机械能守恒
一、选择题(本大题共9个小题，每小题7分，共63分，每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得7分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．如右图所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中绳索AB的重心位置将( )
A．逐渐升高 B．逐渐降低
C．先降低后升高 D．始终不变
【解析】 在C点施加的竖直向下的力做了多少功就有多少能量转化为绳的机械能，由于WF＞0，WF＝ΔEp＋ΔEk，ΔEk＝0，所以ΔEp＞0，即绳的重力势能增加，所以重心升高．
【答案】 A
2．一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如右图所示，经几次反弹以后小球落在弹簧上静止于某一点A处，则( )
A．h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．小球第一次到达A点时的速度与h无关
D．h愈小，小球第一次到达A点时的速度愈大
【解析】 小球静止于某点A时满足mg＝kx，x是弹簧的压缩量，x的大小为x＝，与下落高度h无关，故B对A错；由机械能守恒知，mg(h＋x)＝Ep＋mv2，Ep一定，弹簧的压缩量x一定，故h越大，小球第一次到达A点的速度越大，选项C、D错误．
【答案】 B
3．(2012年武汉模拟)如图所示，足够长的水平传送带以速度v沿顺时针方向运动，传送带的右端与光滑曲面的底部平滑连接，曲面上的A点距离底部的高度为h＝0.45 m．一小物块从A点静止滑下，再滑上传送带，经过一段时间又返回曲面，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．若v=1 m/s，则小物块能回到A点
B．若v=3 m/s，则小物块能回到A点
C．若v=5 m/s，则小物块能回到A点
D．无论v等于多少，小物块均能回到A点
【解析】 小物块下滑到传送带的速度为v0，由机械能守恒得，mgh=，v0=3 m/s，因传送带向右运动，物块将在传送带上先匀减速到零，再向右匀加速，但当带的速度v＜3 m/s时，物块向右加速到与带同速即匀速运动，故v=1 m/s时，小物块滑回曲面的速度为v=1 m/s，上升的高度为h′==0.05 m，A错误；当v≥3 m/s时，小物块回到曲面的速度均为v≥v0=3 m/s，仍能回到A点，B、C正确，D错误．
【答案】 BC
4．(2008年高考四川理综)一物体沿固定斜面从静止开始向下运动，经过时间t0滑至斜面底端．已知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定．若用F、v、x和E分别表示该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能，则下列图象中正确的是( )
【解析】 物体在沿斜面向下滑动过程中，受到重力、支持力、摩擦力的作用，其合力为恒力，A正确；而物体在此合力作用下做匀加速运动，v＝at，x＝at2，所以B、C错；物体受摩擦力作用，总的机械能将减小，D正确．
【答案】 AD
5.(2009年高考广东单科)某缓冲装置可抽象成如右图所示的简单模型．图中K1、K2为原长相等，劲度系数不同的轻质弹簧．下列表述正确的是( )
A．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关
B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等
C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等
D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变
【解析】 不同弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关，A错误；在垫片向右运动的过程中，由于两个弹簧相连，则它们之间的作用力等大，B正确；由于两弹簧的劲度系数不同，由胡克定律F＝kΔx可知，两弹簧的形变量不同，则两弹簧的长度不相等，C错误；在垫片向右运动的过程中，由于弹簧的弹力做功，则弹性势能将发生变化．D正确．
【答案】 BD
6.(2012年郑州模拟)如右图所示，倾角为30°的斜面体置于水平地面上．一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过固定于斜面体顶端的小滑轮O，A的质量为m，B的质量为4m.开始时，用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状态(绳中无拉力)，OB绳平行于斜面，此时B静止不动．将A由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中错误的是( )
A．物块B受到的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右
C．小球A的机械能守恒
D．小球A的机械能不守恒，A、B系统的机械能守恒
【解析】 因斜面体和B均不动，小球A下摆过程中只有重力做功，因此机械能守恒，C正确，D错误；开始A球在与O等高处时，绳的拉力为零，B受到沿斜面向上的摩擦力，小球A摆至最低点时，由FT－mg＝m和mglOA＝mv2得FT＝3mg，对B物体沿斜面列方程：4mgsin θ＝Ff＋FT，当FT由0增加到3mg的过程中，Ff先变小后反向增大，故A正确．以斜面体和B为一整体，因OA绳的拉力水平方向的分力始终水平向左，故地面对斜面的摩擦力的方向一直向右，故B正确．
【答案】 D
7．一带负电的小球从空中的a点运动到b点的过程中，受重力、空气阻力和电场力的作用，小球克服重力做功5 J，克服空气阻力做功1 J，电场力对小球做功2 J，则下列说法正确的是( )
A．小球在a点的重力势能比在b点大5 J
B．小球在a点的机械能比在b点小1 J
C．小球在a点的电势能比在b点多2 J
D．小球在a点的动能比在b点多4 J
【解析】 机械能的变化取决于除重力以外的力做的功，重力势能的变化只与重力做功有关，电势能的变化只与电场力做功有关，动能的变化取决于合外力的功．
【答案】 BCD
8．如右图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上．质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端．现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动．物块和小车之间的摩擦力为Ff，物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x，在这个过程中，以下结论正确的是( )
A．物块到达小车最右端时具有的动能为(F－Ff)(l＋x)
B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffx
C．物块克服摩擦力所做的功为Ff(l＋x)
D．物块和小车增加的机械能为Fx
【解析】 根据动能定理，物块到达最右端时具有的动能为Ek1＝ΔEk1＝F(l＋x)－Ff(l＋x)＝(F－Ff) (l＋x)，A对；物块到达最右端时，小车的动能Ek2＝ΔEk2＝Ff·x，B项对；由功的定义，摩擦力Ff对物块做的功WFf＝－Ff(l＋x)，所以物块克服摩擦力所做的功为Ff(l＋x)，C对；对物块和小车组成的系统，机械能的增加量为ΔEk＝F(x＋l)－Q＝F(x＋l)－Ffl，所以D项错误．
【答案】 ABC
9.如右图所示，水平面上的轻弹簧一端与物体相连，另一端固定在墙上的P点，已知物体的质量为m=2.0 kg，物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.4，弹簧的劲度系数k=200 N/m.现用力F拉物体，使弹簧从处于自然状态的O点由静止开始向左移动10 cm，这时弹簧具有弹性势能Ep=1.0 J，物体处于静止状态．若取g=10 m/s2，则撤去外力F后( )
A．物体向右滑动的距离可以达到12.5 cm
B．物体向右滑动的距离一定小于12.5 cm
C．物体回到O点时速度最大
D．物体到达最右端时动能为零，系统机械能也为零
二、计算题(本大题共3个小题，共37分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
10．(11分) 如右图所示，一质量为m的物块放在水平地面上，现在对物块施加一个大小为F的水平恒力，使物块从静止开始向右移动距离x后立即撤去F.物块与水平地面间的动摩擦因数为μ.求：
(1)撤去F时，物块的速度大小；
(2)撤去F后，物块还能滑行多远？
【解析】 (1)设撤去F时物块的速度大小为v，
由动能定理，得：(F-μmg)x=mv2
所以v=
(2)设撤去F后物块还能滑行的距离为x′，从静止到物块停下的过程中，运用动能定理有：(F-μmg)x-μmgx′=0
解得x′= x.
【答案】
11．(12分)如右图所示，A、B、C质量分别为mA=0.7 kg，mB=0.2 kg，mC=0.1 kg，B为套在细绳上的圆环，A与水平桌面的动摩擦因数μ=0.2，另一圆环D固定在桌边，离地面高h2=0.3 m，当B、C从静止下降h1=0.3 m，C穿环而过，B被D挡住，不计绳子质量和滑轮的摩擦，取g=10 m/s2，若开始时A离桌边足够远，试求：
(1)物体C穿环瞬间的速度．
(2)物体C能否到达地面？如果能到达地面，其速度多大？
【答案】 (1) m/s (2)能 m/s
12.(14分)如右图所示，B是质量为2m、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质量为m的细长直杆，光滑套管D被固定在竖直方向，A可以自由上下运动，物块C的质量为m，紧靠半球形碗放置．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)．然后从静止开始释放A，A、B、C便开始运动．求：
(1)长直杆的下端运动到碗的最低点时，长直杆竖直方向的速度和B、C水平方向的速度；
(2)运动的过程中，长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗底部的高度．
【解析】 (1)长直杆的下端运动到碗的最低点时，长直杆在竖直方向的速度为0，
由机械能守恒定律得：mgR＝×3mv2
所以vB＝vC＝.
(2)长直杆的下端上升到所能达到的最高点时，长直杆在竖直方向的速度为0，碗的水平速度亦为零．由机械能守恒定律得：×2mv＝mgh 解得h＝.
【答案】 (1)0 vB＝vC＝ (2)机械能守恒
一、选择题
1．福建省泉州市四校2012届高三上学期期末联考如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零，在小球下降阶段中，下列说法正确的是 （ D ）
A．从A→D位置小球先做匀加速运动后做匀减速运动
B．从A→C位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
C．在B位置小球动能最大
D．在C位置小球动能最大
2．上海市七校2012届高三下学期联考如图所示，一个质量为ｍ的物体（可视为质点）以某一速度从Ａ点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为3g/4，这物体在斜面上上升的最大高度为ｈ，则在这个过程中物体的 ( D )
A．整个过程中物体机械能守恒?B．重力势能增加了3mgh/4
C．动能损失了3mgh/2 D．机械能损失了mgh/4
3．湖南省长沙市一中·雅礼中学2012届高三模拟如图所示，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系有质量为M的圆板，处于平衡状态．开始一质量为m的圆环套在弹簧外，与圆板距离为h，让环自由下落撞击圆板，碰撞时间极短，碰后圆环与圆板共同向下运动，使弹簧伸长。那么 （ C ）
A．碰撞过程中环与板系统的机械能守恒
B．碰撞过程中环与板的总动能减小转化为弹簧的弹性势能
C．碰撞后新平衡位置与下落高度h无关
D．碰撞后环与板共同下降的过程中，它们动能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
4. 广东省汕尾市2012届高三上学期期末调研考试2009年12月19日下午，联合国气候变化大会达成《哥本哈根协议》，为减少二氧化碳排放，我国城市公交推出新型节能环保电动车，在检测某款电动车性能的实验中，质量为8×102kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出图象（图中AB、BO均为直线），假设电动车行驶中所受的阻力恒定，则 ( BD )
A．在全过程中，电动车在B点时速度最大
B．BA过程电动车做匀加速运动
C．CB过程电动车作减速运动
D．CB过程电动车的牵引力的功率恒定
5. 河南省郑州47中高三上学期模拟如图所示，一个可以看作质点的物体以一定的初速度沿水平面由A点滑到B点，摩擦力做功大小为W；若该物体从C点以一定的初速度沿两个斜面滑到D点，两斜面用光滑小圆弧连接，摩擦力做功大小为W；已知该物体与各接触面的动摩擦因数均相同，则：( B )
A、W>W B、W=W C、W6. 广东省阳东广雅中学2012届高三模拟如图所示的水平传送带静止时，一个小物块A以某一水平初速度从传送带左端冲上传送带，然后从传送带右端以一个较小的速度V滑出传送带；若传送带在皮带轮带动下运动时，A物块仍以相同的水平速度冲上传送带，且传送带的速度小于A的初速度，则 ( AC )
若皮带轮逆时针转动，A物块仍以速度V离开传送带
B、若皮带轮逆时针方向转动，A物块不可能到达传送带的右端
C、若皮带轮顺时针方向转动，A物块离开传送带的速度仍然可能为V
D、若皮带轮顺时针方向转动，A物块离开传送带右端的速度一定大于V
7．广东省廉江三中2012届高三湛江一模质点所受的力F随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上．已知t = 0时质点的速度为零．在图示的t1、t2、t3和t4各时刻中，哪一时刻质点的动能最大 ( B )
A．t1 B．t2 C．t3 D．t4
8．山西省晋中市太谷中学2012届高三模拟质量为1kg的物体被人用手由静止向上提高1m，这时物体的速度是2m/s，下列说法中正确的是：（g=10m/s2） ( ACD )
A．手对物体做功12J B.合外力对物体做功12J
C．合外力对物体做功2J D.物体克服重力做功10J
9. 山东省实验中学2012届第一次诊断性测试将物体以60J的初动能竖直向上抛出，当它上升到某点P时，动能减为10J，机械能损失10J，若空气阻力大小不变，则物体落回到抛出点时的动能为 ( A )
A．36J B．40J C．48J D．50J
10. 广东省廉江三中2012届高三湛江一模设匀速行驶的汽车，发动机功率保持不变，则( AC )
A．路面越粗糙，汽车行驶得越慢
B．路面越粗糙，汽车行驶得越快
C．在同一路面上，汽车不载货比载货时行驶得快
D．在同一路面上，汽车不载货比载货时行驶得慢
11. 湖南师大附中2012届高三模拟将小球竖直上抛，经一段时间落回抛出点，若小球所受的空气阻力大小不变，对其上升过程和下降过程损失的机械能进行比较，下列说法中正确的是 （ C ）
A.上升损失的机械能大于下降损失的机械能
B.上升损失的机械能小于下降损失的机械能
C.上升损失的机械能等于下降损失的机械能
D.无法比较
12. 山东省潍坊市2012届高三上学期阶段性测试在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是（g为当地的重力加速度）（ D ）
A．他的动能减少了
B．他的重力势能增加了
C．他的机械能减少了
D．他的机械能减少了
13．沈阳市铁路实验中学2012届高三上学期阶段性考试如图所示，由电动机带动的水平传送带以速度为v=2.0m/s匀速运行，A端上方靠近传送带料斗中装有煤，打开阀门，煤以流量为Q=50kg/s落到传送带上，煤与传送带达共同速度后被运至B端，在运送煤的过程中，下列说法正确的是（ BC ）
A．电动机应增加的功率为100W
B．电动机应增加的功率为200W
C．在一分钟内因煤与传送带摩擦产生的热为6.0×103J
D．在一分钟内因煤与传送带摩擦产生的热为1.2×104J
14．江苏省盐城、泰州联考2012届高三学情调研如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则 （BD ）
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等；
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大；
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大；
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较大。
15. 陕西省西安高新一中2012届高三高考模拟如图所示，一质量为M，长为L的木板，放在光滑的水平地面上，在木板的右端放一质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与m、M连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ。开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F作用在M上，将m拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为（ D ）
A 2μmgL B C μ（M+m）gL D μmgL
二、非选择题
16．四川省内江市2012届高三二模模拟面对能源紧张和环境污染等问题，混合动力汽车应运而生。所谓混合动力汽车，是指拥有两种不同动力源（如燃油发动机和电力发动机）的汽车，既省油又环保。车辆在起步或低速行驶时可仅靠电力驱动；快速行驶或者需急加速时燃油发动机启动，功率不足时可由电力补充；在制动、下坡、怠速时能将机械能转化为电能储存在电池中备用。假设汽车质量为M，当它在平直路面行驶时，只采用电力驱动，发动机额定功率为P1，能达到的最大速度为v1；汽车行驶在倾角为θ的斜坡道上时，为获得足够大的驱动力，两种动力同时启动，此时发动机的总额定功率可达P2。已知汽车在斜坡上行驶时所受的阻力是在平直路面上的k倍，重力加速度为g。求汽车在斜坡道上能达到的最大速度。
解析：在平直路面行驶，汽车以功率P1匀速行驶时速度最大，设驱动力为F1，阻力为f，则
P1=F1v1 ①（3分）
F1=f ②（3分）
设汽车上坡时驱动力为F2，能达到的最大速度为v2，则
P2=F2v2 ③（3分）
F2 = Mgsinθ＋kf ④（4分）
由①②③④式解得
⑤（3分）
17. 山东省潍坊市2012届高三上学期阶段性测试如图，ABCD为一竖直平面的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10米，BC长1米，AB和CD轨道光滑。一质量为1千克的物体，从A点以4米/秒的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3m的D点速度为零。求：（g=10m/s2）
