D错，故答案为：D.
【分析】根据题目中所给的条件的特点，由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，即可得最低气温低于0℃的月份有多少个．
4．（2018·恩施模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 （舎），所以 ，故答案为：C.
【分析】根据题意利用等差数列通项公式整理化简即可求出公差的值，进而求出数列的通项公式即可。
5．（2018·恩施模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何 ”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少 ”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． 平方尺 B． 平方尺
C． 平方尺 D． 平方尺
【答案】C
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为 尺，表面积为 平方尺.故答案为：C
【分析】根据题意可得四棱锥的外接球就是长方体的外接球，求出长方体的体对角线即为球的半径的值，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。
6．（2018·恩施模拟）定义 表示不超过 的最大整数， ，例如 ，执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】设计程序框图解决实际问题
【解析】【解答】第一次执行循环体后， ， ，经过判断后， ，第二次执行循环体后， ， ，经过判断后， ，第三次执行循环体后， ， ，此时判断后不执行循环， ，故答案为：D.
【分析】根据题意由程序框图的内容逐一代入数值验证即可得出结论。
7．（2018·恩施模拟）已知函数 的最小正周期为 ，且其图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为最小正周期为 ，所以 ，向右平移 后所得图像的解析式为
，由题设应有 ，所以 也即是 ，又 ，所以 ，故答案为：A.
【分析】根据题意首先求出函数的周期值从而求出 ω的值，再结合函数图象平移的性质即可求出 φ 的代数式，对k赋值即可得出 φ 的具体数值。
8．（2018·恩施模拟）设 满足约束条件 则 的最大值为（　　）
A． B．3 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】可行域如图所示，当动直线 过 时， 有最大值，又 ，所以 的最大值为 ,
故答案为：C.
【分析】根据题意作出不等式的平面区域，联立直线的方程求出交点的坐标把目标函数平移到该点即可得出最大值即可。
9．（2018·河南模拟）函数 的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】∵ ，∴ 为偶函数，图象关于 轴对称，当 时，
，当 时， .根据对称性可判断图形的形状，
故答案为:B
【分析】根据题目中所给的条件的特点，先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出大致图象．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
10．（2018·恩施模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图
【解析】【解答】几何体如图所示，它是边长为1的正方体割去一个角（沿面对角线割开），再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为1的等腰直角三角形，高也为1，该几何体的体积为 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意由三视图可得出该图像是边长为1的正方体割去一个角（沿面对角线割开），再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为1的等腰直角三角形，代入数值到体积公式求出结果即可。
11．（2018·恩施模拟）设椭圆 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为点 为椭圆内一点，所以 ，设左焦点 ，则 ，又 ，所以
，也就是 即 ，从而 ，故答案为：B.
【分析】根据题意利用椭圆的定义再结合绝对值不等式的性质即可得出PA|+|PF|的取值范围，解出a的取值范围进而得到离心率的取值范围。
12．（2018·恩施模拟）已知 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】考虑函数 及函数 ，对于 图像上的任意一点 ，有 ，也就是 ，所以 在 的图像上；反之，对于 图像上的任意一点 ，有 ，也就是 ，所以 在的图像上，故函数 及函数 的图像关于直线 对称，所以 恒成立等价于 在 上恒成立，也就是 在 上恒成立，令 ，则 ，当 时， ， 在 为增函数，当 时， ， 在 为减函数，所以 ，所以 即 ，当且仅当 等号成立，
故答案为：A.
【分析】根据题意构造出函数并对其求导，结合导函数的正负情况即可得到原函数的单调性以及极值的情况，由极值点和最小值即可得到关于m、 λ的代数式，结合函数单调性的定义即可得出结论。
二、填空题
13．（2018·河南模拟）在 中， ， ，则 　 　．
【答案】-4
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，故填 ．
【分析】本题考查平面向量数量积的运算，是基础题．解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量线性运算的合理运用．
14．（2018·恩施模拟） 的展开式中常数项为　 　．
【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】考虑 的展开式中的 的系数，其展开式的通项为 ，令 即 ，从而 的系数为 ，所以 的常数项为 ，填 ．
【分析】根据题意首先求出展开式的通项公式，整理化简令x的次数等于零即可求出r的值，从而得到常数项的值。
15．（2018·恩施模拟）在正项等比数列 中， 是 的两个根，则 　 　．
【答案】
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】因为 为等比数列，所以 ，又 ，所以 ，填 ．
【分析】首先利用等比数列的项的性质求出关于a2、a6的关系式，整理化简已知的代数式代入数值求出结果即可。
16．（2018·河南模拟）设 ， 分别是双曲线 （ ， ）的左、右焦点，过 的直线 与双曲线分别交于 ， ，且 在第一象限，若 为等边三角形，则双曲线的实轴长为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 在第二象限，设 ，则 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 且 ，故 ，整理得到 且 ．又 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以实轴长为 ，填 ．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据双曲线的定义,以及等边三角形得∠F1AF2=120°，再利用余弦定理算出a,b,c之间的关系，结合双曲线的第二定义，可得m的值，最后利用点A在双曲线上，将点的坐标代入双曲线的方程，即可得实轴长．
三、解答题
17．（2018·恩施模拟）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，而 ，故 ，所以
（2）解：由 ，得 ，化简得 ，解得 ，或 （舍去），所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)首先根据题意结合三角形的内角和再利用正弦定理整理化简代数式，即可得到cosB的值从而求出B的值。(2)根据题意由余弦定理代入数值求出关于a的方程，解出其值并把数值代入到三角形的面积公式求出结果即可。
18．（2018·河南模拟）某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.
