浙江省2018年4月数学学考真题试卷

浙江省2018年4月数学学考真题试卷
一、选择题
1．（2018·浙江学考）已知集合 P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3} 记 M=P∪Q ，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2018·浙江学考）已知函数 的定义域是（　　）
A． B． C． D．R
3．（2018·浙江学考）设不等式组 ，所表示的平面区域记为 ，则属于 的点是（　　）
A． B． C． D．
4．（2018·浙江学考）已知函数 则 （　　）
A．1 B． C．3 D．
5．（2018·浙江学考）双曲线 的渐近线是（　　）
A． B． C． D．
6．（2018·浙江学考）如图，在正方体 中，直线 与平面 所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2018·浙江学考）若锐角 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2018·浙江学考）在三棱锥 中，若 为 的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
9．（2018·浙江学考）数列 是公差不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2018·浙江学考）不等式的 解集是（　　）
A． B．
C．2 D．
11．（2018·浙江学考）用列表法将函数 表示为 ，则（　　）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
12．（2018·浙江学考）如图，在直角坐标系 xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形 分割成四个小正方形，若大圆为正方形 xOy 的外接圆，四个小圆圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2018·浙江学考）设 为实数，则“ ”是 的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2018·浙江学考）在直角坐标系 xOy 中，已知点 ，过 的直线交 轴于点 ，若直线 的倾斜角是直线 倾斜角的2倍，则 （　　）
A． B． C． D．
15．（2018·浙江学考）甲、乙几何体的三视图分别如图 图 所示，分别记它们的表面积为 ，体积为 ，则（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
16．（2018·浙江学考）如图，设 为椭圆 =1（ ）的右焦点，过 作 轴的垂线交椭圆于点 ，点 分别为椭圆的右顶点和上顶点， 为坐标原点，若 的面积是 面积的 倍，则该椭圆的离心率（　　）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
17．（2018·浙江学考）设a为实数，若函数f(x)=2x2 x+a 有零点，则函数y=f[f(x)]零点的个数是（　　）
A．1或3 B．2或3 C．2或4 D．3或4
18．（2018·浙江学考）如图，设矩形 ABCD 所在的平面与梯形 ACEF 所在平面交于 AC ，若 ，则下面二面角的平面角大小为定值的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
19．（2018·浙江学考）已知函数 ，则 的最小正周期是　 　，的最大值是　 　.
20．（2018·浙江学考）若平面向量 满足 则 　 　.
21．（2018·浙江学考）若 中，已知 则 的取值范围是　 　.
22．（2018·浙江学考）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值是　 　.
三、解答题
23．（2018·浙江学考）在等差数列 中， 已知 ， ，
（Ⅰ）求 的公差 及通项 ；
（Ⅱ）记 ，求数列的前 项和.
24．（2018·浙江学考）如图，已知抛物线 与 交于 两点， 是该抛物线上位于第一象限内的点.
（Ⅰ）记直线 的斜率分别为 ，求证 为定值；
（Ⅱ）过点 作 ，垂足为 ，若 关于 轴的对称点恰好在直线上 ，求 的面积.
25．（2018·浙江学考）如图，在直角坐标系 xOy 中，已知点 直线 ，将 分成两部分，记左侧部分的多边形为 ，设 各边的平方和为 ， 各边长的倒数和为 .
（Ⅰ）求分别求函数 和 的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间 ，使得函数 和 在该区间上均单调递减？若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算
【解析】【解答】由 P={x|0≤x<1}，Q={x|2≤x≤3}
得M=P∪Q={x|0≤x<1或2≤x≤3},
故0M,2M,3M,则{ 0 , 2 , 3 } M
故答案为：C.
【分析】先求出两个集合的并集M,再对各选项中两个集合的元素对比得到包含关系.
2．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，则且x≠0，则x>0，即函数定义域为{ x | x > 0 }
故答案为:A.