（1）物体与BC轨道的滑动摩擦系数。
（2）物体第5次经过B点时的速度。
（3）物体最后停止的位置（距B点）。
解：（1）分析从A到D过程，由动能定理得
（3分）
解得 （1分）
物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理得
（3分）
解得 （1分）
分析整个过程，由动能定理得
（2分）
解得s=21.6m （1分）
所以物体在轨道上来回了20次后，还有1.6m，故离B的距离为
（1分）
18. 湖南师大附中2012届高三模拟如图所示,光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R=0.5m的光滑半圆轨道.在距离B为x的A点,用水平恒定推力F=20N将质量为m=2kg的小球从静止开始推到B处后撤去水平推力,质点沿半圆轨道运动到最高点C处后又正好落回A点.则距离x的值应为多少？（ g=10m/s2）
19．江苏省黄桥中学2012届高三模拟如图所示，斜面体固定在水平面上，斜面光滑，倾角为，斜面底端固定有与斜面垂直的挡板，木板下端离地面高Ｈ，上端放着一个细物块。木板和物块的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力（k>1），断开轻绳，木板和物块沿斜面下滑．假设木板足够长，与挡板发生碰撞时，时间极短，无动能损失，空气阻力不计．求：
（1）木板第一次与挡板碰撞弹起上升过程中，物块的加速度；
（2）从断开轻绳到木板与挡板第二次碰撞的瞬间，木板运动的路程s；
（3）从断开轻绳到木板和物块都静止，摩擦力对木板及物块做的总功W．
解析：（1）设木板第一次上升过程中，物块的加速度为a物块
物块受合力 F物块=kmgsinθ－mgsinθ ①
由牛顿第二定律 F物块=ma物块 ②
由①②得 a物块=（k-1）gsinθ，方向沿斜面向上
（2）设以地面为零势能面，木板第一次与挡板碰撞时的速度大小为v1
由机械能守恒 解得
设木板弹起后的加速度a板 由牛顿第二定律 a板=–（k+1）gsinθ
S板第一次弹起的最大路程 解得
木板运动的路程 S= +2S1=
（3）设物块相对木板滑动距离为L 根据能量守恒 mgH+mg（H+Lsinθ）=kmgsinθL
摩擦力对木板及物块做的总功W=-kmgsinθL 解得
20．福建省福州八中2012届高三毕业班第三次质检如图所示，光滑斜面的长为L＝1 m、高为H＝0.6 m，质量分别为mA和mB的A、B两小物体用跨过斜面顶端光滑小滑轮的细绳相连，开始时A物体离地高为h＝0.5 m，B物体恰在斜面底端，静止起释放它们，B物体滑到斜面顶端时速度恰好减为零，求A、B两物体的质量比mA︰mB。
某同学解答如下：对A、B两物体的整个运动过程，由系统机械能守恒定律得mAgh―mBgH＝0，可求得两物体的质量之比……。
你认为该同学的解答是否正确，如果正确，请解出最后结果；如果不正确，请说明理由，并作出正确解答。
解：不正确。在A落地的瞬间地对A做功了，所以整个过程机械能不守恒。……（3分）
在A落地前由机械能守恒定律得：mAgh―mBgh sin ＝（mA＋mB）v2，……（4分）
在A落地后由机械能守恒定律得：mBg（L―h）sin ＝mBv2，…（4分）
由第二式可解得： v2＝2g（L―h）sin ＝6，
代入第一式得5mA―3mB＝3（mA＋mB），所以mA︰mB＝3。…………（3分）
21．江苏省赣榆一中2012届高三模拟如图所示，斜面和水平面由一小段光滑圆弧连接，斜面的倾角为37°，一质量为0.5kg的物块从距斜面底端B点5m处的A点由静止释放．已知物块与水平面和斜面的动摩擦因数均为0.3。 （sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2）
（1）物块在水平面上滑行的时间为多少？
（2）若物块开始静止在水平面上距B点10m 的C点处，用大小为4.5N的平恒力向右拉该物块，到B点撤去此力，物块第一次到A点时的速度为多大？
（3）若物块开始静止在水平面上距B点10m 的C点处，用大小为4.5N的水平恒力向右拉该物块，欲使物块能到达A点，水平恒力作用的最短距离为多大？
解答：（1）物块先沿斜面匀加速下滑，设AB长度为L，动摩擦因数为
下滑的加速度（1分）
到达B点时速度 （1分）
在水平面上物块做匀减速运动 （1分）
在水平面上运动的时间 （1分）
（2）设CB距离为，全过程用动能定理：
（3分）
解得： （2分）
（3）设力作用的最短距离为，根据动能定理可得：
（3分）
解得： （2分）
22. 上海市七校2012届高三下学期联考如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O2A、O1B与竖直方向的夹角均为＝37°。现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以Ek0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，tan18.5°=，cot18.5°=3）求：
（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能EK0至少多大？
（2）小球第二次到达D点时的动能；
（3）小球在CD段上运动的总路程。
解析：（1）R=Ltan18.5°+r=2m…………（1分）
Ek0＝mgR(1-cos)+ mgLsin +mgLcos…………（2分）
代入 解得Ek0＝48J…………（1分）
（2）小球第一次回到B点时的动能为：
EkB=mg2R-mgr(1+cos)-mgL=12J，小球沿AB向上运动到最高点，距离B点为s
则有：EkB=mgscos+mgssin，…………（2分）
代入 解得s=18/13m=1.38m…………（1分）
小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时动能为
=12.6J …………（2分）
（3）小球第二次到D点后还剩12.6J的能量，沿DP弧上升后再返回DC段，到C点只剩下2.6J的能量。因此小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点。（1分）
由动能定理： …………（2分）
可得小球在CD上所通过的路程为s＝3.78m…………（1分）
小球通过CD段的总路程为S总＝2L＋s＝9.78m…………（1分）
23. 广东省廉江三中2012届高三湛江一模预测题如图所示，质量为M=4kg的木板静止在光滑的水平面上，在木板的右端放置一个质量m=1kg大小可以忽略的铁块，铁块与木板之间的摩擦因数μ=0.4，在铁块上加一个水平向左的恒力F=8N，铁块在长L=6m的木板上滑动。取g=10m/s2。求：
（1）经过多长时间铁块运动到木板的左端．
（2）在铁块到达木板左端的过程中，恒力F对铁块所做的功．
（3）在铁块到达木板左端时，铁块和木板的总动能．
解：（1）铁块与木板间的滑动摩擦力 ①
铁块的加速度 ②
木板的加速度 ③
铁块滑到木板左端的时间为t，则 ④
代入数据解得： ⑤
（2）铁块位移 ⑥
木板位移 ⑦
恒力F做的功 ⑧
（3）方法一：
铁块的动能 ⑨
木板的动能 ⑩
铁块和木板的总动能 ⑾
方法二：
铁块的速度
铁块的动能
木板的速度
木板的动能
铁块和木板的总动能
（评分说明：①②③④⑥⑦⑧每项2分，⑤⑨⑩⑾每项1分）
-----------（2分）
24．江苏省赣榆一中2012届高三模拟总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v－t图，试根据图像求：（g取10m/s2）
（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。
（2）估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。
（3）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。
解析：（1）在0—2S内，运动员做匀加速运动
有： （3分）
又：根据牛顿第二定律： （3分）
(2)速度图线与时间轴所夹面积为下落高度 （2分）
根据动能定理有 （2分）
克服阻力做的功： （2分）
（3）总时间为 =70.67S （2分）
25．山东省实验中学2012届第一次诊断性测试如图甲，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑斜面，一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m的滑块从距离弹簧上端为s0由处静止释放，设滑块与弹簧接触过程中没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。
（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1
（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm过程中弹簧的弹力所做的功W
（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系图象。图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量。（本小题不要求写出计算过程）
解：（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有
mgsin=ma -----------2分
-----------2分
-----------2分
（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为，则有
-----------2分
从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得
-----------2分
-----------2分
（3）-----------2分
26. 湖南省长沙市一中·雅礼中学2012届高三模拟如图甲所示，某同学用轻绳通过定滑轮提升一重物，运用传感器（未在图中画出）测得此过程中不同时刻对轻绳的拉力F与被提升重物的速度v，并描绘出F-图象。假设某次实验所得的图象如图乙所示，其中线段AB与轴平行，它反映了被提升重物在第一个时间段内F和的关系；线段BC的延长线过原点（C点为实线与虚线的分界点），它反映了被提升重物在第二个时间段内F和的关系；第三个时间段内拉力F和速度v均为C点所对应的大小保持不变，因此图象上没有反映。实验中还测得重物由静止开始经过t=1.4s，速度增加到vC=3.0m/s，此后物体做匀速运动。取重力加速度g=10m/s2，绳重及一切摩擦和阻力均可忽略不计。
（1）在提升重物的过程中，除了重物的质量和所受重力保持不变以外，在第一时间段内和第二时间段内还各有一些物理量的值保持不变。请分别指出第一时间段内和第二时间内所有其他保持不变的物理量，并求出它们的大小；
（2）求被提升重物在第一时间段内和第二时间段内通过的总路程。
解释：⑴由v-图象可知，第一时间段内重物所受拉力保持不变，且F1＝6.0N
因第一时间段内重物所受拉力保持不变，所以其加速度也保持不变，设其大小为a，根据牛顿第二定律有F1-G=ma，重物速度达到vC=3.0m/s时，受平衡力，即G=F2=4.0N，由此解得重物的质量；联立解得 a =5.0m/s2 ；在第二段时间内，拉力的功率保持不变。
⑵设第一段时间为t1，重物在这段时间内的位移为x1，则，；设第二段时间为t2，t2=t-t1=1.0s；重物在t2这段时间内的位移为x2，根据动能定理有，解得 x2=2.75m
所以被提升重物在第一时间段内和第二时间段内通过的总路程 x= x1+ x2=3.15m
A
B
C
D
h
C
D
α
B
β
C
A
F/N
EQ \F(1,v) /s m-1
O
EQ \F(1,3.0)
EQ \F(1,2.0)
2
A
B
C
4
6
8
图乙
F
图甲
v机械能守恒
1.物体做自由落体运动，EK代表动能，EP代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面 .下列所示图象中，能正确反映各物理量之间的关系的是()
解析:设物体的质量为m，初态机械能为E0，则有EP=E0-mg2t2=E0-
mv2=E0-EK=E0-mgh.综上可知只有B对.
答案:B
2.如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m,静置于地面；b球质量为3m,用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为()
A.h
B.1.5h
C.2h
D.2.5h
解析:释放b后，b下落到地面，a上升高度h瞬间，a、b两者的速度相等，设为v，由机械能守恒得3mgh=mgh+mv2+×3mv2,则v=，之后a竖直上抛，继续上升的高度为h′,由h′=得h′=h,所以a上升的最大高度为h+h′=h,则B正确.
答案:B
3.一根长为l的不可伸长的轻绳，一端系一小球，另一端悬挂于O点.将小球拉起使轻绳拉直并与竖直方向在60°角，如图所示，在O点正下方有A、B、C三点，并且有hOA=hBC=hCD=
l.当在A处钉钉子时，小球由静止下摆，被钉子挡住后继续摆动的最大高度为hA；当在B处钉钉子时，小球由静止下摆，被钉子挡住后继续摆动的最大高度为hB；当在C处钉钉子时，小球由静止下摆，被钉子挡住后继续摆动的最大高度hC，则小球摆动的最大高度hA、hB、hC之间的关系是()
A.hA=hB=hC
B.hA＞hB＞hC
C.hA＞hB=hC
D.hA=hB＞hC
解析:设小球碰钉后恰好能做圆周运动的半径为R，在圆周运动的最高点处v=，
由动能定理有： mv2-0=mgh-mgh′.代入数据m()2-0=mglcos60°-mg2R,解得R=l
故小球绕C点能做圆周运动，绕AB两点均不能做圆周运动，由单摆运动机械能守恒可知，摆到左边的最大高度均等于原来高度hA=hB=，故选D.
答案:D
4.如图所示，固定在竖直平面内的光滑3/4圆弧轨道AB-CD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，AC为圆弧的一条水平直径，AE为水平面.现使小球自A点正上方O点处静止释放，小球从A点进入圆轨道后能通过轨道最高点D.则()
A.小球通过D点时速度可能为零
B.小球通过D点后，一定会落到水平面AE上
C.小球通过D点后，一定会再次落到圆轨道上
D.O点可能与D点等高
解析:由竖直面内圆周运动规律可知：小球既然能通过最高点则过最高点时速度不可能为零，其临界速度为v=,其中R为光滑圆弧轨道的半径.由机械能守恒可得mgH=mg2R+mv2，小球要通过最高点D，至少应从H=R处开始下落，因此AD错误；若小球刚好可以通过D点，则离开D点后做平抛运动，当下落R高度时，需要时间为t=，其水平位移为s=vt=,大于圆轨道的半径，故小球一定不会落到圆轨道上，只能落在水平面AE上，C错误；B正确.
答案:B
5.如图所示， A、B质量均为m，轻质小滑轮距光滑水平杆高度为H，开始时轻质细绳与杆夹角α=45°.释放B后，A、B同时开始运动，小滑轮绕轴无摩擦转动.则在A、B开始运动以后，下列说法正确的是()
A.A、B速度同时达到最大值
B.轻质细绳一直对B做负功
C.A能获得的最大动能为（-1）mgH
D.B将在竖直方向做简谐运动
解析:A的速度最大，动能最大，此时B的速度为零.由机械能守恒定律，得：EK=mg
(-H)=( -1)mgH.A错C对.当与A连接的细绳运动越过竖直方向后，轻质细绳对B做正功，B将在竖直方向做机械振动.但由于细绳拉力大小不与B对其平衡位置位移大小成正比，所以BD均错.
答案:C
6.一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示.开始时OA边处于水平位置.由静止释放，则()
A.A球的最大速度为2
B.A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C.A球的速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
D.A、B两球的最大速度之比vA:vB=2:1
解析:由机械能守恒可知，两球总重力势能最小时，动能最大，根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为vA?vB=(ω·2l)?(ω·l)=2:1，故选项B、D是正确的.当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒定律得：mg2lcosθ-2mgl（1-sinθ)=×2mv+mv可得：v=gl(sinθ+cosθ)- gl由数学知识知，当θ=45°时，sinθ+cosθ有最大值，故选项C是正确的，选项A是错误的.
答案:BCD
7.如图所示，物体沿30°的固定斜面以g (g为本地的重力加速度大小）的加速度匀减速上升，则在此过程中，物体的机械能是()
A.不变的
B.减小的
C.增加的
D.不能判断
解析:由物体上升的加速度为g，可知物体只受重力和支持力，支持力不做功，只有重力做功，所以物体的机械能守恒，A选项正确.
答案:A
8.光滑水平地面上叠放着两个物体A和B，如图所示，水平拉力F作用在物体B上，使A、B两物体从静止出发一起运动，经过时间t，撤去拉力F，再经过时间t，物体A、B的动能分别设为EA和EB，在运动过程中A、B始终保持相对静止.以下有几个说法：
①EA+EB等于拉力F做的功
②EA+EB小于拉力F做的功
③EA等于撤去拉力F前摩擦力对物体A做的功
④EA大于撤去拉力F前摩擦力对物体A做的功其中正确的是()
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
解析:由于A、B之间始终相对静止，故A、B之间没有相对运动，没有摩擦生热，所以拉力F做的功全部转化为A、B的动能.物体A获得的能量是在A、B加速过程中静摩擦力对A所做的功，故选项A是正确的.
答案:A
9.如图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m的质点在外力F的作用下，从坐标原点O由静止开始沿直线O N斜向下运动，直线O N与y轴负方向成θ角（θ＜π/4).则F大小至少为_______；若F=mgtanθ，则质点机械能大小的变化情况是_____________.
答案:mgsinθ机械能逐渐增加
10.如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
（2）整个运动过程中杆对A球所做的功.
解析:（1）由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒.两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有
2mg(h+sinθ)=2×mv2解得v=
（2）因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B球从高h处自由滑下的速度大，增加的动能就是杆对B做正功的结果.B增加的动能为
ΔEKB=mv2-mgh=mgLsinθ.