（1）求甲获得奖品的概率；
（2）设 为甲参加游戏的轮数，求 的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：设甲获得奖品为事件 ，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，
则
（2）解：随机变量 的取值可以为1,2,3,4.
,
,
,
.
的分布列为
1 2 3 4
所以数学期望
【知识点】等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】第一问能获的甲是通过四轮卡片的结果，轮与轮之间是相互独立的，每一轮甲留下的概率是古典概率问题，必须弄清楚基本事件，才能求解。第二问其实是第一问题的具体化，因为按规则，只能进行四轮游戏，所以随机变量的可能取值为1，2，3，4，而对应的概率就是第一问中甲在每轮中留下的概率，最后列出对应表，再计算期望。
19．（2018·恩施模拟）如图，在三棱台 中， ， 分别是 ， 的中点， 平面 ， 是等边三角形， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明：因为 ， 为棱 的中点，所以 ，所以四边形 为平行四边形，从而 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 是 的中位线，所以 ，同理可证， 平面 .因为 ，所以平面 平面 . 又 平面 ，所以 平面
（2）解：以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，则 .
设平面 的一个法向量 ，则 即
取 ，得 .
同理，设平面 的一个法向量 ，又 ，
由 ，得 取 ，得 .所以 ，即二面角 的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 根据题意由中点以及平行四边形的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证结论。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面AB1B和平面BB1C的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值，再利用同角三角函数的基本关系式即可求出面角 A B B1 C 的正弦值即可。
20．（2018·恩施模拟）设直线 的方程为 ，该直线交抛物线 于 两个不同的点.
（1）若点 为线段 的中点，求直线 的方程；
（2）证明：以线段 为直径的圆 恒过点 .
【答案】（1）解：联立方程组 ，消去 得 .设 ，则 .因为 为线段 的中点，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为
（2）证明：因为设 ，则 ， ，所以 ，即 ，
所以 ，因此 ，即以线段 为直径的圆恒过点
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由点斜式求出直线的方程再联立直线与抛物线的方程消元即可得到关于y的一元二次方程，借助韦达定理求出y1+y2、y1y2的关于m的代数式，由中点的坐标代入数值求出m的结果，从而求出直线的方程即可。(2)根据题意求出x1+x2、x1x2的代数式，并把结果代入到向量数量积的公式再由二次函数的性质整理化简即可得出上式为零，进而得证出线线垂直从而得证出结论。
21．（2018·恩施模拟）函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ，且 ，证明： .
【答案】（1）解：函数 的定义域为 ，令 ，开口向上， 为对称轴的抛物线，
当 时，
① ，即 时， ，即 在 上恒成立，
②当 时，由 ，得 ，
因为 ，所以 ，当 时， ，即 ，
当 或 时， ，即 ，
综上，当 时， 在 上递减，
在 和 上递增，当 时，在 上递增.
（2）解：若函数 有两个极值点 且 ，则必有 ，且 ，且 在 上递减，在 和 上递增，
则 ，因为 是方程 的两根，所以 ，即 ，
要证 又 ，
即证 对 恒成立，设 则 当 时， ，故 ，所以 在 上递增，故 ，所以 ，所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的定义域，并对其求导再结合题意构造函数g(x) ，再结合m的取值范围利用二次函数的性质即可得出导函数的正负，从而得出原函数的单调性以及单调区间。(2)利用极值点的定义结合导函数的性质即可得出f ( x )的单调性，再根据题意构造函数并通过x的取值范围得出导函数的正负从而求出原函数的单调性，再结合单调性的定义即可得证结果。
22．（2018·恩施模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数），设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 .
（1）写出 的普遍方程及参数方程；
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 的极坐标方程为 ， 为曲线 上的动点，求点 到 的距离的最小值.
【答案】（1）解：将参数方程转化为一般方程 ，① ，②①×②消 可得： ．
即 的轨迹方程为 ． 的普通方程为 ．
的参数方程为 （ 为参数 ）
（2）解：由曲线 ： 得： ，即曲线 的直角坐标方程为：
由（Ⅰ）知曲线 与直线 无公共点，曲线 上的点 到直线 的距离为
，所以当 时， 的最小值为
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)根据题意把直线的参数方程化为一般方程，再根据题意整理化简即可求出点P的轨迹方程，由题意把C1的普通方程转化为参数方程即可。(2)由题意利用极坐标和直角坐标的互化关系，整理化简即可求出曲线 C2 的直角坐标方程，再由(1)的结论结合点到直线的距离公式代入数值求出代数式，再结合正弦型函数的最值即可求出最小值。
23．（2018·恩施模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）若 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ） 即 ，平方整理得： ，所以-3，-1是方程 的两根，由根与系数的关系得到 ，解得 .（Ⅱ）因为 所以要不等式 恒成立只需 当 时， 解得 当 时， 此时满足条件的 不存在综上可得实数 的范围是
【知识点】绝对值不等式；绝对值三角不等式
【解析】【分析】(1)根据题意利用绝对值不等式的性质去绝对值整理化简即可得出关于x的不等式，再由根的情况限制出a的取值范围解出a的值即可。(2)根据题意利用绝对值的性质去绝对值，结合题意解出不等式得到关于a的不等式，解出a的取值范围即可。
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