【分析】含有根号和分母的函数定义域,必满足根号内非负,分母不为0.
3．【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】A、将点(-3，1)代入x y+1≥0，不成立，则点(-3，1)不在平面区域Ω内，A不符合题意；
B、将点(1，-3)代入x+y 1≥0不成立，点(1，-3)不在平面区域Ω内，B不符合题意；
C、将点(1，3)代入x y+1≥0，不成立，则点(1，3)不在平面区域Ω内，C不符合题意；
D、将点(3，1)代入x y+1≥0，x+y 1≥0，两个不等式都成立，则点(3，1)在平面区域Ω内，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】将各选顶点的坐标代入不等式组，能满足的点就是正确的，只有D项满足.
4．【答案】C
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】 f (1) = log2 ( 3 + 1 ) + log2 ( 3 1 )=2+1=3
故答案为:C.
【分析】将x=1代入函数解析式中,直接求值.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程得：a=1，b=，故其渐近线方程为：y= ±x.
故答案为：C.
【分析】对于标准左右型双曲线的渐近线方程是：y=，由双曲线方程可得a，b的值，代入即得.
6．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接AC,则
就是直线 A1C 与平面 ABCD 所成角,设棱长为a,则cos
=
故答案为:D.
【分析】正方体中体对角线A1C与底面ABCD所成的角就是A1C与其在底面的射影AC所成的角A1CA，在三角形A1CA中求角.
7．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 α为锐角,sin ( α + ) =cosα=,得sinα=
故答案为:D.
【分析】由诱导公式sin(α+)=cosα，先求出cosα，再由同角关系求出sinα.
8．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】=
故答案为:C.
【分析】由若 D为 BC 的中点,根据空间向量的线性表示，选择向量OA、OB、OC为基底,表示出向量AD.
9．【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】不妨取 { an } 为1，2，3，4， { bn }为2.4.6.8，则{ an bn }为2，8，18，32，明显不为等差数列.
故答案为：A.
【分析】两个公差不为零的等差数列的和，差都会成为等差数列，但积就不能为等差数列了，用特殊例子可以说明.
10．【答案】B
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】当x<-1时,不等式为-2x+1+x+1<1,解得:;
当时,不等式为-2x+1-x-1<1,解得:;
当时,不等式为2x-1-x-1<1,解得
综上所述,不等式的解集为
故答案为:B.
【分析】由绝对值内一次式的零点将x进行分类讨论,去掉绝对值,再解不等式得到解集.
11．【答案】A
【知识点】函数的表示方法；函数奇偶性的判定
【解析】【解答】由f(1)=-1,f(2)=0,f(3)=1得函数图象关于点(2,0)对称,
f(x+2)是由f(x)向左平稳2个单位得到的,则f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数.
故答案为:A.
【分析】由列表法表示的函数图象关于点(2,0)对称,进行向左平移2个单位后关于原点对称,则成为奇函数.
12．【答案】B
【知识点】圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】四个小正方形的的边长都为2，则其内切圆的半径为1，圆心就是四个象限的单位点坐标为()，方程为，化为一般式，只有B项正确.
故答案为：B.
【分析】大圆的圆心在原点，四个选项中的方程不是大圆的方程；四个小圆的半径都为1，圆心则在四个象限的单位点处，得到方程与选项对比得到正确选项为B.
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 a > 得a>1，由a2>，得a<0或a>1，则“ a > ”是 a2> 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别求出两不等式的解集，则小范围推出大范围，大范围推不出小范围得到充分不必要条件.
14．【答案】B
【知识点】二倍角的正切公式；直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线AB的倾斜角为，
则由 A ( 0 ， 1 ) ， B ( 2 ， 0 ) 得：
tan=，
故tan2=，
即直线AC的方程为：y=x-1，
令y=0得x=，
故答案为：B.