因为系统机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功数值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，即杆对A球做的功为
W=-mgLsinθ
答案: (1)v=
(2)W=-mgLsinθ
11.如图所示，将A、B两个砝码用细线相连，挂在定滑轮上，已知mA=0.2 kg,mB=0.05 kg.托起砝码A使其比砝码B的位置高0.2 m，然后由静止释放，不计滑轮的质量和摩擦，当两砝码运动到同一高度时，它们的速度大小为多少？
解析:AB组成的系统只有重力做功，所以机械能守恒.选B开始处的位置为重力势能参照面，A向下运动，B向上运动，在同一高度时速度也相同，mgh=(mA+mB)g+ (mB+mB)v2,解得v=1.1 m/s
答案:1.1 m/s
12.如图所示为荡秋千的示意图，最初人直立站在踏板上，两绳与竖直方向的夹角均为θ,人的重心到悬点O的距离为l1；从A点向最低点B运动的过程中，人由直立状态变为自然下蹲，在B点人的重心到悬点O的距离为l2;在最低点处，人突然由下蹲状态变成直立状态（人的重心到悬点O的距离恢复为l1），且保持该状态到最高点C.设人的质量为m，不计踏板和绳的质量，不计一切摩擦和空气阻力.求：
（1）人第一次到达最低点B还处于下蹲状态时，从身上掉下一件物品，问物品落地点到最低点的距离为多少？假设人在最低点时离地面高度为h.
（2）人第一次到达最高点C时，绳与竖直方向的夹角α为多大？（可用反三角函数表示；解答本问时不考虑超重和失重）
解析:（1）人从A点到B点（还处于下蹲状态）的过程中，设B点此时的速度为v
根据机械能守恒得mg(l2-l1cosθ)= mv2物品落地的时间为t，有h=gt2物品落地点的水平位移x=vt解得x=2则该点离最低点B的距离s= =
（2）人从B点保持直立状态到达C点的过程中，根据机械能守恒定律mv2=mgl1
(1-cosα)解得α=arccos(cosθ-)
答案：（1）
（2）α=arccos(cosθ-)机械能守恒
一、选择题
1.（09·全国卷Ⅱ·20）以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小物体。假定物块所受的空气阻力f大小不变。已知重力加速度为g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为 （ A ）
A．和 B．和
C．和 D．和
解析：本题考查动能定理.上升的过程中,重力做负功,阻力做负功,由动能定理得,,求返回抛出点的速度由全程使用动能定理重力做功为零,只有阻力做功为有,解得,A正确。
2.（09·上海物理·5）小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面。在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的两倍，在下落至离高度h处，小球的势能是动能的两倍，则h等于 （ D ）
A．H/9 B．2H/9 C．3H/9 D．4H/9
解析：小球上升至最高点过程：；小球上升至离地高度h处过程：，又；小球上升至最高点后又下降至离地高度h处过程：，又；以上各式联立解得，答案D正确。
3.（09·江苏物理·9）如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有 （ BCD ）
A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大
B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大
C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大
D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大
解析：处理本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题大大简化。对A、B在水平方向受力分析如图，F1为弹簧的拉力；当加速度大小相同为a时，对Ａ有，对Ｂ有，得，在整个过程中Ａ的合力（加速度）一直减小而Ｂ的合力（加速度）一直增大，在达到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于Ｂ的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于Ｂ的合力（加速度）。两物体运动的v-t图象如图，tl时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2时刻两物体的速度相等，Ａ速度达到最大值，两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长；除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能增加，tl时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值。
4.（09·广东理科基础·8）游乐场中的一种滑梯如图所示。小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则 （ D ）
A．下滑过程中支持力对小朋友做功
B．下滑过程中小朋友的重力势能增加
C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
解析：在滑动的过程中，人受三个力重力做正功，势能降低B错；支持力不做功，摩擦力做负功，所以机械能不守恒，AC皆错，D正确。
5.（09·广东理科基础·9）物体在合外力作用下做直线运动的v一t图象如图所示。下列表述正确的是（ A ）
A．在0—1s内，合外力做正功
B．在0—2s内，合外力总是做负功
C．在1—2s内，合外力不做功
D．在0—3s内，合外力总是做正功
解析：根据物体的速度图象可知，物体0-1s内做匀加速合外力做正功，A正确；1-3s内做匀减速合外力做负功。根据动能定理0到3s内，1—2s内合外力做功为零。
6. (09·广东文科基础·58) 如图8所示，用一轻绳系一小球悬于O点。现将小球拉至水 平位置，然后释放，不计阻力。小球下落到最低点的过程中，下列表述正确的是 （ A ）
A．小球的机械能守恒
B．小球所受的合力不变
C．小球的动能不断减小
D．小球的重力势能增加
7.（09·山东·18）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是 （ BC ）
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。
考点：机械能守恒定律，完全失重，万有引力定律
提示：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)不做功，且其他力做功之和不为零，则机械能不守恒。
根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由得，由得，由得，可求向心加速度。
8.（09·山东·22）图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是 （ BC ）
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
解析：受力分析可知，下滑时加速度为，上滑时加速度为，所以C正确。设下滑的距离为l，根据能量守恒有，得m＝2M。也可以根据除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)做的功之和等于系统机械能的变化量，B正确。在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D不正确。
考点：能量守恒定律，机械能守恒定律，牛顿第二定律，受力分析
提示：能量守恒定律的理解及应用。
二、非选择题
9.（09·全国卷Ⅰ·25）如图所示，倾角为θ的斜面上静止放置三个质量均为m的木箱，相邻两木箱的距离均为l。工人用沿斜面的力推最下面的木箱使之上滑，逐一与其它木箱碰撞。每次碰撞后木箱都粘在一起运动。整个过程中工人的推力不变，最后恰好能推着三个木箱匀速上滑。已知木箱与斜面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g.设碰撞时间极短，求
(1)工人的推力；
(2)三个木箱匀速运动的速度；
(3)在第一次碰撞中损失的机械能。
答案：（1）；（2）；（3）。
解析：(1)当匀速时,把三个物体看作一个整体受重力、推力F、摩擦力f和支持力.根据平衡的知识有
(2)第一个木箱与第二个木箱碰撞之前的速度为V1,加速度
根据运动学公式或动能定理有
,碰撞后的速度为V2根据动量守恒有,即碰撞后的速度为,然后一起去碰撞第三个木箱,设碰撞前的速度为V3
从V2到V3的加速度为,根据运动学公式有,得,跟第三个木箱碰撞根据动量守恒有,得就是匀速的速度.
设第一次碰撞中的能量损失为,根据能量守恒有,带入数据得。
10.（09·山东·24）如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为1，木板与地面间的动摩擦因数=0.2。（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板4时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求1 应满足的条件。
（3）若1=0。5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。
解析：（1）设货物滑到圆轨道末端是的速度为，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得，①设货物在轨道末端所受支持力的大小为,根据牛顿第二定律得，②
联立以上两式代入数据得③
根据牛顿第三定律，货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下。
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得⑤
联立④⑤式代入数据得⑥。
（3），由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动。设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为，由牛顿第二定律得⑦
设货物滑到木板A末端是的速度为，由运动学公式得⑧
联立①⑦⑧式代入数据得⑨
设在木板A上运动的时间为t，由运动学公式得⑩
联立①⑦⑨⑩式代入数据得。
考点：机械能守恒定律、牛顿第二定律、运动学方程、受力分析
11.（09·宁夏·36）两质量分别为M1和M2的劈A和B，高度相同，放在光滑水平面上，A和B的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如图所示，一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上，距水平面的高度为h。物块从静止滑下，然后双滑上劈B。求物块在B上能够达到的最大高度。
解析：设物块到达劈A的低端时，物块和A的的速度大小分别为和V，由机械能守恒和动量守恒得
①
②
设物块在劈B上达到的最大高度为，此时物块和B的共同速度
大小为，由机械能守恒和动量守恒得
③
④
联立①②③④式得
⑤
P
地球
Q
轨道1
轨道2机械能守恒
关于“机械能守恒”及其“变化规律”，“新课标”的讨论，显然以前者比后者为多。因此本文中，适当选取一些有“机械能变化”的问题进行分析和解决。
一、破解依据
㈢机械能变化规律（或功能原理）
⑴应用条件：重力或弹力之外的力（如牵引力、拉力、动摩擦力、介质阻力、电场力等）做功，
⑵变化方程：
①，即机械能的变化等于末、初机械能之差；若，则为机械能增加，如牵引力、拉力、电场动力做功；反之，则为减少，如滑动摩擦力、介质阻力、电场阻力做功。
②，，亦需明确各量意义。
㈣对于物体或系统机械能减少的问题，滑动摩擦力、介质阻力（或电场阻力）做的功等于机械能的减少，或等于内能（或电势能）的增加。如一对相互作用的滑动摩擦力做的功，等于系统产生的热量。
二、精选例题
[例题1]（09山东） 图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。 斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（ ）
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
[例题2](09江苏物理)如图—8所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有A ．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大
[例题3]（04辽宁）如图—9所示,ABCD是一个盆式容器,盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与
BC相切的圆孤,B、C为水平的,其距离d=0.50m.盆边缘的高度为h=0.30m.在A物处放一个质量为m的小块并让其从静止出发下滑.已知盆内侧壁是光滑的,而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ=0.10.小物块在盆内来回滑动,最后停下来,则停在地点到B的距离为（ ）
A. 0.50m B. 0.25m C. 0.10m D. 0
[例题4]（08海南）如图—10，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中，
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
[例题5] （08四川）一物体沿固定斜面从静止开始向下运动，经过时间t0滑至斜面底端。已知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分别表示该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能，则下列图象中可能正确的是
[例题6] （04广东）图—12中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止。滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为，求A从P出发时的初速度。
[例题7](08重庆)题图—13中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体，它对滑块的阻力可调.起初，滑块静止,ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.试求（忽略空气阻力）:
(1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；
(2)滑块向下运动过程中加速度的大小；
(3)滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小.
[例题8] (08全国Ⅰ)图—14中滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l1,开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角θ＝60°时小球达到最高点。求
（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；
（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小。
[例题9](07山东)如图—15所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。以知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ=0.5 ，A点离B点所在水平面的高度h=1.2m。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/s2,sin37°=0.6; cos37°=0.8
（1）若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？
（2）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。
（3）从滑块到达B点时起，经0.6s 正好通过C点，求BC之间的距离。
[例题10]（05广东）如图—16所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上，它们的间距s=2.88m。质量为2m，大小可忽略的物块C置于A板的左端。C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.10，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力。开始时，三个物体处于静止状态。现给C施加一个水平向右，大小为的恒力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起，要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？
[例题11]（04全国）如图—17所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A（视为质点）位于B的右端，A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C、B与C发生正碰。碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行，A与C有摩擦力。已知A滑到C的右端而未掉下。试问：从B、C发生正碰到A刚移到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍。
[例题12](04全国Ⅳ)如图—18，长木板ab的b端固定一档板，木板连同档板的质量为M=4.0kg，a、b间距离s=2.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块，其质量m=1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数，它们都处于静止状态。现令小物块以初速沿木板向前滑动，直到和档板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。
[例题13](09山东)如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为1，木板与地面间的动摩擦因数=0.2。（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板4时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求1 应满足的条件。
（3）若1=0。5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。
[例题14](09浙江) 某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.5w工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不记。图中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g=10m/s2 ）
[例题15](09安徽) 过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。
三、参考答案
1. BC.[解析]力分析可知，下滑时加速度为，上滑时加速度为，所以C正确。设下滑的距离为l，根据能量守恒(即内能的增加等于重力势能的减少)有 ，得m＝2M。也可以根据除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)做的功之和等于系统机械能的变化量，B正确。在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D不正确。
注：本例考察受力分析、牛顿第二定律、能量守恒定律的理解及应用。
2.BCD. [解析] 事实上, 由于系统受水平恒力的作用，因而系统质心做匀加速运动,物体A、B的运动均可视为由匀加速运动与振动合成的.设两者的加速度分别为a1、a2，其图象大致如图—？所示。
显然，由于有水平外力不断对系统做功，机械能将不断增大，故知A错。
由图可知，t1时刻加速度相等，加速度图象与时间轴所夹的面积之差（亦即）达到最大，故B正确。
显然，t2时刻物体A、B速度相等（亦即），所受弹簧的弹力均达到最大，弹簧的弹性势能必定最大，故知C、D选项均正确。
因此，本题答案为：BCD。
3、D 4、C 5、AD
6、[解析] 令A、B质量皆为m，A刚接触B时速度为（碰前），由功能关系，有
----------①
A、B碰撞过程中动量守恒，令碰后A、B共同运动的速度为有
------------------------ ②
碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用功能关系，有
---------③
此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有
----------------------------------- ④
由以上各式，解得 .
7、[解析]（1）设物体下落末速度为v0，由机械能守恒定律
可得
设碰后共同速度为v1，由动量守恒定律
2mv1=mv0
又得
不难求出，碰撞过程中系统损失的机械能
(2)设加速度大小为a,有
从而可得
（3）设弹簧弹力为FN，ER流体对滑块的阻力为FER
受力分析如图所示
由此，即可求出
8、[解析] ⑴小球第一次到达最低点时，滑快和小球的速度分别为v1和v 2，由机械能守恒定律得
--------①
小球由最低点向左摆动到最高点，由机械能守恒定律得
-----②
联立①②两式得：
v1=v2=---------------------------③
设所求的挡板阻力对滑块的冲量为Ｉ，规定动量方向向右为正，由动量定理可得
从而求出 --------④
⑵小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，设绳对小球的拉力做的功为Ｗ，由动能定理得 ---------⑤
联立③⑤式,可以求出
即绳对小球的拉力做的功大小为.
