概率

概率
一、知识要点
1．确定事件发生的可能性
在某一条件下，事件发生的可能性是有大小的.不可能事件是永远不会发生的事件，其发生的可能性为0；必然事件是在一定的条件下必然发生的事件，其发生的可能性是100%.
2．不确定事件发生可能性
不确定事件发生的可能性是不确定的，一个不确定事件发生的可能性可以用0到1之间的数表示.对于一个不确定事件，我们可以通过大量的试验来探究其发生可能性.根据不确定事件发生可能性，不确定事件又可分为很可能发生事件（发生的可能性很大）；可能发生事件（有一定的发生可能性）；不太可能发生事件（发生的可能性较小）.很可能发生事件只是发生的可能性非常大，但其发生的可能性不是1；不太可能发生事件虽然发生的可能性相当小，但其发生的可能性不是0.
3．频率与可能性
试验是估计可能性的一种方法.通过试验的方法用频率估计可能性应注意以下几点：
（1）通过试验的方法用频率估计可能性，试验要在相同的条件下进行，否则结果可能会受到影响.
（2）通过试验，用频率估计可能性，需要经过多次的试验，当频率逐渐稳定时，用稳定时的频率值估计可能性.
4．游戏的公平与不公平
一个公平的游戏应该是游戏的双方获胜的可能性相同，不公平的游戏是指游戏双方获胜的可能性不同.较简单的游戏可以从通过分析的方法判断其是否公平；对于比较复杂且比较难判断公平性的游戏，我们可以通过做试验的方法来确定其公平性.
5．两种模型的概率
（1）等可能性事件的概率：
在一次试验中，如果不确定现象的可能结果只有有限个，且每一个结果都是等可能的，求这种类型事件的概率称为等可能事件的概率.如摸球、掷硬币、掷骰子等都属于等可能性.
在等可能事件中， 如果所有等可能的结果为n，而其中所包含的事件A可能出现的结果数是m，那么事件A的概率P（A）=.
（2）区域事件发生的概率：在与图形有关的概率问题中，概率的大小往往与面积有关，这种类型的概率称为区域型概率.在区域事件中，某一事件发生的概率等于这一事件所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积.
如P（小猫停留在黑砖上）=.
6．利用概率解决实际问题
用概率来解释生活中的实际问题的关键是能够准确计算出事件发生的概率，再结合事件发生的等可能性加以判断说明.
二、易混易错
1.混淆确定事件、不确定事件、必然事件和不可能事件之间的区别与联系.如，下列事件是必然事件的是（　　）
A.明天要下雨
B.打开电视机，正在直播足球比赛
C.抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1
D.买一张3D彩票，一定会中一等奖
不少同学会错误地选择A，或B，或D.
而事实上，在特定的条件下，有些事件我们事先能够肯定它一定会发生，就是必然事件.因为明天到底是否下雨，今天我们还不能够知道，因此，问题中的“明天要下雨” 是一个随机事件；打开电视机所看到的节目与所在的时间、所收看的频道有关系，因此，问题中的“打开电视机，正在直播足球比赛”，也是一个随机事件；一枚正方体骰子有6个面，上面的点数分别为1、2、3、4、5、6，无论怎样进行抛掷，都是这6个数中的一个，因而“抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1”是一个必然事件；同样买一张3D彩票，能否中一等奖也是不确定的.因此，本题正确应该选C.
2.混淆单一事件发生的可能结果和所有可能发生的结果之间的关系.如，一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，试求贝贝两次都能摸到白球的概率.
不少同学会错误认为：因为一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，所以小亮从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球的概率均为.
而事实上，题目是要求贝贝两次都能摸到白球的概率，而不是每一次贝贝两次都能摸到白球的概率.由于布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，所以贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，这样两次摸出球的结果是：（红，红）、（红，黄）、（红，白）、（黄，红）、（黄，黄）、（黄，白）、（白，红）、（白，黄）、（白，白），由此贝贝两次都能摸到白球的概率是P（白，白）＝.
3.玩游戏受表面现象所迷惑.如，从一副扑克中分离出所有的红桃，并将红桃J记为11，红桃Q记为12，红桃K记为13，现将分离出来的红桃洗匀，背面朝上，从中任意抽取一张，数字是偶数的贝贝赢，奇数的京京赢.你认为游戏是否公平吗？
咋一看，数字只有偶数和奇数，所以这个游戏是公平的，而仔细分析一下这13个数字中有6个偶数，7个奇数，显然贝贝和京京获胜的概率是不等的，因此这个游戏不公平.
典型例析
1．游戏是否公平
和判断游戏是否公平题目主要有以下几种类型：一是与投掷硬币有关的游戏；二是数字有关的游戏；三是有转盘有关的游戏；四是抽牌有关的游戏等.解决问题的关键都是看游戏双方获胜的概率是否相同.