【分析】由A，B两点的坐标结合斜率公式求出直线AB的斜率，由两倍角正切公式求出直线AC的斜率，由斜截式得到直线AC的方程，再求直线AC与x轴交点的横坐标a的值.
15．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图
【解析】【解答】甲几何体是棱长为2a的下方体去掉一个棱长为a的小正方体后的几何体，则其体积V甲=，表面积S甲=；
乙几何体是一个棱长为2a的正方体去掉一个底面为直角边为a的等腰直角 三角形，高为a的三棱柱后的几何体，其体积V乙=，表面积S乙=；则S甲 > S乙 ， V甲 < V乙 .
故答案为：B.
【分析】分别由三视图还原出几何体的形状和数据，甲是一个棱长为2a的正方体去掉一个棱长为a的小正方体后的几何体，求出表面积和体积；乙是一个棱长为2a的正方体去掉一个底面为直角边为a的等腰直角 三角形，高为a的三棱柱后的几何体，求出表面积和体积，再比较大小.
16．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由A(a,0),B(0,b),F(c,0),P(c,-),
得SΔOAB=,SΔOPF=,则,
故,
即,
解得e=或,
故答案为:D.
【分析】由椭圆的方程求出点A,B,P的坐标,得到 ΔOAB和 ΔOPF 的面积,由面积的关系得到a,b,c的齐次方程,转化为离心率的方程,求离心率.
17．【答案】C
【知识点】二次函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】当f(x)有一个零点时，，则f(x)=2(x-)2,
即x=是f(x)的零点。
再由f(x)= ，得x=，
即f[f(x)]有2个零点。
当f(x)有2个零点x1，x2时，由得，则方程f(x)=x，
即2x2 2x+a=0的根为x=，其中在a＜时成立，
即f[f(x)]有4个零点。
故答案为：C。
【分析】由二次函数有零点，则可能有一个也可能有两个，分两种情况得到函数y=f[f(x)]零点的个数。
18．【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】在等腰梯形ACEF中，过F作FG⊥ AC于G ,作EH⊥AC于H ,连接BG , DH，如图：
在梯形ACEF中,由AF=CE=EF ,可得AG=.
由三角形ABC为直角三角形,且AB=1 , BC= ,可得∠BAC=60°
则BG=
∴∠AGB=90°,即BG⊥AC ,则AC⊥平面GFB ,
∴∠BFG为二面角B- EF-A的平面角,
同理可得∠DEH为二面角D-EF-C的平面角,
∵:AC⊥平面BGF , AC⊥平面DHE ,则二面角B- EF-D的平面角为∠BFG+∠DEH .
∵△BGF与△DHE均为等腰三角形,
∴∠BFG=，∠DEH=
∵FG∥EH，GB∥HD，
∴∠BGF+∠DHE=180°
∴∠BFG+∠DEH=
∴二面角B-EF-D必为定值.
【分析】由所给数据,点B,D,E,F在以AC为轴的圆柱的侧面上,EF为母线,则不论EF在什么位置时,二面角B-EF-D必为定值.
19．【答案】；3
【知识点】三角函数的周期性；三角函数的值域与最值
【解析】【解答】T=,最大值为2+1=3
故答案为:;3.
【分析】由函数是f(x)=Asin()+B这种标准形式,由周期公式求最小正周期,最大值就为A+B.
20．【答案】-2
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由得
又得，
故
故答案为：-2
【分析】设出两个向量的坐标，由线性运算的坐标，得到关于向量坐标的方程组，求出向量的坐标，再进行数列积运算.
21．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由已知：b=3，c=2，则1=b-c故答案为：[ ， 1 )
【分析】由已知两边b，c，根据三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边得到a的范围，再由余弦定理求出cosC的范围.