9、[解析] (1)滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得
代入数据,解得
（2）滑块在A点时的速度
从A到B的运动过程由动能定理
由此,求出在B点时的机械能
（3）由上式,可得滑块在B点时的速度
不难写出,滑块沿BC段向上运动时的加速度大小
以及返回时的速度大小
再由速度位移式和位移公式,即可求出BC间的距离
10[解析]首先,AC之间、A与地面之间的滑动静摩擦力分别为
-------------①
-------②
分析可知，A和C在F的作用下由相对静止向右加速运动,由动能定理得
--------------③
其次，而在A、B两木板碰撞的瞬间, 内力远大于外力，再由动量守恒定律得
----------------------④
在A、B碰撞结束后到三个物体达到共同速度v3的相互作用过程中,C物体刚好到达B板右端,设木板向前移动的位移为s1,对整体外力之和为零，,由动量守恒定律得
--------------⑤
然后，对AB两木板，再由动能定理得
------------⑥
其与水平地面之间的滑动摩擦力 ----------------------------⑦
再设木板的长度为l,对C物体,同理又得
--------⑧
联立③④⑤⑥⑦⑧式，即可求出“使C最终不脱离木板，每块木板的长度”为
11[解析] 首先,设A、B、C的质量均为m。碰撞前，A与B的共同速度为v0，碰撞后B与C的共同速度为v1。对B、C，由动量守恒定律得
mv0 =2mv1 ----------------①
再设A滑至C的右端时，三者的共同速度为v2。对A、B、C，由动量守恒定律得
2mv0=3mv2 ---------------②
然后,设A与C的动摩擦因数为μ，从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为s，对B、C动摩擦力做正功,由动能定理得
------------ ③
再设C的长度为l，对A动摩擦力做负功，由动能定理又得
-------------④
最后,由以上各式解得
12[解析] 设木块和物块最后共同的速度为v，由动量守恒定律
------------------------①
设全过程损失的机械能为E，
-------------②
用s1表示从物块开始运动到碰撞前瞬间木板的位移，W1表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功。用W2表示同样时间内摩擦力对物块所做的功。用s2表示从碰撞后瞬间到物块回到a端时木板的位移，W3表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功。用W4表示同样时间内摩擦力对物块所做的功。用W表示在全过程中摩擦力做的总功，则
W1=------------------------③
W2=--------------④
W3=----------------------⑤
W4= ---------------⑥
W=W1+W2+W3+W4
用E1表示在碰撞过程中损失的机械能，则
E1=E－W -------------------------⑦
由①—⑦式解得
---------⑧
最后，代入数据求出 E1=2.4J -------------------------------⑨
设货物滑到木板A末端是的速度为，由运动学公式得
-----------⑧，
联立①⑦⑧式代入数据得
--------------⑨，
设在木板A上运动的时间为t，由运动学公式得
----------------⑩，
联立①⑦⑨⑩式代入数据得。
14.[解析]本题考查平抛、圆周运动和功能关系。
设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律
解得
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律
解得 m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能原理
由此可得 t=2.53s
由⑥⑦⑧得
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理
解得
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
解得 R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
或
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则
图—8
图—2
图—9
O
图—10
图—14机械能守恒
1. 2010·江苏物理·8如图所示，平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小，先让物块从A由静止开始滑到B。然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A。上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有
A． 物块经过P点的动能，前一过程较小
B． 物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少
C．物块滑到底端的速度，前一过程较大
D．物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长
答案：AD
2. 2010·福建·17如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图（乙）所示，则
A.时刻小球动能最大
B. 时刻小球动能最大
C. ~这段时间内，小球的动能先增加后减少
D. ~这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
答案：C
3. 2010·新课标·16如图所示，在外力作用下某质点运动的v-t图象为正弦曲线.从图中可以判断
A、在时间内，外力做正功
B、在时间内，外力的功率逐渐增大
C、在时刻，外力的功率最大
D、在时间内，外力做的总功为零
答案：AD，
解析：选项B错误，根据P=Fv和图象斜率表示加速度，加速度对应合外力，外力的功率先减小后增大。选项C错误，此时外力的功率为零。
4. 2010·上海物理·18如图为质量相等的两个质点在同一直线上运动的图像，由图可知
（A）在时刻两个质点在同一位置
（B）在时刻两个质点速度相等
（C）在时间内质点比质点位移大
（D）在时间内合外力对两个质点做功相等
答案：BCD
解析：首先，B正确；根据位移由图像中面积表示，在时间内质点B比质点A位移大，C正确而A错误；根据动能定理，合外力对质点做功等于动能的变化，D正确；本题选BCD。
本题考查图象的理解和动能定理。对D，如果根据W=Fs则难判断。
难度：中等。
5. 2010·安徽·14
6. 2010·上海物理·25如图，固定于竖直面内的粗糙斜杆，在水平方向夹角为，质量为m的小球套在杆上，在大小不变的拉力作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端，为使拉力做功最小，拉力F与杆的夹角a=____，拉力大小F=_____。
【解析】，，，。因为没有摩擦力，拉力做功最小。
本题考查力的分解，功等。难度：中等。
7. 2010·全国卷Ⅱ·24如图，MNP 为整直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N、P端
固定一竖直挡板。M相对于N的高度为h，NP长度为s.一木块自M端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨道上某处。若在MN段的摩擦可忽略不计，物块与NP段轨道间的滑动摩擦因数为，求物块停止的地方与N点距离的可能值。
【答案】物块停止的位置距N的距离可能为或
【解析】根据功能原理，在物块从开始下滑到停止在水平轨道上的过程中，物块的重力势能的减少与物块克服摩擦力所做功的数值相等。
①
设物块的质量为m，在水平轨道上滑行的总路程为s′，则
②
③
连立①②③化简得
④
第一种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，在N前停止，则物块停止的位置距N的距离为
⑤
第一种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，可再一次滑上光滑圆弧轨道，滑下后在水平轨道上停止，则物块停止的位置距N的距离为
⑥
所以物块停止的位置距N的距离可能为或。
8. 2010·江苏物理·14在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的指点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角=，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取中立加速度， ，
求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；
若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水碓选手的平均浮力，平均阻力，求选手落入水中的深度；
若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。
答案：
9. 2010·上海物理·31倾角，质量M=5kg的粗糙斜面位于水平地面上，质量m=2kg的木块置于斜面顶端，从静止开始匀加速下滑，经t=2s到达底端，运动路程L=4m,在此过程中斜面保持静止（），求：
（1）地面对斜面的摩擦力大小与方向；
（2）地面对斜面的支持力大小
（3）通过计算证明木块在此过程中满足动能定理。
重力做功：
摩擦力做功：
合力做功或外力对木块做的总功：
动能的变化
所以，合力做功或外力对木块做的总功等于动能的变化（增加），证毕。机械能守恒
【知识点】：一、功
做功两个必要因素：力和力的方向上发生位移。
功的计算：
3、正功和负功：①当o≤a＜π/2时，cosa>0，w>o，表示力对物体做正功。
②当a=π/2时，cosa=0，w=0，表示力对物体不做功(力与位移方向垂直)。
③当π/2＜a≤π时，cosa<0，w<0，表示为对物体做负功。
求合力做功：
先求出合力，然后求总功，表达式为W总=F合L cosθ（为合力与位移方向的夹角）
合力的功等于各分力所做功的代数和，即 W总 =W1+W2+W3+-------
例题、如图1所示，用力拉一质量为m的物体，使它沿水平匀速移动距离s，若物体和地面间的摩擦因数为μ，则此力对物体做的功为（ ）
A．μmgs
B．μmgs/（cosα+μsinα）
C．μmgs/（cosα-μsinα）
D．μmgscosα/（cosα+μsinα）
功率
定义式： ，所求出的功率是时间t内的平均功率。
计算式： ，其中θ是力与速度间的夹角。用该公式时，要求F为恒力。
1）当v为瞬时速度时，对应的P为瞬时功率；
2）当v为平均速度时，对应的P为平均功率
3）若力和速度在一条直线上，上式可简化为
机车起动的两种理想模式 1）以恒定功率启动
2）以恒定加速度 a 启动
重力势能
重力势能表达式：
重力做功： （重力做功与路径无关,只与物体的初末位置有关）
弹性势能
弹性势能表达式： （为弹簧的型变量）
五、动能定理
（1）动能定理的数学表达式为：
（2）动能定理应用要点
①外力对物体所做的总功，既等于合外力做的功，也等于所有外力做功的代数和。
②不管是否恒力做功，也不管是否做直线运动，该定理都成立；对变力做功，应用动能定理更方便、更迅捷。
③动能定理涉及一个过程，两个状态。所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功，若物体运动过程中包括几个物理过程，物体的运动状态、受力情况等均发生变化，因此在考试外力做功时，可以分段考虑，也可视全过程为一个过程；两个状态是指初末两个状态的动能。
④动能定理只对惯性参考系成立，表达式中每一物体的速度都应相对于同一参考系，这个参考系一般是地球．
⑤动能定理解题，由于它不涉及运动过程中的加速度、时间和中间状态的速度，一般比应用牛顿第二定律结合运动学公式解题要简便且应用范围更广，即可解直线运动，又可解曲线运动；即能解匀变速运动，又能解非匀变速运动．
（3）应用动能定理解题的步骤
①确定研究对象和研究过程。研究对象既可以是单个物体，也可以是系统。如果是单个物体，只要考虑所有外力做的功；（如果是系统，则要考虑系统内、外所有力做的功。）
②对研究对象进行受力分析。并确定各力的做功情况。
③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
④写出物体的初、末动能。
⑤按照动能定理列式求解。
六、机械能守恒定律
（1）机械能守恒定律的两种表述
①在只有重力或弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。
②如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。
（2）机械能守恒的条件：
首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．
机械能守恒的条件：只有重力和或只有弹簧弹力做功（即没有发生机械能与其他形式能的转化），具体有以下三种情况:只有重力和弹力作用,没有其他力作用；有重力、弹力以外的力作用,但这些力不做功；有重力、弹力以外的力做功,但这些力做功的代数和为零
（3）对机械能守恒定律的理解：
①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。
②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。
③对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失，碰撞后两物体粘在一起的过程中一定有机械能损失。
（4）机械能守恒定律的各种表达形式
①，即；
②；；
用①时，需要规定重力势能的参考平面。用②时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。
（5）解题步骤
①确定研究对象和研究过程。
②判断机械能是否守恒。
③选定一种表达式，列式求解。
（6）理解势能 势能与相互作用的物体之间的相对位置有关，是系统的状态量。例如重力势能与物体相对地面的高度有关，弹性势能与物体的形变有关。势能的大小与参考点（此处势能为零）的选取有关，但势能的变化与参考点无关。重力势能的变化与重力做功的关系是WG=Ep1－Ep2=mgh1－mgh2；弹性势能的变化与弹簧做功有类似的关系。要区分重力做功WG=mgh中的“h”和重力势能Ep=mgh中的“h”，前者是始末位置的高度差，后者是物体相对参考面的高度。
七、功能关系
（1）功是能的转化的量度：
做功的过程就是能量转化的过程，做功的数值就是能量转化的数值．不同形式的能的转化又与不同形式的功相联系．
（2）力学领域中功能关系的几种主要表现形式：
①合外力对物体所做的功等于物体动能的增量． W合=Ek2一Ek1（动能定理）
②只有重力做功（或弹簧的弹力）做功，物体的动能和势能相互转化，物体的机械能守恒。
③重力功是重力势能变化的量度,即WG=－ΔEP重＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末
④弹力功是弹性势能变化的量度，即：W弹＝一△EP弹＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末
⑤除了重力，弹力以外的其他力做功是物体机械能变化的量度，即：W其他=E末一E初
⑥一对滑动摩擦力对系统做总功是系统机械能转化为内能的量度，即：f·S相＝Q
（3）理解“摩擦生热”
图1机械能守恒
一、选择题
1.（08全国Ⅱ18）如右图,一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各系一小
球a和b.a球质量为m,静置于地面；b球质量为3m,用手托往,高度为h,此时轻绳刚好拉紧.
从静止开始释放b后,a可能达到的最大高度为 ( )
A.h B.1.5h C.2h D.2.5h
答案 B
解析 b着地前,根据牛顿第二定律：
对于b：3mg-T=3ma ①
对于a：T-mg=ma ②
①、②式相加得：2mg=4ma,a=,v2=2ah
b着地后,a做竖直上抛运动,v2=2gh1
设最大高度为H,则H=h+h1
所以
2.(08宁夏理综18)一滑块在水平地面上沿直线滑行,t=0时其速度为1 m/s.从此刻开始滑块运动方向上再施加一水平面作用力F,力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图a和图b所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3,则以下关系式正确的是 （ ）
A. W1=W2=W3 B.W1答案 B
解析 由v-t图象可知第1秒内、第2秒内、第3秒内的力和位移均为正方向,
所以：W1〈W2〈W3.
3.(08重庆理综17)下列与能量有关的说法正确的是 （ ）
A.卫星绕地球做圆周运动的半径越大,动能越大
B.从同种金属逸出的光电子的最大初动能随照射光波长的减小而增大
C.做平抛运动的物体在任意相等时间内动能的增量相同
D.在静电场中,电场线越密的地方正电荷的电势能一定越高
答案 B?
解析 卫星绕地球做圆周运动的向心力由卫星与地球之间的万有引力提供,即,由此式可得,故r越大,卫星动能越小,故A错.光电子的最大初动能,故随波长的减小而增大,B对.
在平抛运动的过程中t时刻后任取一小段时间为Δt,故t时刻竖直方向的分速度为vt,t+Δt时刻竖直方向的分速度为vt+Δt,其动能增量为,化简可得,由此可知,就算Δt相同,ΔEK仍随t的增大而增大,故C错.如正电荷处于负电荷产生的电场中,电场线越密的地方,正电荷的电势能越低,故D错.
4.(08四川理综18)一物体沿固定斜面从静止开始向下运动,经过时间t0滑至斜面底端.已知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定.若用F、v、s和E分别表示该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能,则下列图象中可能正确的是 ( )
答案 AD?
解析 合力是恒定的,速度随时间线性增加,位移增加但与时间是二次函数关系,根据机械能守恒知E=E0-
μmgs=E0-μgF合t2,可见机械能随时间增大而减小,且与时间是二次函数关系.
5.(08广东理科基础11)一个25 kg的小孩从高度为3.0 m的滑梯顶端由静止开始滑下,滑到底端时的速度为
2.0 m/s.取g=10 m/s2,关于力对小孩做的功,以下结果正确的是 ( )
A.合外力做功50 J B.阻力做功500 J C.重力做功500 J D.支持力做功50 J? 答案 A?
解析 由动能定理得,由能量守恒得,阻力做功,,支持力不做功.
6.(08江苏5)如图所示,粗糙的斜面与光滑的水平面相连接,滑块沿水平面以度
v0运动,设滑块运动到A点的时刻为t=0,距B点的水平距离为x,水平速度为
vx.由于v0不同,从A点到B点的几种可能的运动图象如下列选项所示,其中
表示摩擦力做功最大的是 （ ）
答案 D?
解析 A、C图表示物体水平方向速度不变,说明从A点做平抛运动.B图说明先平抛一段落在斜面上,相碰后又脱离斜面运动.D图说明滑块沿斜面下滑.所以D表示摩擦力做功最大.
7.（08江苏9）如图所示,一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定
在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3m的a球置于地面上,质量为m的b球从水平
位置静止释放,当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是
( )
A.θ=90°
B.θ=45°
C.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小
D.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大
答案 AC?
解析 b球下摆过程中,竖直方向速度先增大后减小,重力功率P=mgv⊥先增大后减小.a对地面的压力刚好为零,说明绳的拉力T=3mg,对b球设绕行半径为r,在最低点时,mgr=mvT′-mg=得T′=T=3mg所以b在最低点时,a球恰好对地面压力为零.
8.(08广东3)运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程,将人和伞看成一个系统,在这两个过程中,下列说法正确的是 ( )
A.阻力对系统始终做负功 B.系统受到的合外力始终向下
C.重力做功使系统的重力势能增加 D.任意相等的时间内重力做的功相等
答案 A?
解析 运动员无论是加速下降还是减速下降,阻力始终阻碍系统的运动,所以阻力对系统始终做负功,故选项A正确;运动员加速下降时系统受到的合外力向下,减速下降时系统所受的合外力向上,故选项B错误;由W?G=-ΔEp知,运动员下落过程中重力始终做正功,系统重力势能减少,故选项C错误;运动员在加速下降和减速下降的过程中,任意相等时间内所通过的位移不一定相等,所以任意相等时间内重力做功不一定相等,故选项D错误.
二、非选择题
9.(08江苏11)某同学利用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律,弧形轨道末
端水平,离地面的高度为H,将钢球从轨道的不同高度h处静止释放,钢球的落点
距轨道末端的水平距离为s.
（1）若轨道完全光滑,s2与h的理论关系应满足s2= （用H、h表示）.
（2）该同学经实验测量得到一组数据,如下表所示：
h(10-1 m) 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
s2(10-1 m2) 2.62 3.89 5.20 6.53 7.78
请在坐标纸上作出s2-h关系图.
（3）对比实验结果与理论计算得到的s2-h关系图线（图中已画出）,
自同一高度静止释放的钢球,水平抛出的速率 （填“小
于”或“大于”）理论值.
（4）从s2-h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著,你
认为造成上述偏差的可能原因是
.
答案 （1）4Hh （2）见下图 （3）小于 （4）摩擦,转动（回答任一即可）
解析 （1）由机械能守恒mgh=mv2 ①
由平抛运动规律s=vt ②
H=gt2 ③
由①②③得s2=4Hh.
（2）根据表中数据描出s2-h关系如图.
（3）由图中看出在相同h下,水平位移s值比理论值要小,由s=vt=v,说明水平抛出的速率比理论值小.
（4）水平抛出的速率偏小,说明有机械能损失,可能因为摩擦,或在下落过程中小球发生转动.
10.(08全国Ⅱ23) 如右图,一质量为M的物块静止在桌面边缘,桌面离水平地面的高
度为h.一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后,以水平速度v0/2射出.重力
加速度为g.求:
（1）此过程中系统损失的机械能；
（2）此后物块落地点离桌面边缘的水平距离.