例1 有两套分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字的卡片，小明和小亮各自从一套卡片中，任意摸出两张，按照下列的游戏规则做游戏，请你判断是否公平.如果不公平，你认为偏向了哪一方？
（1）小明摸到的卡片上的数字都是偶数为胜，小亮摸到的卡片上的数字都是奇数为胜.
（2）若把两套卡片中的6都拿去，（1）的结论有什么变化？
分析：要判断游戏是否公平，主要比较小明、小亮获胜的概率的大小，如果概率相同，则游戏公平；否则不公平.
解：(1)因为P(小明获胜)=,P(小亮获胜)=, P(小明获胜)=P(小亮获胜),所以游戏公平.
(2) P(小明获胜)=, P(小亮获胜)=, P(小明获胜)≠P(小亮获胜),所以游戏不公平.偏向小亮.
例2如图1,小明、小华用牌面数字分别为1、2、3、4的4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面，若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜；这个游戏公平吗？请说明理由.
分析:要看游戏是否公平,则需要计算小明、小华获胜的概率，即计算一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数的概率和偶数概率.
解：这个游戏不公平.
理由：因为一次抽出两张牌的组合共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）六种情况.其中有4组中两个数的和是奇数，所以P(小明获胜)=,P(小华获胜)=,所以这个游戏不公平.
【评注】从以上两例看出,正确计算出游戏双方获胜的概率是判断游戏是否公平的关键.要判断某个游戏是否公平,应正确计算出游戏双方的概率.
2. 概率的计算
计算概率主要有两种类型,一类是摸球型概率的计算;二是与图形有关的概率计算,解决概率的计算问题,关键是掌握概率的意义以及计算的方法.
例3 (无锡市中考试题) 在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，它们除颜色不相同外，其余均相同．若把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是　　.
分析:本题是一道与摸球有关的概率计算试题,因为袋子中共有4个球,每个球被摸到的可能性相同,所以共有四种情况,而摸到红球可能有3种,所以 摸到红球的概率是. 解: 填.
【评注】本题是摸球型概率计算问题,解决问题的关键是理解此类问题中概率的计算方法.
例4(2006年浙江丽水市中考试题) 某商场利用转盘进行有奖促销活动,转盘扇形区域的圆心角及奖品设置如下:
特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 鼓励奖
圆心角 1° 10° 60° 90° 199°
奖品 冰箱 彩电 学习机 自行车 笔记本
小英有一次转盘的机会,能奖学习机的概率是__________.
分析:本题是一道转盘游戏有关的概率计算试题,观察表格信息可知,当转盘停止后,指针停止在60的扇形区域内,可以获得学习机.本题即计算指针停留在60扇形区域上的概率.
解:P(奖学习机的概率)=
【评注】解决本题需要正确理解题意,能从表格中获取正确的解题信息.
例5如图2，口袋中有张完全相同的卡片，分别写有，，，和，袋外有张卡片，分别写有和．现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题：
（1）求这三条线段能构成三角形的概率；
（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
分析：由于口袋中有张完全相同的卡片，随机从袋内取出一张卡片，则每张卡片 图2
被抽到的机会是相同的，用抽到的卡片上的数量与和组合，共有5种可能的情况：①1cm，，； ②2cm，4cm，5cm；③3cm，4cm，5cm；④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm.其中能构成三角形的有②2cm，4cm，5cm；③3cm，4cm，5cm；④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm四种；能构成等腰三角形的有④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm..
解：（1）P(能构成三角形)=；（2）P(能构成等腰三角形)=.
【评注】本题是一道以三角形的构成为载体的概率计算问题,解决问题需要熟练掌握三角形三边形的关系以及等腰三角形的概念.
3.概率的应用
所谓概率的应用,就是通过计算某些事件概率来解决实际问题,作出正确决策.
例6（贵州遵义中考试题) 一商场有A、B、C三种型号的甲品牌DVD和D、E两种型号的乙品牌DVD.某中学准备从甲、乙两种品牌的DVD中各选购一种型号的DVD安装到各个教室.
（1）写出所有的选购方案；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号DVD被选中的概率是多少？
分析：从甲、乙两种品牌的DVD中各购买一台，因为甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，所以共有以下六种可能：（A，D），（B，D），C，D），（A，E），（B，E），（C，E），其中含有A的有两种可能，由此可以求出A型号DVD被选中的概率.
解：（1）选购的方案有：（A，D），（B，D），C，D），（A，E），（B，E），（C，E）.
（2）A型号DVD被选中的概率P=.
【评注】正确列出所有等可能的情况，从中找出含有A型DVD的次数是求概率的关键.