22．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法
【解析】【解答】由函数f(x)>0对任意 x ∈ R 恒成立，则当x=0时，a|a|-2≥0，故a>；
当x≥a时，不等式x2+2ax-a2-20恒成立，即左式当x=a时的最小值2a2-20，得a1；
当x故答案为：
【分析】通过对x-a的正负分类讨论去掉绝对值得关于x的二次不等式，由不等式对任意 x ∈ R 恒成立，化为两个不等式在不同范围内恒成立，分别求出a的范围，求出交集就是a的范围.
23．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，将 ， 代入，解得公差d=1，解得数列 的公差通项
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项 代入得
由此可知 是等比数列，其中首项 ，公比q=2.
所以，数列 的前n项和
【知识点】等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)由等差数列的已知两项求出公差,得到通项公式;
(2)由等差数列 { a n }可知 { bn } 是等比数列,求出公比和首项,再由前n项和公式求和.
24．【答案】解：（Ⅰ）由题意得点A，B的坐标分别为A（-1,0），B（1,0）设点P是坐标为P ，且 ，则所以 =2为定值。（Ⅱ）由直线PA，AD的位置关系知因为AD PB，所以 解得 因为P是第一象限内的点，所以 得点P的坐标为P 联立直线PB与AD的方程 解得点D的坐标为D 所以
【知识点】斜率的计算公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先求出点A,B的坐标,设出点P的坐标,由斜率公式表示出两直线的斜率的差,运算出定值;
(2)由直线PA，AD的位置关系,得到直线AD的斜率,由AD ⊥ PB求出t的值即得到点P的坐标,再求出点D的坐标,进一步求出△ PAD 的面积.
25．【答案】解：（Ⅰ）当 时，多边形 是三角形（如图①），边长依次为t， ，2t当 时，多边形 是四角形（如图②），边长依次为 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）中 的解析式可知，函数 的单调递减区间是 ，所以另一方面，任取 ， ，且 ，则 = 由 知
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)由图形的特点，将t分 0 < t ≤ 1和1 < t < 2两种情况，得到直线两偶的多边形，求出各边长，得到 Ω 各边的平方和 f ( t ) ， Ω 各边长的倒数和 g ( t )的分段函数解析式；
(2)由(1)中得到函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ( 1 ， )， 得到
，要使 b a 的最大，则g(x)也在(1，)上单调递减.从而求出b-a的最大值 .
1 / 1浙江省2018年4月数学学考真题试卷
一、选择题
1．（2018·浙江学考）已知集合 P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3} 记 M=P∪Q ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算
【解析】【解答】由 P={x|0≤x<1}，Q={x|2≤x≤3}
得M=P∪Q={x|0≤x<1或2≤x≤3},
故0M,2M,3M,则{ 0 , 2 , 3 } M
故答案为：C.
【分析】先求出两个集合的并集M,再对各选项中两个集合的元素对比得到包含关系.
2．（2018·浙江学考）已知函数 的定义域是（　　）
A． B． C． D．R
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，则且x≠0，则x>0，即函数定义域为{ x | x > 0 }
故答案为:A.
【分析】含有根号和分母的函数定义域,必满足根号内非负,分母不为0.
3．（2018·浙江学考）设不等式组 ，所表示的平面区域记为 ，则属于 的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】A、将点(-3，1)代入x y+1≥0，不成立，则点(-3，1)不在平面区域Ω内，A不符合题意；
B、将点(1，-3)代入x+y 1≥0不成立，点(1，-3)不在平面区域Ω内，B不符合题意；
C、将点(1，3)代入x y+1≥0，不成立，则点(1，3)不在平面区域Ω内，C不符合题意；
D、将点(3，1)代入x y+1≥0，x+y 1≥0，两个不等式都成立，则点(3，1)在平面区域Ω内，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】将各选顶点的坐标代入不等式组，能满足的点就是正确的，只有D项满足.
4．（2018·浙江学考）已知函数 则 （　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】 f (1) = log2 ( 3 + 1 ) + log2 ( 3 1 )=2+1=3
故答案为:C.