答案 (1)(3-)mv02 (2)
解析 (1)设子弹穿过物块后物块的速度为v,由动量守恒定律得
mv0=m+Mv ①
解得v=v0 ②
系统的机械能损失为
ΔE=mv02 -[m()2 +Mv2] ③
由②③式得ΔE=(3-)mv02 ④
(2)设物块下落到地面所需时间为t,落地点距桌面边缘的
水平距离为s,则h=gt2 ⑤
s=vt ⑥
由②⑤⑥式得s= ⑦
11.(08重庆理综24)如图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒,筒中有一个劲度为k
的轻弹簧,其下端固定,上端连接一质量为m的薄滑块,圆筒内壁涂有一层新型智能材
料——ER流体,它对滑块的阻力可调.起初,滑块静止,ER流体对其阻力为0,弹簧的
长度为L.现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下,与滑块碰撞后粘在一起
向下运动.为保证滑块做匀减速运动,且下移距离为时速度减为0,ER流体对滑
块的阻力须随滑块下移而变.试求（忽略空气阻力）
（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能;
（2）滑块向下运动过程中加速度的大小;
（3）滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小。
答案 (1)mgL (2) (3)mg+-kd
12.(08广东17)为了响应国家的“节能减排”号召,某同学采用了一个家用汽车的节能方法.在符合安全行驶要求的情况下,通过减少汽车后备箱中放置的不常用物品和控制加油量等措施,使汽车负载减少.假设汽车以
72 km/h的速度匀速行驶时,负载改变前、后汽车受到的阻力分别为2 000 N和1 950 N.请计算该方法使汽车发动机输出功率减少了多少？
答案 1×103W?
解析 （1）设汽车的牵引力大小为F,汽车所受阻力大小为f,汽车速度为v.
汽车做匀速运动,所以F=f ①
发动机的输出功率P=Fv ②
由①②得
ΔP=（f1-f2）v=(2000-1950)×W?
=1×103W?机械能守恒
一、难点形成原因：
1、对功的概念及计算方法掌握不到位
高中学生刚接触矢量与标量，对功有正负但又是标量不能理解，而在计算的时候，又不能准确应用公式，误以为计算功套上该公式就万事大吉，岂不知该公式一般仅仅适用于恒力做功。
2、不能灵活运用动能定理
动能定理是高中物理中应用非常广泛的一个定理，应用动能定理有很多优点，但是同学对该定理理解不深，或者不能正确的分析初、末状态，或者不能正确的求出合外力的功，或者不能正确的表示动能变化量，导致对该规律的应用错误百出。
3、对守恒思想理解不够深刻
在高中物理学习过程中，既要学习到普遍适用的守恒定律——能量守恒定律，又要学习到条件限制下的守恒定律——机械能守恒定律。学生掌握守恒定律的困难在于：对于能量守恒定律，分析不清楚哪些能量发生了相互转化，即哪几种能量之和守恒；而对于机械能守恒定律，又不能正确的分析何时守恒，何时不守恒。
4、对功和能混淆不清
在整个高中物理学习过程中，很多同学一直错误的认为功与能是一回事，甚至可以互相代换，其实功是功，能是能，功和能是两个不同的概念，对二者的关系应把握为：功是能量转化的量度。
二、难点突破：
1、加深对功概念的理解、掌握功的常用计算方法
功是力对位移的积累，其作用效果是改变物体的动能，力做功有两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上的位移，这两个因素同时存在，力才对物体做功。尤其要明确，功虽有正负，但功是标量，功的正负不表示方向，仅仅是表示力做正功还是克服力做功。
功的常用计算方法有以下几种：
（1）功的公式：，其中是力的作用点沿力的方向上的位移，该公式主要用于求恒力做功和F随做线性变化的变力功（此时F须取平均值）
（2）公式，适用于求恒力做功，也适用于求以恒定功率做功的变力功。
（3）由动能定理求恒力做功，也可以求变力做功。
（4）根据F-s图象的物理意义计算力对物体做的功，如图5-1所示，图中阴影部分面积的数值等于功的大小，但要注意，横轴上方的面积表示做正功，横轴下方的面积表示做负功。
（5）功是能量转化的量度，由此，对于大小、方向都随时变化的变力F所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解。
例1：如图5-2所示，质量为m的小物体相对静止在楔形物体的倾角为θ的光滑斜面上，楔形物体在水平推力F作用下向左移动了距离s，在此过程中，楔形物体对小物体做的功等于( ).
A．0 B．mgscosθ C．Fs D．mgstanθ
【审题】在审查该题时，一定要注意到两点：一是小物体与楔形物体相对静止，二是接触面光滑。
【解析】因为接触面光滑，所以小物体只受重力和斜面的支持力，又小物体随楔形物体一起向左移动，故二力合力方向水平向左，即重力和支持力的竖直分力平衡，小物体所受的合外力就是楔形物体对小物体支持力的水平分力，该力大小为mgtanθ，又物体向左移动了距离s，所以做功为mgstanθ，答案应选D。
【总结】利用楔形物体对小物体的支持力的竖直方向的分力与重力平衡条件，可求出支持力的大小，从而求出支持力的水平分力大小。
例2：一辆汽车在平直公路上从速度v0开始加速行驶，经时间t后，前进了距离s,此时恰好达到其最大速度vmax,设此过程中发动机始终以额定功率P工作，汽车所受阻力恒为F,则在这段时间里，发动机所做的功为( ).
A．Fs B．Pt
C．mv2max+Fs-mv02 D．F··t
【审题】审题中要注意到，此过程中发动机始终以额定功率工作，这样牵引力大小是变化的，求牵引力的功就不能用公式，而要另想他法。
【解析】因为发动机额定功率为P，工作时间为t,故发动机所做的功可表示为Pt，B正确；还要注意到求发动机的功还可以用动能定理，即W- Fs = mv2max-mv02，所以W= mv2max+Fs-mv02 ，C正确，所以本题答案应选BC。
【总结】本题易错之处就在于容易把牵引力分析成恒力，而应用W=Fs求解。
例3：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
【审题】可根据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代，也可进行类比迁移，采用类似根据匀变速直线速度-时间图象求位移的方式，根据F-x图象求功.
两次做功相等：W1=W2.
解后有：x2=x1=1.41 cm,
Δx=x2-x1=0.41 cm.
解法二：（图象法）
因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象（如图5-4所示），曲线上面积的值等于F对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有：
S1=S2（面积），即：
kx12=k（x2+x1）（x2-x1）,
所以Δx=x2-x1=0.41 cm
【总结】利用平均力求力做的功，或者利用F-x图象求面积得到力做的功，这两种方法应用不多，但在探究问题时应用较大，比如探究弹簧弹力做功的特点就可以用这两种方法。
2、深刻理解动能定理，充分利用其优越性
动能定理不涉及物体运动过程中的细节，因此用它处理某些问题一般要比应用牛顿第二定律和运动学公式更为方便，同时它还可以解决中学阶段用牛顿运动定律无法求解的一些变力问题和曲线运动问题，因此能用动能定理解决的问题（尤其是不涉及加速度和时间的问题）应尽量用动能定理解决。
应用动能定理解决问题时，要注意以下几点：
（1）．对物体进行正确的受力分析，一定要做到不漏力，不多力。
（2）．分析每个力的做功情况，弄清每个力做不做功，是做正功还是负功，总功是多少。
（3）．有的力不是存在于物体运动的全过程，导致物体的运动状态和受力情况都发生了变化，物体的运动被分成了几个不同的过程，因此在考虑外力做功时，必须看清该力在哪个过程做功，不能一概认为是全过程做功。
（4）．当物体的运动由几个物理过程组成时，若不需要研究全过程的中间状态时，可以把这几个物理过程看成一个整体过程，从而避免分析每个运动过程的具体细节，这时运用动能定理具有过程简明、方法巧妙、计算简单等优点。
例4：一列火车由机车牵引沿水平轨道行使，经过时间t，其速度由0增大到v。已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力。求：这段时间内列车通过的路程。
【审题】以列车为研究对象，水平方向受牵引力F和阻力f，但要注意机车功率保持不变，就说明牵引力大小是变化的，而在中学阶段用功的定义式求功要求F是恒力。
【解析】以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力,设列车通过路程为s。根据动能定理：
【总结】发动机的输出功率P恒定时，据P = F·V可知v变化，F就会发生变化，牵引力F变化，a变化。应对上述物理量随时间变化的规律有个定性的认识，下面通过图象给出定性规律。（如图5-5所示）
例5：某地强风的风速是20m/s，空气的密度是=1.3kg/m3。一风力发电机的有效受风面积为S=20m2，如果风通过风力发电机后风速减为12m/s，且该风力发电机的效率为=80%，则该风力发电机的电功率多大？
【审题】风通过风力发电机后速度减小说明风的动能转化为电能，但要注意到减少的动能并没有全部转化为电能，还有一个效率问题。
【解析】风力发电是将风的动能转化为电能，讨论时间t内的这种转化，这段时间内通过风力发电机的空气是一个以S为底、v0t为高的横放的空气柱，其质量为m=Sv0t，它通过风力发电机所减少的动能用以发电，设电功率为P，则
代入数据解得 P=53kW
【总结】解决该类问题，要注意研究对象的选取，可以选择t时间内通过风力发电机的空气为研究对象，也可以选择单位时间内通过风力发电机的空气为研究对象，还可以选择单位长度的空气为研究对象。
例6：如图5-6所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行.设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长.求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s.
【审题】该题中滑块初速度沿斜面向上，而且是一个多次碰撞问题，所以不可能用运动学公式解决，而每次碰撞没有能量损失就暗示了可以考虑应用动能定理。
【解析】选取滑块为研究对象，因为重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，所以滑块最终一定停在挡板上，在此过程中，只有重力和摩擦力对滑块做功，故由动能定理可得：
所以：s=
【总结】取全过程进行分析，应用动能定理解决该问题，可使该问题大大简化，但一定注意分析力做功的特点，此题中，重力做正功且与路径无关，摩擦力总做负功，与路程成正比。
3、紧扣守恒条件，抓住初末状态，体现守恒法优越性
在物理变化的过程中，常存在着某些不变的关系或不变的量，在讨论一个物理变化过程时，对其中的各个量或量的变化关系进行分析，寻找到整个过程中或过程发生前后存在着的不变关系或不变的量，则成为研究这一变化的过程的中心和关键。这就是物理学中最常用到的一种思维方法——守恒法。高中阶段涉及到的守恒量主要有普遍意义的“能量”和条件限制下的“机械能”，这里主要阐述一下机械能守恒定律的应用。
首先是机械能是否守恒的判断，这是能否应用机械能守恒定律的前提。机械能守恒的条件是：只有重力或弹力做功。这句话本身很笼统，事实上可以这样理解，要分析一个物体机械能是否守恒，可先对该物体进行受力分析，若该物体只受重力或弹力作用，则该物体机械能一定守恒，若受到其他的力，则看其他力是否做功，若其他力不做功，则机械能也守恒，若其他力也做功，再看这些力做功的代数和是否为零，若做功的代数和为零，则机械能同样守恒。有时对系统来讲，力做功的情况不好判断，还可从能量转化角度来判断，若系统内只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则系统的机械能守恒。
判断清楚机械能守恒后，就可以根据机械能守恒的表达式列方程解决问题了，机械能守恒的表达式主要有以下几种：
（1） 即机械能守恒的过程中，任意两个状态的机械能总量相等。
（2） 即机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。
（3） 即由两部分A、B组成的系统机械能守恒时，A部分增加（或减少）的机械能等于B部分减少（或增加）的机械能。
以上各式均为标量式，后两个表达式研究的是变化量，无需选择零势能面，有些问题利用它们解决显得非常方便，但一定要分清哪种能量增加，哪种能量减少，或哪个物体机械能增加，哪个物体机械能减少。
而对于能量守恒定律可从以下两个角度理解：
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
例7：如图5-7所示，一根长为l的轻绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球．用外力把小球提到图示位置，使绳伸直，并在过O点的水平面上方，与水平面成30°角．从静止释放小球，求小球通过O点正下方时绳的拉力大小。
【审题】对本题要进行层层深入的分析方式，不要忽视了悬绳从伸直到对小球有拉力为止的短暂过程中，机械能的损失，不能直接对小球从初位置到末位置列机械能守恒的方程求最低点速度。
【解析】选小球为研究对象，其运动过程可分为三个阶段如图5-8所示：
（1）从A到B的自由落体运动．
据机械能守恒定律得：mgl=mvB2
(2)在B位置有短暂的绳子对小球做功的过程，小球的速度由竖直向下的vB变为切向的vB′,动能减小．
则有：vB′=vBcos30°
(3)小球由B点到C点的曲线运动，机械能守恒
则有：mvB/2+mgl(1-cos60°)= mvC2
在C点由牛顿第二定律得
T-mg=m
联立以上方程可解得： T=mg
【总结】在分析该题时一定要注意绳在绷紧瞬间，有机械能损失，也就是说整个过程机械能并不守恒，不能由全过程机械能守恒定律解决该问题，但是在该瞬间之前和之后的两个过程机械能都是守恒的，可分别由机械能守恒定律求解。
例8：如图5-9所示，有一根轻杆AB，可绕O点在竖直平面内自由转动，在AB端各固定一质量为m的小球，OA和OB的长度分别为2a和a，开始时，AB静止在水平位置，释放后，AB杆转到竖直位置，A、B两端小球的速度各是多少？
【审题】因为两小球固定在轻杆的两端，随杆一起转动时，它们具有相同的角速度，则转动过程中，两小球的线速度与半径成正比。同时要注意到两小球在转动过程中，杆对它们都做功，即对每个小球来说，机械能并不守恒。
所以可解得：
例9：如图5-10所示，皮带的速度为3m/s，两圆心距离s=4.5m，现将m=1kg的小物体轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数为μ=0.15，电动机带动皮带将物体从左轮正上方运送到右轮正上方时，电动机消耗的电能是多少？
【审题】在审题过程中要分析清楚小物体何时速度达到与传送带相同，二者速度相同之后，小物体就做匀速直线运动。即小物体在从左上方运动右上方的过程中可能一直做匀加速直线运动，也可能先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动。
【解析】物体在相对滑动过程中，在摩擦力作用下做匀加速直线运动，
则，
相对滑动时间
物体对地面的位移
摩擦力对物体做的功
物体与皮带间的相对位移
发热部分的能量
从而，由能量守恒可得电动机消耗的电能为
【总结】在该题中，根据能量守恒可知，电动机消耗的电能最终转化为物体的动能和系统产生的热能，只要求出物体增加的动能和系统增加的热能就不难求出电动机消耗的电能。
4、理解功能关系，牢记“功是能量转化的量度”
能是物体做功的本领，功是能量转化的量度；能属于物体，功属于系统；功是过程量，能是状态量。做功的过程，是不同形式能量转化的过程：可以是不同形式的能量在一个物体转化，也可以是不同形式的能量在不同物体间转化。力学中，功和能量转化的关系主要有以下几种：
（1）．重力对物体做功，物体的重力势能一定变化，重力势能的变化只跟重力做的功有关：，另外弹簧弹力对物体做功与弹簧弹性势能的变化也有类似关系：。
（2）．合外力对物体做的功等于物体动能的变化量：——动能定理。
（3）．除系统内的重力和弹簧弹力外，其他力做的总功等于系统机械能的变化量：——功能原理。
例10：一质量均匀不可伸长的绳索，重为G，A、B两端固定在天花板上，如图5-11所示，今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置（ ）
A．逐渐升高 B．逐渐降低
C．先降低后升高 D．始终不变
【审题】在C点施加竖直向下的力将绳拉至D点，则外力对绳做正功。
【解析】在C点施加竖直向下的力做了多少功就有多少能量转化为绳的机械能，又绳的动能不增加，所以绳的重力势能增加了，即绳的重心位置升高了，所以本题正确答案为A。
【总结】功是能量转化的量度，对绳做了功，绳的能量一定增加，此能量表现为重力势能增加。
例11：如图5-12所示，质量为m的小铁块A以水平速度v0冲上质量为M、长为、置于光滑水平面C上的木板B，正好不从木板上掉下，已知A、B间的动摩擦因数为μ，此时木板对地位移为s，求这一过程中：
木板增加的动能；
小铁块减少的动能；
系统机械能的减少量；
系统产生的热量。
【审题】在此过程中摩擦力做功的情况是：A和B所受摩擦力分别为F1、F2，且F1=F2=μmg，A在F1的作用下匀减速，B在F2的作用下匀加速；当A滑动到B的右端时，A、B达到一样的速度v，就正好不掉下。
【解析】（1）对B根据动能定理得：
从上式可知：
（2）滑动摩擦力对小铁块A做负功，根据功能关系可知：
即小铁块减少的动能为
（3）系统机械能的减少量：
（4）m、M相对位移为，根据能量守恒得：
【总结】通过本题可以看出摩擦力做功可从以下两个方面理解：
（1）相互作用的一对静摩擦力，如果一个力做正功，另一个力一定做负功，并且量值相等，即一对静摩擦力做功不会产生热量。
（2）相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和一定为负值，即一对滑动摩擦力做功的结果总是使系统的机械能减少，减少的机械能转化为内能：，其中必须是滑动摩擦力，必须是两个接触面相对滑动的距离（或相对路程）。
例12：如图5-13所示，两个相同质量m=0.2kg的小球用长L=0.22m的细绳连接，放在倾角为30°的光滑斜面上，初始时刻，细绳拉直，且绳与斜面底边平行，在绳的中点作用一个垂直于绳且沿斜面向上的恒力F=2.2N。在力F的作用下两球向上运动，小球沿F方向的位移随时间变化的关系式为s=kt2（k为恒量），经过一段时间两球第一次碰撞，又经过一段时间再一次发生碰撞…由于两球之间的有粘性，当力F作用了2s时，两球发生最后一次碰撞，且不再分开，取g=10m/s2。求：