例7如图3所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6；
（1）若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为，
图3 图4
分析：要计算指针停止后，指针指向奇数区域的概率，因为转盘被等分成六个扇形，其中三个扇形中分别含有奇数1，3，5，所以指针指向奇数区域的概率为.要设计指针指向的区域的概率为，只要把其中的四个区域涂上阴影，则指针指向阴影部分的概率即为
解：（1）P（指针指向奇数区域）=.
（2）如图4所示，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向阴影部分区域的概率为
【评注】在设计转盘游戏中，一般将转盘均匀的分成若干份，从而保证指针停止在各个区域的可能性都相同.
例8(辽宁大连)小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1,2,3,4,5,6的正六面体骰子的质量是否合格,在相同的条件下,同时抛两枚骰子20000次,结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次,你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为:在相同条件下抛骰子时,骰子各个面朝上的机会相等) 并说明理由.
分析：要判断两枚骰子质量是否合格，根据合格标准为:在相同条件下抛骰子时,骰子各个面朝上的机会相等，只要看试验20000次得到和为7的频率是否稳定于理论机会.如果相等，则说明两枚骰子的质量合格；否则，两枚骰子的不合格.
解:两枚骰子质量都不合格.
因为同时抛两枚骰子两个朝上点数和有以下几种情况:2、3、4、5、6、7、3、4、5、6、7、4、5、6、7、8、9、5、6、7、8、9、10、6、7、8、9、10、11、7、8、9、10、11、12.
所以出现两个面朝上面的点数和为7的概率为≈0.167.
试验20000次出现两个面朝上点数和为7的频率为
因为大数次试验的频率非常接近概率.而0.001和0.167相差很大，所以两枚骰子质量都不合格.
【评注】本题是一道用试验频率与概率之间的关系来解决的实际问题，解决问题的关键是正确理解试验大次数下频率值与概率之间的关系.
练习
一、填空（每题３分，计３０分）
１．抛掷一枚伍角的硬币，印有国徽一面朝上的概率是＿＿＿；
２．１２瓶装的啤酒中有２瓶有奖，则Ｐ（摸出有奖）＝＿＿＿；
３．盒子里放有２个黑球和１个红球，它们除了颜色不同外，其余都相同．甲、乙、丙三人规定每人摸出一球，摸到红球者算胜．如果摸球顺序按先甲，后乙，最后轮到丙进行，那么这种游戏公平吗？答：＿＿＿（填公平或不公平）；
４．在第３题中，三人中有一人摸到红球是＿＿＿事件（填必然或不可能或不确定）；
５．如图是商场里为了招揽生意，设立的有奖转盘，转盘被分成相同的四部分．当转动的盘子静止后，顾客就可以得到指针所指的奖品．凡购买５元的商品，便有一次转盘的机会，小颖购买了２０元的商品，获得了一次转盘的机会，则Ｐ（获得铅笔）＿＿＿１（填“＜”或“＝”）；
６．小明从一副扑克牌中随意抽出一张，则Ｐ（抽到老Ｋ）＝＿＿＿；
７．抽屉里有２只黑色和１只白色的袜子，它们混在一起，随意抽出两只刚好配成一双的概率是＿＿＿；
８．小猫在如图所示的地板砖上随意地走来走去，然后随意停留在某块砖上，则Ｐ（停在三角形砖上）＝＿＿＿；
９．随意抛掷两个均匀的骰子，Ｐ（朝上面的点数之和为１）＝＿＿＿；
１０．为迎接新年，学校准备了外观一样的８０个红包，里边装有１００元的２０个，５０元的６０个，则Ｐ（摸到５０元）比Ｐ（摸到１００元）多＿＿＿；
二、选择题（每题３分，计３０分）
１１．三双白色的袜子和１双黑色的袜子均混合在一起，随机摸出三只能够配成同色的一双是（　　）
Ａ．不可能事件；Ｂ．不确定事件；Ｃ．必然事件；Ｄ．以上都不是．
１２．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了１３张从１到Ｋ的牌，并规定如果甲抽到１０到Ｋ的牌，那么算甲胜；如果抽到是１０以下的牌，则算乙胜．这种游戏对甲、乙来说，正确的说法是（　　）