【分析】将x=1代入函数解析式中,直接求值.
5．（2018·浙江学考）双曲线 的渐近线是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程得：a=1，b=，故其渐近线方程为：y= ±x.
故答案为：C.
【分析】对于标准左右型双曲线的渐近线方程是：y=，由双曲线方程可得a，b的值，代入即得.
6．（2018·浙江学考）如图，在正方体 中，直线 与平面 所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接AC,则
就是直线 A1C 与平面 ABCD 所成角,设棱长为a,则cos
=
故答案为:D.
【分析】正方体中体对角线A1C与底面ABCD所成的角就是A1C与其在底面的射影AC所成的角A1CA，在三角形A1CA中求角.
7．（2018·浙江学考）若锐角 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 α为锐角,sin ( α + ) =cosα=,得sinα=
故答案为:D.
【分析】由诱导公式sin(α+)=cosα，先求出cosα，再由同角关系求出sinα.
8．（2018·浙江学考）在三棱锥 中，若 为 的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】=
故答案为:C.
【分析】由若 D为 BC 的中点,根据空间向量的线性表示，选择向量OA、OB、OC为基底,表示出向量AD.
9．（2018·浙江学考）数列 是公差不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】不妨取 { an } 为1，2，3，4， { bn }为2.4.6.8，则{ an bn }为2，8，18，32，明显不为等差数列.
故答案为：A.
【分析】两个公差不为零的等差数列的和，差都会成为等差数列，但积就不能为等差数列了，用特殊例子可以说明.
10．（2018·浙江学考）不等式的 解集是（　　）
A． B．
C．2 D．
【答案】B
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】当x<-1时,不等式为-2x+1+x+1<1,解得:;
当时,不等式为-2x+1-x-1<1,解得:;
当时,不等式为2x-1-x-1<1,解得
综上所述,不等式的解集为
故答案为:B.
【分析】由绝对值内一次式的零点将x进行分类讨论,去掉绝对值,再解不等式得到解集.
11．（2018·浙江学考）用列表法将函数 表示为 ，则（　　）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】A
【知识点】函数的表示方法；函数奇偶性的判定
【解析】【解答】由f(1)=-1,f(2)=0,f(3)=1得函数图象关于点(2,0)对称,
f(x+2)是由f(x)向左平稳2个单位得到的,则f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数.
故答案为:A.
【分析】由列表法表示的函数图象关于点(2,0)对称,进行向左平移2个单位后关于原点对称,则成为奇函数.
12．（2018·浙江学考）如图，在直角坐标系 xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形 分割成四个小正方形，若大圆为正方形 xOy 的外接圆，四个小圆圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】四个小正方形的的边长都为2，则其内切圆的半径为1，圆心就是四个象限的单位点坐标为()，方程为，化为一般式，只有B项正确.
故答案为：B.
【分析】大圆的圆心在原点，四个选项中的方程不是大圆的方程；四个小圆的半径都为1，圆心则在四个象限的单位点处，得到方程与选项对比得到正确选项为B.
13．（2018·浙江学考）设 为实数，则“ ”是 的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 a > 得a>1，由a2>，得a<0或a>1，则“ a > ”是 a2> 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别求出两不等式的解集，则小范围推出大范围，大范围推不出小范围得到充分不必要条件.
14．（2018·浙江学考）在直角坐标系 xOy 中，已知点 ，过 的直线交 轴于点 ，若直线 的倾斜角是直线 倾斜角的2倍，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正切公式；直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线AB的倾斜角为，
则由 A ( 0 ， 1 ) ， B ( 2 ， 0 ) 得：
tan=，
故tan2=，
即直线AC的方程为：y=x-1，
令y=0得x=，
故答案为：B.
【分析】由A，B两点的坐标结合斜率公式求出直线AB的斜率，由两倍角正切公式求出直线AC的斜率，由斜截式得到直线AC的方程，再求直线AC与x轴交点的横坐标a的值.