（1）最后一次碰撞后，小球的加速度；
（2）最后一次碰撞完成时，小球的速度；
（3）整个碰撞过程中，系统损失的机械能。
【审题】本题过程比较麻烦，审题时要看到小球沿F方向运动的特点是初速为零的匀加速直线运动，则两小球发生最后一次碰撞时，其速度和位移都就不难求解了。
【总结】本题貌似很难，但只要抓住其中的关键，如分析清楚小球沿F方向的运动情况、分析清楚全过程的能量转化关系，明确力F做功消耗的能量转化为两小球的重力势能和动能以及两小球碰撞产生的热量，然后由能量守恒就不难解决本题。
图5-2
图5-4
图5-6
O
图5-7
图5-8
A
B
O
图5-9
图5-10
图5-11
图5-13机械能守恒
机械能守恒定律的内容是：只有重力或弹力做功的情形下，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。对于机械能守恒定律条件的阐述，有些同学不甚理解，本文就物体具体在什么情况下机械能守恒作如下阐述：
一、物体在运动中只受重力，只有重力对其做功，则物体机械能守恒。例如：自由落体运动和各种抛体运动。
例1. 把一小球从地面上以20m/s的初速度斜向上抛出，初速度与水平方向夹角为30°，求小球离地面5m高时的速度大小（不计空气阻力）。
解析：小球在运动过程中只有重力对其做功，机械能守恒，设地面重力势能为零，则有
把代入可解得：
二、物体在运动过程中除重力外还受其他力，但其他力对物体不做功，只有重力做功，则物体的机械能守恒。
例2. 如图1，质量相等的两个小球A、B分别用细线悬挂在等高的两点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经最低点时（以悬点所在平面为零势能面），A球动能与B球动能相比如何，两者机械能相比如何？
图1
解析：A、B两球在向下运动时，虽然受重力和绳子拉力，但拉力不做功，只有重力做功，因而机械能守恒。由于初始状态时两者机械能相等，因此到达最低点时，两球机械能仍相等，但A球在最低点时重力势能较小，所以A球的动能大。
三、研究轻弹簧和物体组成的系统，系统内只有重力和弹簧弹力对物体做功，即只有弹簧的弹性势能和物体的机械能之间的转化，系统总的机械能守恒。
例3. 如图2所示，轻弹簧一端与墙相连，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并压缩弹簧k，求弹簧在被压缩过程中最大的弹性势能及木块速度减为3m/s时弹簧的弹性势能。
图2
解析：当木块的速度为零时，弹簧的压缩量最大，弹性势能最大，设弹簧的最大弹性势能为，木块和弹簧组成的系统机械能守恒，则有
当木块速度为时，弹簧的弹性势能为，则有，所以
四、研究两个物体组成的系统，若只有重力和这两个物体之间的弹力做功，两个物体组成的系统机械能守恒。（这两个物体各自的机械能不一定守恒）
例4. 如图3所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦转动。现使轻杆从水平状态无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放到转动90°的过程中：
图3
A. B球的重力势能减少，动能增加
B. A球的重力势能增加，动能减少
C. A球的重力势能和动能都增加了
D. A球和B球的总机械能是守恒的
解析：A、B球组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统总机械能守恒。杆从释放到转动90°的过程中，A球的动能增加，重力势能也增加，即杆对A球做正功，A球的机械能增加；B球的重力势能减少，动能增加，即杆对B球做负功，B球的机械能减少，但A球的机械能的增加量和B球机械能的减少量相等，所以答案为ACD。机械能守恒
应用机械能守恒定律解题的基本步骤
（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）。
（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能。
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列出方程，若选用了增（减）量表达式，（3）就应成为确定过程中，动能、势能在过程中的增减量或各部分机械能在过程中的增减量来列方程进行求解。
1、机械能守恒定律与圆周运动结合
物体在绳、杆、轨道约束的情况下在竖直平面内做圆周运动，往往伴随着动能，势能的相互转化，若机械能守恒，即可根据机械能守恒去求解物体在运动中经过某位置时的速度，再结合圆周运动、牛顿定律可求解相关的运动学、动力学的量。
【例1】如图所示。一根长L的细绳，固定在O点，绳另一端系一质量为m的小球。起初将小球拉至水平于A点。求（1）小球从A点由静止释放后到达最低点C时的速度。（2）小球摆到最低点时细绳的拉力。
解：（1）由机械能守恒有：mgl=1/2mvC2；
（2）在最低点，由向心力公式有T－mg=mv2/l；T=3mg
【例2】在上例中，将小球自水平向下移，使细绳与水平方向成θ=30°角，如图所示。求小球从A点由静止释放后到达最低点C时细绳的拉力。
解：
【例3】如图，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，另一端固定在O点，在O点的正下方某处P点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P点的位置。
解析：设绳碰到钉子后恰能绕P点做圆周运动的半径为r，运动到最高点的速率为v，由机械能守恒定律得：
在最高点，由向心力公式有：，，
【例4】如图所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平方向成30°夹角（绳拉直）处由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？
错解：由机械能守恒定律：l=mv2，所以最低点动能为1.5mgl
分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B。自B点做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间，小球的动能减少，下面我们通过运算来说明这个问题。
正确解法：vB=，其方向竖直向下，将该速度分解如图所示
v2＝vcos30°=cos30°
由B至C的过程中机械能守恒 mv＋mg0.5l=mv
由此得mv=l
答案：l
【例5】如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3，现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。（杆的质量和摩擦不计）
解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。
; 由于B、C角速度相同，
解得：
对于C球，由动能定理得解得杆BC段对C球做功
点评：通过例4、例5两题，人们会有这种想法：为什么例 4中在速度改变瞬间（B点）有能量损失，而例5中就没有能量损失，这其中的原因是什么呢？仔细考虑可知：例5中绳的作用力与速度垂直，所以只改变了速度的方向而没有改变速度的大小，而例4中虽然速度大小发生了变化（v2＜vB）。由动量定理可知，沿半径方向绳的拉力T产生的冲量使沿绳方向的动量发生了变化，即TΔt＝mv1，因此该情况就有能量损失，也就不可用机械能守恒定律。
一、功能关系
1. 能是物体做功的本领。也就是说是做功的根源。功是能量转化的量度。究竟有多少能量发生了转化，用功来量度，二者有根本的区别，功是过程量，能是状态量。
2. 我们在处理问题时可以从能量变化来求功，也可以从物体做功的多少来求能量的变化。不同形式的能在转化过程中是守恒的。
3. 功和能量的转化关系
①合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。W合=Ek2－Ek1（动能定理）
②只有重力做功（或弹簧的弹力）做功，物体的动能和势能相互转化，物体的机械能守恒。
③重力功是重力势能变化的量度，即WG=－ΔEP重＝－（EP末－EP初） =EP初－EP末
④弹力功是弹性势能变化的量度，即：W弹＝－△EP弹＝－（EP末－EP初） =EP初－EP末
⑤除了重力，弹力以外的其他力做功是物体机械能变化的量度，即：W其他=E末－E初
⑥一对滑动摩擦力对系统做总功是系统机械能转化为内能的量度，即：f·S相对＝Q
⑦电场力功是电势能变化的量度，即：WE=qU=－ΔE=－（E末－E初）=E初－E末
⑧分子力功是分子势能变化的量度。
【例1】在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠，需要做多少功？
解析：这是一道非常典型的变质量与做功的题，很多同学不知怎样列功能关系式才能求出功的大小，我们先画清楚草图。根据功能关系可知：只要找出砖叠放起来时总增加的能量ΔE，就可得到W人＝ΔE，而ΔE＝E末－E初=nmgnh/2－nmgh/2=n（n－1）mgh/2
因此，用“功能关系”解题，关键是分清物理过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，列出这些变化了的能量即可。
答案：n（n－1）mgh/2
4. 对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失，碰撞后两物体粘在一起的过程中一定有机械能损失。
二、能的转化和守恒
能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或者从一个物体转移到另一个物体，能的总量保持不变。
1. 应用能量守恒定律的两条思路：
（1）某种形式的能的减少量，一定等于其他形式能的增加量。
（2）某物体能量的减少量，一定等于其他物体能量的增加量。
【例2】如图所示，一轻弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点，今将一质量为m的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能在水平面上运动到C点静止，AC距离为S；若将小物体系在弹簧上，在A由静止释放，小物体将做阻尼运动到最后静止，设小物体通过的总路程为l，则下列答案中可能正确的是（ ）
A. l=2S； B. l＝S； C. l＝0.5S； D. l＝0
解析：若物体恰好静止在B。则弹簧原来具有的弹性势能全部转化为内能，应有l＝S。若物体最后静止在B点的左侧或右侧时，弹簧仍具有一定的弹性势能，在这种情况下，物体移动的总路程就会小于S。
答案：BC
【例3】图中，容器A、B各有一个可自由移动的轻活塞，活塞下面是水，上面是大气。大气压恒定，A、B的底部由带有阀门k的管道相连，整个装置与外界绝热，原先，A中水面比B中高，打开阀门，使A中的水逐渐向B中流，最后达到平衡，在这个过程中。（ ）
A. 大气压力对水做功，水的内能增加
B. 水克服大气压力做功，水的内能减少
C. 大气压力对水做功，水的内能不变
D. 大气压力对水不做功，水的内能增加
【解析】由题设条件可知，打开阀门k，由于水的重力作用·水从A流向B中，由于水与器壁间的摩擦作用，振动一段时间最后达到平衡状态；A和B中水面静止在同一高度上，水受到重力、器壁压力和两水面上大气压力的作用，器壁压力与水流方向垂直，不做功，最后A、B中水面等高。相当于A中部分水下移到B中，重力对水做功，设A、B的横截面积分别为SA、SB，两个活塞竖直位移分别为LA、LB，大气压力对容器A中的活塞做的功为WA=P0SALA，容器B中的活塞克服大气压力做的功WB=P0SBLB，因此大气压力通过活塞对整个水做功为零，即大气压力对水不做功，根据能量守恒定律，重力势能的减少等于水的内能的增加，所以选项D是正确答案。
【评点】本题的关键是取整个水为研究对象，明确它的运动情况。正确分析它的受力，确定水受的力在水运动过程中做的功，应用能的转化和守恒定律推断能量变化关系。
2. 摩擦力做功的过程能量转化的情况
（1）静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功还可能不做功。
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体（静摩擦力起着传送机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能量。
③相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零。
（2）滑动摩擦力做功的特点：
①滑动摩擦力可以做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功（如相对运动的两物体之一对地面静止，则滑动摩擦力对该物不做功）。
②在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力与相对路程的积，即Wf=f滑·S相对
表示物体系统损失机械能克服了摩擦力做功，ΔE损= f滑·S相对=Q（摩擦生热）。
③一对滑动摩擦力做功的过程，能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移到另一个物体上，二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量。
【例4】水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块A由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带间的动摩擦因数为μ，如图所示，在小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量为
A. mv2 B. 2mv2 C. mv2 D. mv2
分析：小物块刚放在带子上时处于静止状态，与带子有相对滑动，受向前的滑动摩擦力，使物块加速，最终与带子速度相同均为v。
由于题目要求出转化为内能的能量，必须求出滑动摩擦力对系统做的总功，再由
ΔE= f滑·S相对求解
【解析】物块所受的滑动摩擦力为： f＝μmg，
物块加速度a=f/m=μg。
加速至v的时间 t＝v/a=v/μg。
物块对地面运动的位移
这段时间内带子向前的位移 S带=Vt＝v2/μg
则物块相对于带子向后滑动的路程
s相对=s带—sA= v2/2μg
根据能量守恒定律
ΔE内＝f·s相对=μmg·v2/2μg=m v2
点评：进一步分析，在题设过程中，传送带克服摩擦力做的功 W＝f·S带＝μmg·v2/μg=m v2，只有一部分传给了物块使其动能增加为mv2，另一部分转化为内能，所以此题也可以这样求解。ΔE内＝w－mv2＝mv2－mv2=mv2
通过解答此题一定要理解“摩擦生热”指的是滑动摩擦生热，在相对滑动的过程中，通过摩擦力对系统做功来求解必须求出摩擦力在相对路程上做的功。
【例5】如图所示，木块A放在木块B上左端，用力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功为W1，生热为Q1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，这次F做的功为W2，生热为Q2，则应有
A. W1＜W2， Q1= Q2 B. W1= W2， Q1＝Q2
C. W1＜W2， Q1＜Q2 D. W1＝W2， Q1＜Q2
解析：设B的长度为d，则系统损失的机械能转化为内能的数量Q1＝Q2=μmAgd，所以C、D都错。
在两种情况下用恒力F将A拉至B的右端的过程中。第二种情况下A对地的位移要大于第一种情况下A对地的位移，所以 W2＞W1，B错
答案：A
3. 用能量守恒定律解题的步骤
①确定研究的对象和范围，分析在研究的过程中有多少种不同形式的能（包括动能、势能、内能、电能等）发生变化。
②找出减少的能并求总的减少量ΔE减，找出增加的能并求总的增加量ΔE增
③由能量守恒列式，ΔE减=ΔE增。
④代入已知条件求解。
【例6】如图所示，边长为am的正方体木箱的质量为100kg，一人采用翻滚木箱的方法将其移动10 m远，则人对木箱做的功至少要多少J？（g取 10m／s2）
解析：人翻滚木箱，若要做功最小，则需要缓慢（或匀速）翻转木箱，不使木箱动能增大，即ΔEk=0，因此，人对木箱做功，仅需要克服木箱的重力做功（木箱在翻滚一次过程中重心升高一次），而且翻转木箱的外力F必须最小，即外力作用点应取在A点，并使外力方向与正方体木箱纵截面的对角线相垂直，外力对转轴O的力臂最大，外力F的力矩始终与木箱重力G的力矩平衡。
在木箱翻转前一半过程中，重力G的力臂逐渐减小，外力F的力臂不变，因此，外力F逐渐减小，方向也在不断改变，此过程属变力做功过程。这种情况下求外力F的功等于物体重力势能的增加。
将木箱翻滚一次，木箱向前移动am，若将木箱向前移动10 m远，需要翻转的次数为n=10/a，W合=mgh， WF—WG=0； WF—[mg（a－）]×=0
所以WF =5mg（－1）=5×100×10（－1）＝5000（－1）J
答案：5000（－1）J
【例7】一货车车厢匀速前进时，砂子从车厢上方的漏斗落进车厢，在t秒内落进车厢内的砂子的质量为m，为维持车厢以速度v匀速前进，需加一水平推力，问该推力的功率为多少？
解析：将上述过程分段讨论如图，B表示以速度v匀速运动的货车，A表示落于车上的砂子，设经过时间t后，AB相对静止，此过程中A的位移为S1，B的位移为S2。显然，S1=vt/2，S2=vt，故S1/S2=1/2 。
摩擦力对A做功W1=f·S1=mv2，功率为P1=mv2/t
因B匀速运动，故F=f，外力对B做功为W2=FS2=fs2=mv2，
功率为P2= mv2/t
【模拟试题】
1. 如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球。支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是
A. A球到达最低点时速度为零
B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D. 当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
2. 如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s。已知男演员质量m1，和女演员质量m2之比=2，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C 点比O 点低5R。
3. 人们在工作、学习和劳动时都需要能量，食物在人体内经消化过程转化为葡萄糖，葡萄糖的分子式为C6H12O6，葡萄糖在体内又转化为CO2和H2O，同时产生能量E=2.80×106