Ａ．是公平的；Ｂ．不公平，甲胜的机会大些；
Ｃ．不公平，乙胜的机会大些；Ｄ．无法确定．
１３．某农夫在如图甲，乙，丙，丁四块田里插秧时，不慎将手表丢入土里，直到收工时才发现，则手表丢在哪一块田里的可能性大些？（　　）
Ａ．甲；Ｂ．乙；Ｃ．丙；Ｄ．丁．
１４．袋子里装有红球１５个，黑球若干个．经测验知道摸出红球的概率为，则黑球的个数是（　　）
Ａ．３５；Ｂ．４０；Ｃ．４５；Ｄ．５０．
１５．小明和小颖玩抛掷硬币游戏，他们在硬币的正面涂上红色，背面涂上白色，每次抛掷三枚，如果面朝上的是２枚或３枚红色的，则算小明输，小颖赢；如果面朝上的是２枚或３枚白色的，则算小明赢，小颖输．这种游戏对小明和小颖来说，正确的说法是（　　）
Ａ．是公平的；Ｂ．不公平，小明输的机会较大；
Ｃ．不公平，小颖输的机会较大；Ｄ．不能确定．
１６．一种转盘游戏，每转一次赢得奖品的概率是，小明转了２次，他获得奖品的概率是（　　）
Ａ．１；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．．
１７．一种彩票每发行１百万张设特等奖１名，小新的爸爸中了特等奖，人们对他购买彩票的张数说三道四，其中说法正确的是（　　）
Ａ．起码买了几十万张；Ｂ．起码买了几万张；
Ｃ．起码买了几千张；Ｄ．有可能只买一张．
１８．甲乙两人在玩抛掷硬币游戏，每次抛出２枚，规定如果两枚硬币都是正面朝上，那么甲得３分，否则乙得１分，最后以得分多的为胜．如此游戏对两人来说，正确的是（　　）
Ａ．是公平的；Ｂ．甲获胜的机会大；Ｃ．乙获胜的机会大；Ｄ．不能确定．
１９．下列事件为必然事件的是（　　）
Ａ．２８日的明天是２９日；Ｂ．冬天哈尔滨会下雪；
Ｃ．星期天没人在读书；Ｄ．老师不会做错题．
２０．抛掷一颗正方体骰子朝上一面出现数字“１”的概率是，那么同时抛掷２颗这样相同的骰子，朝上一面至少有一个出现数字“１”的概率是（　　）
Ａ．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．．
三、解答题（每题８分，计４０分）
２１．一个正方体骰子，其中一个面上标有“１”，两个面上标有“２”，三个面上标有“３”，求将这个骰子掷出后：
（１）“２”朝上的概率；（２）朝上概率最大的数；（３）如果规定朝上的数为１或２时，甲胜；朝上的数为３时乙胜，则甲、乙谁获胜的机会大些？
２２．袋子里装有红球４２个，黑球若干个．经测验知道摸出黑球的概率为，求黑球的个数．
２３．甲、乙两人玩一种赌博游戏，他们设置大小一样，编号依次从１到３７的３７个小球，由甲随意摇出一球，然后让乙猜测．如果乙猜对了，甲付给乙３０元；如果乙猜错了，则乙输给甲１元．请你用学过的概率知识，分析一下甲、乙两人谁获胜的机会大些？
２４．小明、小亮和小新三人在玩摸球游戏，他们轮流从一只口袋里各摸出一个球，结果发现摸出红球的概率是，摸出蓝球的概率是，摸出白球的概率是．已知口袋里红球的个数是６个，为了使摸出各色球的概率相同，小明建议说应再分别放入不等的各色球才能使摸出各色球的概率相同；小亮说能再放入的红球只有１０只；小新说蓝球虽然还有很多，但白球却只剩３个．请你设计一个满足他们三人要求的方案，并且使口袋里的球尽可能多．
２５．阅读以下故事，回答后面问题：
话说某村子里有一座关帝庙，庙里供奉着一樽关二爷雕像，据老人们说关二爷非常灵验，有求必应．因此，慕名而来抽签卜挂的善男信女络绎不绝，村子里凡难于决断的大事小事，人们也总是喜欢到庙里烧上三拄香，请关二爷定夺．
话说这一日，为了人们赶庙会时出入的方便，有人建议在庙宇的围墙北面再放一个偏门，但同时也有人担心这样会破坏庙宇的风水，一时间公说公有理，婆说婆有理，双方争执不下，大家自然一致想到请关二爷定夺．
按照习惯，争议双方到关二爷面前，请村里的长辈点上三根香，拿出两块一模一样、十分精致的竹板，竹板只有正面和反面之分，然后口中念道：关二爷在上，弟子今有一事不明，恭请关二爷定夺．如果可以放个北门请关二爷连允三次（如果竹板落地后一个正面朝上反面朝上，则称为允，否则称为不允）．
（１）请你先算一算：关二爷允许的概率有多大？
（２）由于村里大多数人都认为放这个北门十分必要的，但老人们还是坚持要让关二爷定夺，你有什么方法能提高关二爷允许的概率？
4cm
5cm
糖果
谢谢
铅笔
糖果
甲
乙
丙
丁