15．（2018·浙江学考）甲、乙几何体的三视图分别如图 图 所示，分别记它们的表面积为 ，体积为 ，则（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图
【解析】【解答】甲几何体是棱长为2a的下方体去掉一个棱长为a的小正方体后的几何体，则其体积V甲=，表面积S甲=；
乙几何体是一个棱长为2a的正方体去掉一个底面为直角边为a的等腰直角 三角形，高为a的三棱柱后的几何体，其体积V乙=，表面积S乙=；则S甲 > S乙 ， V甲 < V乙 .
故答案为：B.
【分析】分别由三视图还原出几何体的形状和数据，甲是一个棱长为2a的正方体去掉一个棱长为a的小正方体后的几何体，求出表面积和体积；乙是一个棱长为2a的正方体去掉一个底面为直角边为a的等腰直角 三角形，高为a的三棱柱后的几何体，求出表面积和体积，再比较大小.
16．（2018·浙江学考）如图，设 为椭圆 =1（ ）的右焦点，过 作 轴的垂线交椭圆于点 ，点 分别为椭圆的右顶点和上顶点， 为坐标原点，若 的面积是 面积的 倍，则该椭圆的离心率（　　）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由A(a,0),B(0,b),F(c,0),P(c,-),
得SΔOAB=,SΔOPF=,则,
故,
即,
解得e=或,
故答案为:D.
【分析】由椭圆的方程求出点A,B,P的坐标,得到 ΔOAB和 ΔOPF 的面积,由面积的关系得到a,b,c的齐次方程,转化为离心率的方程,求离心率.
17．（2018·浙江学考）设a为实数，若函数f(x)=2x2 x+a 有零点，则函数y=f[f(x)]零点的个数是（　　）
A．1或3 B．2或3 C．2或4 D．3或4
【答案】C
【知识点】二次函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】当f(x)有一个零点时，，则f(x)=2(x-)2,
即x=是f(x)的零点。
再由f(x)= ，得x=，
即f[f(x)]有2个零点。
当f(x)有2个零点x1，x2时，由得，则方程f(x)=x，
即2x2 2x+a=0的根为x=，其中在a＜时成立，
即f[f(x)]有4个零点。
故答案为：C。
【分析】由二次函数有零点，则可能有一个也可能有两个，分两种情况得到函数y=f[f(x)]零点的个数。
18．（2018·浙江学考）如图，设矩形 ABCD 所在的平面与梯形 ACEF 所在平面交于 AC ，若 ，则下面二面角的平面角大小为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】在等腰梯形ACEF中，过F作FG⊥ AC于G ,作EH⊥AC于H ,连接BG , DH，如图：
在梯形ACEF中,由AF=CE=EF ,可得AG=.
由三角形ABC为直角三角形,且AB=1 , BC= ,可得∠BAC=60°
则BG=
∴∠AGB=90°,即BG⊥AC ,则AC⊥平面GFB ,
∴∠BFG为二面角B- EF-A的平面角,
同理可得∠DEH为二面角D-EF-C的平面角,
∵:AC⊥平面BGF , AC⊥平面DHE ,则二面角B- EF-D的平面角为∠BFG+∠DEH .
∵△BGF与△DHE均为等腰三角形,
∴∠BFG=，∠DEH=
∵FG∥EH，GB∥HD，
∴∠BGF+∠DHE=180°
∴∠BFG+∠DEH=
∴二面角B-EF-D必为定值.
【分析】由所给数据,点B,D,E,F在以AC为轴的圆柱的侧面上,EF为母线,则不论EF在什么位置时,二面角B-EF-D必为定值.
二、填空题
19．（2018·浙江学考）已知函数 ，则 的最小正周期是　 　，的最大值是　 　.
【答案】；3
【知识点】三角函数的周期性；三角函数的值域与最值
【解析】【解答】T=,最大值为2+1=3
故答案为:;3.