J/mol。一个质量为60kg的短跑运动员起跑时以1/6s的时间冲出1m远，他在这一瞬间消耗体内储存的葡萄糖多少克？
4. 如图半径分别为R和r的甲、乙两圆形轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，现有一小球从斜面上高为3R处的A点由静止释放，要使小球能滑上乙轨道并避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，试设计CD段可取的长度。小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑。
5. 如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B一个水平初速度v0，方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。求：
（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度。
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度。
（3）运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ。
（4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小。机械能守恒
一、选择题(本大题共10个小题，共50分，每小题至少有一个选项正确，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．物体沿直线运动的v－t关系如图1所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，
则 ( )
图1
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
解析：由题图知，第1秒末速度、第3秒末速度、第7秒速度大小关系：v1＝v3＝v7，
由题知W＝mv12－0，则由动能定理知第1秒末到第3秒末合外力做功W2＝mv32
－mv12＝0，故A错．第3秒末到第5秒末合外力做功W3＝0－mv32＝－W，故B
错．第5秒末到第7秒末合外力做功W4＝mv72－0＝W，故C正确．第3秒末到第4秒末合外力做功W5＝mv42－mv32；因v4＝v3，所以W5＝－0.75 W．故D正确．
答案：CD
2．带电荷量为＋q、质量为m的滑块，沿固定的斜面匀速
下滑，现加上一竖直向上的匀强电场(如图2所示)，电场
强度为E，且qE＜mg，对物体在斜面上的运动，以下说
法正确的是 ( )
A．滑块将沿斜面减速下滑
B．滑块仍沿斜面匀速下滑
C．加电场后，重力势能和电势能之和不变
D．加电场后，重力势能和电势能之和减小
解析：没加电场时，滑块匀速下滑，有：mgsinθ＝μmgcosθ，加上电场后，因(mg－
Eq)sinθ＝μ(mg－Eq)cosθ，故滑块仍匀速下滑，B正确．加电场后，因重力做正功比
电场力做负功多，所以重力势能减少得多，电势能增加得少，重力势能和电势能之和
减小，C错误，D正确．
答案：BD
3.(2012·重庆模拟)半径为R的圆桶固定在小车上，有一光滑小
球静止在圆桶的最低点，如图3所示．小车以速度v向右匀
速运动，当小车遇到障碍物突然停止时，小球在圆桶中上升
的高度不可能的是 ( )
A．等于 B．大于
C．小于 D．等于2R
解析：小球沿圆桶上滑机械能守恒，由机械能守恒分析知A、C、D是可能的．
答案：B
4.在竖直平面内，有根光滑金属杆弯成如图4所示
形状，相应的曲线方程为y＝Acosx，将一个光滑
小环套在该金属杆上，并从x＝0、y＝A处以某
一初速度沿杆向＋x方向运动．运动过程中( )
A．小环在D点的加速度为零
B．小环在B点和D点的加速度相同
C．小环在C点的速度最大
D．小环在C点和E点的加速度方向相同
解析：小环在D点和B点的加速度是由环的重力沿杆切向分力产生的，由对称性可
知，小环在两点的加速度的大小相同，方向不同，故A、B均错误；因C点最低，小
环的重力势能最小，由机械能守恒知，小环在C点的速度最大，C正确；小环在C点
和E点的加速度均为向心加速度，故方向相反，D错误．
答案：C
5.如图5所示为某探究活动小组设计的节
能运动系统，斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与
轨道的动摩擦因数为.木箱在轨道顶端时，自动装货装
置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨
道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱
恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程．下列选项正确的是 ( )
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹
性势能
解析：自木箱下滑至弹簧压缩到最短的过程中，由能量守恒有：
(m＋M)gh＝(m＋M)gμcos30°·＋E弹①
在木箱反弹到轨道顶端的过程中，由能量守恒有：
E弹＝Mgμcos30°·＋Mgh②
联立①②得：m＝2M，A错误，B正确．
下滑过程中：
(M＋m)gsinθ－(M＋m)gμcosθ＝(M＋m)a1③
上滑过程中：Mgsinθ＋Mgμcosθ＝Ma2④
解之得：a2＝g(sinθ＋μcosθ)＞a1＝g(sinθ－μcosθ)，故C正确．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D错误．
答案：BC
6．如图6甲所示，足够长的固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小
环，沿杆方向给环施加一个拉力F，使环由静止开始运动，已知拉力F及小环速度v
随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2.则以下判断正确的是( )
图6
A．小环的质量是1 kg
B．细杆与地面间的倾角是30°
C．前3 s内拉力F的最大功率是2.25 W
D．前3 s内小环机械能的增加量是5.75 J
解析：设小环的质量为m，细杆与地面间的倾角为α，由题图乙知，小环在第1 s内
的加速度a＝ m/s2＝0.5 m/s2，由牛顿第二定律得：5－mgsinα＝ma，又4.5＝mgsinα，
得m＝1 kg，A正确；sinα＝0.45，B错误；分析可得前3 s内拉力F的最大功率以1 s末为最大，Pm＝Fv＝5×0.5 W＝2.5 W，C错误；前3 s内小环沿杆上升的位移x＝
×1 m＋0.5×2 m＝1.25 m，前3 s内小环机械能的增加量ΔE＝mv2＋mgxsinα＝5.75 J，故D正确．
答案：AD
7.静止在粗糙水平面上的物块A受方向始终水平向右、大
小先后为F1、F2、F3的拉力作用做直线运动，t＝4 s时
停下，其v－t图象如图7所示，已知物块A与水平面间
的动摩擦因数处处相同，下列判断正确的是 ( )
A．全过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功
B．全过程拉力做的功等于零
C．一定有F1＋F3＜2F2
D．有可能F1＋F3＞2F2
解析：由动能定理知A正确，B错误．第1 s内F1－μmg＝ma,1 s末至3 s末，F2＝μmg，
第4 s内，μmg－F3＝ma，所以F1＋F3＝2F2，故C、D错误．
答案：A
8.如图8所示，一物体m在沿斜面向上的恒力F作用下，由静止
从底端沿光滑的斜面向上做匀加速直线运动，经时间t力F做
功为60 J，此后撤去恒力F，物体又经时间t回到出发点，若
以地面为零势能点，则下列说法正确的是 ( )
A．物体回到出发点时的动能是60 J
B．开始时物体所受的恒力F＝2mgsinθ
C．撤去力F时，物体的重力势能是45 J
D．动能与势能相同的位置在撤去力F之前的某位置
解析：由功能关系可知，前一个时间t内，力F做的功等于此过程中物体机械能的增
量，也等于前一个时间t末时刻物体的机械能；撤去外力F后，物体的机械能守恒，
故物体回到出发点时的动能是60 J，A正确；设前一个时间t末时刻物体速度为v1，
后一个时间t末时刻物体速度为v2，由t＝t(两段时间内物体位移大小相等)得：
v2＝2v1，由mv22＝60 J知，mv12＝15 J，因此撤去F时，物体的重力势能为60 J
－15 J＝45 J，C正确；动能和势能相同时，重力势能为30 J，故它们相同的位置一
定在撤去力F之前的某位置，D正确；由＝，＝可得：
F＝mgsinθ，故B错误．
答案：ACD
9．小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的2倍，在下落至离地高度h处，小球的势能是动能的2倍，则h等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：设小球上升至离地面高度h时，速度为v1，由地面上抛时速度为v0，下落至离
地面高度h处速度为v2，空气阻力为f.
上升阶段：－mgH－fH＝－mv02
－mgh－fh＝mv12－mv02
2mgh＝mv12
下降阶段：mg(H－h)－f(H－h)＝mv22
mgh＝2×mv22
由以上各式联立得：h＝H.故选D.
答案：D
10.光滑斜面上有一个小球自高为h的A处由静止开始
滚下，抵达光滑的水平面上的B点时的速度大小为
v0.光滑水平面上每隔相等的距离设置了一个与小球
运动方向垂直的活动阻挡条，如图9所示，小球越
过n条活动挡条后停下来．若让小球从h高处以初
速度v0滚下，则小球能越过的活动阻挡条的条数是
(设小球每次越过活动阻挡条时损失的动能相等) ( )
A．n B．2n
C．3n D．4n
解析：设每条阻挡条对小球做的功为W，当小球在水平面上滚动时，由动能定理有0
－mv02＝nW，对第二次有0－mv22＝0－(mv02＋mgh)＝NW，
又因为mv02＝mgh，联立以上三式解得N＝2n.
答案：B
二、实验题(本大题共2个小题，共10分)
11．(5分)为了探究恒力作用时的动能定理，某同学做了如下实验，他让滑块在某一水
平面上滑行，利用速度采集器获取其初速度v，并测量出不同初速度的最大滑行距离
x，得到下表所示几组数据：
数据组 1 2 3 4 5 6
v/(m·s－1) 0 0.16 0.19 0.24 0.30 0.49
x/m 0 0.045 0.075 0.111 0.163 0.442
(1)该同学根据表中数据，作出x－v图象如图10甲所示．观察该图象，该同学作出如
下推理：根据x－v图象大致是一条抛物线，可以猜想，x可能与v2成正比．请在图
乙所示坐标纸上选择适当的坐标轴作出图线验证该同学的猜想．
图10
(2)根据你所作的图象，你认为滑块滑行的最大距离x与滑块初速度平方v2的关系是
________________________________________________________________________．
解析：(1)作出x－v2图线如图所示．
(2)x－v2图线是过原点的直线，所以，滑块滑行的最大距
离x与滑块初速度平方v2成正比．
答案：(1)见解析图
(2)x∝v2
12．(5分)某兴趣小组为测一遥控电动小车的额定功率，进行了如下实验：
①用天平测出电动小车的质量为0.4 kg；
②将电动小车、纸带和打点计时器按如图11所示安装；
图11
③接通打点计时器(其打点周期为0.02 s)；
④使电动小车以额定功率加速运动，达到最大速度一段时间后关闭小车电源．待小车
静止时再关闭打点计时器(设在整个过程中小车所受的阻力恒定)．
在上述过程中，打点计时器在纸带上所打的点迹如图12(甲)、(乙)所示，图中O点是
打点计时器打的第一个点．
图12
请你分析纸带数据，回答下列问题：
(1)该电动小车运动的最大速度为________m/s；
(2)该电动小车运动过程中所受的阻力大小为________ N；
(3)该电动小车的额定功率为________W.
解析：(1)速度恒定时
v＝＝ m/s＝1.50 m/s.
(2)匀减速运动阶段
a＝≈－4.00 m/s2
Ff＝ma＝－1.60 N
(3)F＝－Ff
电动小车的额定功率
P＝Fv＝1.60×1.50 W＝2.40 W.
答案：(1)1.50 (2)1.60 (3)2.40
三、计算题(本大题共4个小题，共40分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和演
算步骤，有数值计算的要注明单位)
13．(8分)如图13所示，质量为m的物体从倾角为θ的斜面上的
A点以速度v0沿斜面上滑，由于μmgcosθ＜mgsinθ，所以它滑
到最高点后又滑下来，当它下滑到B点时，速度大小恰好也是
v0，设物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求AB间的距离．
解析：设物体m从A点到最高点的位移为x，对此过程由动能定理得：
－(mgsinθ＋μmgcosθ)·x＝0－mv02 ①
对全过程由动能定理得：
mgsinθ·xAB－μmgcosθ·(2x＋xAB)＝0 ②
由①②得：xAB＝.
答案：
14．(10分) (2012·连云港模拟)一劲度系数k＝800 N/m的轻质弹簧
两端分别连接着质量均为12 kg的物体A、B，将它们竖直静止
放在水平面上，如图14所示．现将一竖直向上的变力F作用在
A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40 s物体B刚要离开地
面．g＝10.0 m/s2，试求：
(1)物体B刚要离开地面时，A物体的速度vA；
(2)物体A重力势能的改变量；
(3)弹簧的弹性势能公式：Ep＝kx2，x为弹簧的形变量，则此过程中拉力F做的功为
多少？
解析：(1)开始时mAg＝kx1
当物体B刚要离地面时kx2＝mBg
可得：x1＝x2＝0.15 m
由x1＋x2＝at2
vA＝at
得：vA＝1.5 m/s.
(2)物体A重力势能增大，
ΔEpA＝mAg(x1＋x2)＝36 J.
(3)因开始时弹簧的压缩量与末时刻弹簧的伸长量相等，对应弹性势能相等，由功能关系可得：
WF＝ΔEpA＋mAvA2＝49.5 J.
答案：(1)1.5 m/s (2)36 J (3)49.5 J
15．(10分)(2009·浙江高考)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如图15所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1 kg，通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中L＝10.00 m，R＝0.32 m，h＝1.25 m，x＝1.50 m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g＝10 m/s2)
图15
解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律x＝v1t
h＝gt2
解得v1＝x＝3 m/s
设赛车恰好通过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿
第二定律及机械能守恒定律
mg＝m
mv32＝mv22＋mg(2R)
解得v3＝＝4 m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是vmin＝4 m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能关系
Pt－FfL＝mvmin2
由此可得t＝2.53 s.
答案：2.53 s
16．(12分)如图16甲所示，水平传送带的长度L＝6 m，皮带轮以速度v顺时针匀速转动，现在一质量为1 kg的小物块(可视为质点)以水平速度v0从A点滑上传送带，越过B点后做平抛运动，其水平位移为x，保持物块的初速度v0不变，多次改变皮带轮的速度v依次测量水平位移x，得到如图16乙所示的x－v图象．
图16
(1)当0＜v≤1 m/s时，物块在A、B之间做什么运动？当v≥7 m/s时，物块在A、B
之间做什么运动？
(2)物块的初速度v0多大？
μmgL＝mv22－mv02
解得v0＝ ＝5 m/s.
答案：(1)匀减速直线运动 匀加速直线运动 (2)5 m/s机械能守恒
24（2011安徽）．（20分）
如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0=4 m/s，g取10m/s2。
（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。
解析：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v1。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则
①
②
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则
③
由②③式，得 F=2N ④
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为V。在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有
⑤
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
⑥
由⑤⑥式，得 v2=2m/s ⑦
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2，任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V/。由系统水平方向的动量守恒，得
⑦
将⑧式两边同乘以，得
⑨
因⑨式对任意时刻附近的微小间隔都成立，累积相加后，有
又
由式得
20（2011全国卷1）．质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ。初始时小物块停在箱子正中间，如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，井与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为
A． B． C． D．
解析：两物体最终速度相等设为u由动量守恒得：mv=(m+M)u, 系统损失的动能为：
系统损失的动能转化为内能Q=fs=
解析：设子弹的初速为v0,穿过2d厚度的钢板时共同速度为：v 受到阻力为f.