【分析】由函数是f(x)=Asin()+B这种标准形式,由周期公式求最小正周期,最大值就为A+B.
20．（2018·浙江学考）若平面向量 满足 则 　 　.
【答案】-2
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由得
又得，
故
故答案为：-2
【分析】设出两个向量的坐标，由线性运算的坐标，得到关于向量坐标的方程组，求出向量的坐标，再进行数列积运算.
21．（2018·浙江学考）若 中，已知 则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由已知：b=3，c=2，则1=b-c故答案为：[ ， 1 )
【分析】由已知两边b，c，根据三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边得到a的范围，再由余弦定理求出cosC的范围.
22．（2018·浙江学考）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法
【解析】【解答】由函数f(x)>0对任意 x ∈ R 恒成立，则当x=0时，a|a|-2≥0，故a>；
当x≥a时，不等式x2+2ax-a2-20恒成立，即左式当x=a时的最小值2a2-20，得a1；
当x故答案为：
【分析】通过对x-a的正负分类讨论去掉绝对值得关于x的二次不等式，由不等式对任意 x ∈ R 恒成立，化为两个不等式在不同范围内恒成立，分别求出a的范围，求出交集就是a的范围.
三、解答题
23．（2018·浙江学考）在等差数列 中， 已知 ， ，
（Ⅰ）求 的公差 及通项 ；
（Ⅱ）记 ，求数列的前 项和.
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，将 ， 代入，解得公差d=1，解得数列 的公差通项
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项 代入得
由此可知 是等比数列，其中首项 ，公比q=2.
所以，数列 的前n项和
【知识点】等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)由等差数列的已知两项求出公差,得到通项公式;
(2)由等差数列 { a n }可知 { bn } 是等比数列,求出公比和首项,再由前n项和公式求和.
24．（2018·浙江学考）如图，已知抛物线 与 交于 两点， 是该抛物线上位于第一象限内的点.
（Ⅰ）记直线 的斜率分别为 ，求证 为定值；
（Ⅱ）过点 作 ，垂足为 ，若 关于 轴的对称点恰好在直线上 ，求 的面积.
【答案】解：（Ⅰ）由题意得点A，B的坐标分别为A（-1,0），B（1,0）设点P是坐标为P ，且 ，则所以 =2为定值。（Ⅱ）由直线PA，AD的位置关系知因为AD PB，所以 解得 因为P是第一象限内的点，所以 得点P的坐标为P 联立直线PB与AD的方程 解得点D的坐标为D 所以
【知识点】斜率的计算公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先求出点A,B的坐标,设出点P的坐标,由斜率公式表示出两直线的斜率的差,运算出定值;
(2)由直线PA，AD的位置关系,得到直线AD的斜率,由AD ⊥ PB求出t的值即得到点P的坐标,再求出点D的坐标,进一步求出△ PAD 的面积.
25．（2018·浙江学考）如图，在直角坐标系 xOy 中，已知点 直线 ，将 分成两部分，记左侧部分的多边形为 ，设 各边的平方和为 ， 各边长的倒数和为 .
（Ⅰ）求分别求函数 和 的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间 ，使得函数 和 在该区间上均单调递减？若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）当 时，多边形 是三角形（如图①），边长依次为t， ，2t当 时，多边形 是四角形（如图②），边长依次为 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）中 的解析式可知，函数 的单调递减区间是 ，所以另一方面，任取 ， ，且 ，则 = 由 知
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)由图形的特点，将t分 0 < t ≤ 1和1 < t < 2两种情况，得到直线两偶的多边形，求出各边长，得到 Ω 各边的平方和 f ( t ) ， Ω 各边长的倒数和 g ( t )的分段函数解析式；
(2)由(1)中得到函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ( 1 ， )， 得到
，要使 b a 的最大，则g(x)也在(1，)上单调递减.从而求出b-a的最大值 .
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