对系统由动量和能量守恒得：
①
②
由①②得： ③
子弹穿过第一块厚度为d的钢板时，设其速度为v1，此时钢板的速度为u，穿第二块厚度为d的钢板时共用速度为v2，穿过深度为，
对子弹和第一块钢板系统由动量和能量守恒得：
④
⑤
由③④⑤得： ⑥
对子弹和第二块钢板系统由动量和能量守恒得：
⑦
⑧
由③⑥⑦⑧得：
9（2011海南）.一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内受到2N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1N的外力作用。下列判断正确的是
A. 0～2s内外力的平均功率是W
B.第2秒内外力所做的功是J
C.第2秒末外力的瞬时功率最大
D.第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
解析：由动量定理求出1s末、2s末速度分别为：v1=2m/s、v2=3m/s 故合力做功为w=功率为 1s末、2s末功率分别为：4w、3w 第1秒内与第2秒动能增加量分别为：、，比值：4：5
14（2011海南）.现要通过实验验证机械能守恒定律。实验装置如图1所示：水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨；导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M，左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的砝码相连；遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上B点有一光电门，可以测试遮光片经过光电门时的挡光时间t，用d表示A点到导轨低端C点的距离，h表示A与C的高度差，b表示遮光片的宽度，s表示A ,B 两点的距离，将遮光片通过光电门的平均速度看作滑块通过B点时的瞬时速度。用g表示重力加速度。完成下列填空和作图；
（1）若将滑块自A点由静止释放，则在滑块从A运动至B的过程中，滑块、遮光片与砝码组成的系统重力势能的减小量可表示为____。动能的增加量可表示为__。若在运动过程中机械能守恒，与s的关系式为 __
(2)多次改变光电门的位置，每次均令滑块自同一点（A点）下滑，测量相应的s与t值，结果如下表所示：
以s为横坐标，为纵坐标，在答题卡上对应图2位置的坐标纸中描出第1和第5个数据点；根据5个数据点作直线，求得该直线的斜率k=________2.40___(保留3位有效数字).
由测得的h、d、b、M和m数值可以计算出直线的斜率，将k和进行比较，若其差值在试验允许的范围内，则可认为此试验验证了机械能守恒定律。
16（2011全国理综）.一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是（ABC）
A. 运动员到达最低点前重力势能始终减小
B. 蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C. 蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D. 蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
解析：主要考查功和能的关系。运动员到达最低点过程中，重力做正功，所以重力势能始终减少，A项正确。蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加，B项正确。蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，只有重力和弹性力做功，所以机械能守恒，C项正确。重力势能的改变与重力势能零点选取无关，D项错误。
18（2011全国理综）.电磁轨道炮工作原理如图所示。待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动，并与轨道保持良好接触。电流I从一条轨道流入，通过导电弹体后从另一条轨道流回。轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道面得磁场（可视为匀强磁场），磁感应强度的大小与I成正比。通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出。现欲使弹体的出射速度增加至原来的2倍，理论上可采用的方法是（BD）
A.只将轨道长度L变为原来的2倍
B.只将电流I增加至原来的2倍
C.只将弹体质量减至原来的一半
D.将弹体质量减至原来的一半，轨道长度L变为原来的2倍，其它量不变
解析：主要考查动能定理。利用动能定理有,B=kI解得。所以正确答案是BD。
（2）小球A冲进轨道时速度v的大小。
10．（16分）
（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有
①
解得 ②
（2）设球A的质量为m，碰撞前速度大小为v1，把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为0，由机械能守恒定律知 ③
设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为v2，由动量守恒定律知 ④
飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有 ⑤
综合②③④⑤式得
24（2011浙江）.（20分）节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车。有一质量m=1000kg的混合动力轿车，在平直公路上以匀速行驶，发动机的输出功率为。当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L=72m后，速度变为。此过程中发动机功率的用于轿车的牵引，用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能。假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变。求
轿车以在平直公路上匀速行驶时，所受阻力的大小；
轿车从减速到过程中，获得的电能；
轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能维持匀速运动的距离。
24.答案：（1）（2）（3）
解析：（1）汽车牵引力与输出功率的关系
将，代入得
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有
（2）在减速过程中，注意到发动机只有用于汽车的牵引，根据动能定理有
，代入数据得
电源获得的电能为
(3)根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为。此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功，
代入数据得
36（2011广东）、（18分）如图20所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C。一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板。滑板运动到C时被牢固粘连。物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长l =6.5R，板右端到C的距离L在R＜L＜5R范围内取值。E距A为S=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因素均为μ=0.5，重力加速度取g.
求物块滑到B点的速度大小；
试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功Wf与L的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点。
36、解析：
（1）μmgs+mg·2R=mvB2 ①
所以 vB=3
（2）设M滑动x1,m滑动x2二者达到共同速度v,则
mvB=(M+m)v ②
μmgx1=mv2 ③
—μmgx2=mv2—mvB2 ④
由②③④得v=, x1=2R, x2=8R
二者位移之差△x= x2—x1=6R＜6.5R，即滑块未掉下滑板
讨论：
R＜L＜2R时，Wf=μmg(l+L)= mg（6.5R+L）
2R≤L＜5R时，Wf=μmgx2+μmg(l—△x)=4.25mgR＜4.5mgR，即滑块速度不为0，滑上右侧轨道。
要使滑块滑到CD轨道中点，v c必须满足：mvc2 ≥mgR ⑤
此时L应满足：μmg(l+L) ≤mvB2—mvc2 ⑥
则 L≤R，不符合题意，滑块不能滑到CD轨道中点。
答案：（1） vB=3
（2）
①R＜L＜2R时，Wf=μmg(l+L)= mg（6.5R+L）
②2R≤L＜5R时，Wf=μmgx2+μmg(l—△x)=4.25mgR＜4.5mgR，即滑块速度不为0，滑上右侧轨道。
滑块不能滑到CD轨道中点
22（2011北京）．（16分）
如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。
（1）在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止。画出此时小球的受力图，并求力F的大小；
（2）由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力。不计空气阻力。
22答案：．（1）受力图见右
根据平衡条件，的拉力大小F=mgtanα
（2）运动中只有重力做功，系统机械能守恒
则通过最低点时，小球的速度大小
根据牛顿第二定律
解得轻绳对小球的拉力
，方向竖直向上
15(2011上海)．如图，一长为的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为的小球。一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为
(A) (B)
(C) (D)
答案：C
33．(14 分)如图(a)，磁铁A、B的同名磁极相对放置，置于水平气垫导轨上。A固定于导轨左端，B的质量m=0.5kg，可在导轨上无摩擦滑动。将B在A附近某一位置由静止释放，由于能量守恒，可通过测量B在不同位置处的速度，得到B的势能随位置x的变化规律，见图(c)中曲线I。若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度(如图(b)所示)，则B的总势能曲线如图(c)中II所示，将B在处由静止释放，求：(解答时必须写出必要的推断说明。取)
(1)B在运动过程中动能最大的位置；
(2)运动过程中B的最大速度和最大位移。
(3)图(c)中直线III为曲线II的渐近线，求导轨的倾角。
(4)若A、B异名磁极相对放置，导轨的倾角不变，在图(c)上画出B的总势能随x的变化曲线．
33答案．(14分)
(1)势能最小处动能最大 (1分)
由图线II得
(2分)
(在5.9 ~ 6.3cm间均视为正确)
(2)由图读得释放处势能，此即B的总能量。出于运动中总能量守恒，因此在势能最小处动能最大，由图像得最小势能为0.47J，则最大动能为
（2分)
(在0.42 ~ 0.44J间均视为正确)
最大速度为
(1分)
(在1.29～1.33 m／s间均视为正确)
x=20.0 cm处的总能量为0.90J，最大位移由E=0.90J的水平直线与曲线II的左侧交点确定,由图中读出交点位置为x=2.0cm，因此，最大位移
(2分)
(在17.9~18.1cm间均视为正确)
(3)渐近线III表示B的重力势能随位置变化关系，即
（2分)
∴
由图读出直线斜率
（1分）
（在间均视为正确）
（4）若异名磁极相对放置，A，B间相互作用势能为负值，总势能如图。 （2分）
18（2011山东）.如图所示，将小球从地面以初速度。竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球从距地面处由静止释放，两球恰在处相遇（不计空气阻力）。则
A.两球同时落地
B.相遇时两球速度大小相等
C.从开始运动到相遇，球动能的减少量等于球动能的增加量
D.相遇后的任意时刻，重力对球做功功率和对球做功功率相等
答案：C
解析：相遇时满足，，所以，小球落地时间，球落地时间，因此A错误；相遇时，，，，所以B错误；因为两球恰在处相遇，说明重力做功的数值相等，根据动能定理，球动能的减少量等于球动能的增加量，C正确；相遇后的任意时刻，球的速度始终大于球的速度，因此重力对球做功功率大于对球做功功率，D错误。
M
m
v0
O
P
L
l
m
O
F
α机械能守恒
一、选择题
1.汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0,t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动，能正确表示这一过程中汽车牵引力F和速度v随时间t变化的图象是 （ ）
答案 AD
2.某人用手将1 Kg的物体由静止向上提起1 m，这时物体的速度为2 m/s,取g=10 m/s2,下列说法正确的是 （ ）
A.手对物体做功12 J B.合外力做功10 J
C.合外力做功12 J D.物体重力做功为10 J
答案 A
3.物体放在水平地面上，在水平拉力的作用下，沿水平方向运动，在0~6 s内其速度与时间关系的图象和拉力的功率与时间关系的图象如下图所示，由图象可以求得物体的质量为（取g=10 m/s）( )
A. kg B. kg C. kg D. kg
答案 B
4.一汽车质量为3×103 kg，它的发动机额定机率为60 kW，它以额定功率匀速行驶时速度为120 km/h,若汽车行驶时受到的阻力和汽车的重力成正比，下列说法中正确的是 （ ）
A.汽车行驶时受到的阻力的大小为1.8×103 N
B.汽车以54 km/h的速度匀速行驶时消耗的功率为30 kW
C.汽车消耗功率为45 kW时,若其加速度为0.4 m/s2则它行驶的速度为15 m/s
D.若汽车保持额定功率不变从静止状态启动，汽车启动后加速度将会越来越小
答案 ACD
5.如图所示,一个质量为m的物体（可视为质点）,以某一初速度由A点冲上倾角为30的固定斜面,其加速度大小为g,物体在斜面上运动的最高点为B,B点与A点的高度差为h,则从A点到B点的过程中,下列说法正确的是 （ ）
A.物体动能损失了
B.物体动能损失了2mgh
C.系统机械能损失了mgh
D.系统机械能损失了
答案 BC
6.如图所示,一质量为m的物体放在水平地面上,上端用一根原长为L、劲度系数为k的轻弹簧相连.现用手拉弹簧的上端P缓慢向上移动.当P点位移为H时,物体离开地面一段距离h,则在此过程中 （ ）
A.拉弹簧的力对系数做功为mgH B.拉弹簧的力对系数做功为mgh+
C.物体增加的重力势能为mgH- D.弹簧增加的弹性势能为mg(H-h)
答案 BC
7.用水平力拉一物体在水平地面上从静止开始做匀加速运动,到
t1秒末撤去拉力F,物体做匀速运动,到t2秒末静止.其速度图象如图所示,且
.若拉力F做的功为W,平均功率为P；物体在加速和减速过程中克服
摩擦阻力做的功分别为W1和W2,它们在平均功率分别为P1和P2,则下列选项正确的是 （ ）
A.W=W1+W2 B.W1=W2 C.P=P1+P2 D.P1=P2
答案 AD
8.如图所示，固定在竖直平面内的光滑3/4圆弧轨道ABCD,其A点与圆心等高,D点为轨道最高点,AC为圆弧的一条水平直径，AE为水平面.现使小球自A点正上方O点处由静止释放,小球从A点进入圆轨道后能通过轨道最高点D.则 （ ）
A.小球通过D点时速度可能为零
B.小球通过D点后,一定会落到水平面AE上
C.小球通过D点后，一定会再次落到圆轨道上
D.O点可能与D点等高
答案 B
9.美国的NBA篮球赛非常精彩,吸引了众多观众.经常能看到这样的场面：在终场前0.1 s的时候,运动员把球投出且准确命中,获得比赛的最后胜利.已知球的质量为m,运动员将篮球投出，球出手时的高度为h1、动能为Ek，篮框距地面高度为h2,不计空气阻力,则篮球进筐时的动能为 （ ）
A.Ek+mgh1-mgh2 B.Ek+mgh2-mgh1 C.mgh1+mgh2-Ek D.mgh2-mgh1-Ek
答案 A
10.如图所示,一物体以速度v0冲向光滑斜面AB，并刚好能沿斜面升高h,下列说法正确的是 （ ）
A.若把斜面从C点锯断，由机械能守恒定律知,物体冲出C点后仍能升高h
B.若把斜面弯成如图所示的半圆弧状，物体仍能沿升高成h
C.若把斜面从C点锯断或弯成如图所示的半圆弧状，物体都不能升高h，因为机械能不守恒
D.若把斜面从C点锯断或弯成如图所示的半圆弧状,物体都不能升高h,但机械能仍守恒
答案 D
11．一质量为m的物体以速度v在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假设t=0时刻物体在轨迹最低点且重力势能为零，那么，下列说法正确的是
A．物体运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为
B．物体运动的过程中，动能随时间的变化关系为
C．物体运动的过程中，机械能守恒，且机械能为
D．物体运动的过程中，机械能随时间的变化关系为、
答案 AD
12.竖直上抛一小球，小球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于小球的速度.下列说法正确的是 （ ）
A、上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B、上升过程中克服重力做的功小于下降过程中重力做的功
C、上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
D、上升过程中克服重力做功的平均功率小于下降过程中重力的平均功率
答案：C
二、非选择题
13.某同学做拍篮球的游戏,篮球在球心距地面高h1=0.9 m范围内做竖直方向的往复运动，如图所示，在最高点时手开始击打篮球，手与球作用的过程中，球心下降了h2=0.05 m.球从落地到反弹与地面作用的时间t=0.1 s.反弹速度v2的大小是刚触地时的速度v1大小的,且反弹后恰好到达最高点.已知篮球的质量m=0.5 kg,半径R=0.1 m.且手对球和地面对球的作用力均可视为恒力，忽略空气阻力,g取10 m/s2.求：
（1）球反弹的速度v2的大小；
（2）地面对球的弹力F的大小；
（3）每次拍球时，手对球所做的功W.
答案 （1）4 m/s （2）50 N （3）2.25 J
14.如图所示,绳长为L,两接点间距为d,士兵装备及滑轮质量为m，不计摩擦力
及绳子质量，士兵从一端滑到另一端过程中，求：
（1）士兵速度最大时绳上的张力；
（2）速度最大值vmax.
答案 （1） （2）..
15.在游乐园坐过山车是一项惊险、刺激的游戏.据《新安晚报》报道,2010年
12月31日下午3时许,安徽芜湖特欢乐世界游乐园的过山车因大风发生过故障
突然停止,16位游客悬空10多分钟后被安全解救,事故幸未造
成人员伤亡.游乐园“翻滚过山车”的物理原理可以用如图所示的装置演示.斜槽轨道AB、EF与半径R=0.4 m的竖直圆轨道（圆心为O）相连,AB、EF分别与圆O相切于B、E点，C为轨道的最低点,斜轨AB倾角为37.质量为m=0.1kg的小球从A 点静止释放,先后经B、C、D、E到F点落入小框.（整修装置的轨道均光滑,取g=10 m/s,sin 37=0.6,cos 37=0.8）求：
（1）小球在光滑斜轨AB上运动的过程中加速度的大小；
（2）要使小球在运动的全过程中不脱离轨道,A点距离最低点的竖直高度h至少要多高？
答案 （1）6.0 m/s2 （2）1.0 m
16.如图所示，竖直平面内的轨道ABCD
由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成,AB恰与圆弧
CD在C点相切了，轨道固定在水平面上，一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点.已知水平轨道AB长为L.求：
(1)小物块与水平轨道的动摩擦因数μ.
(2)为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道,圆弧轨道的半径R至少多大？
（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值,增大小物块的初动能,使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度1.5R处,试求小物块的初动能并分析小物块能否停在水平轨道上.如果能,将停在何处？如果不能,将以多大速度离开轨道？
答案 (1)μ= (2)R= （3）小物块最终能停在水平滑道AB上,距A点L机械能守恒
一、选择题
1. 上海市六校2012届高三第一次联考伽利略在研究力和运动的关系的时候，用两个对接的斜面，一个斜面固定，让小球从斜面上滚下，又滚上另一个倾角可以改变的斜面，斜面倾角逐渐改变至零，如图所示。伽利略设计这个实验的目的是为了说明（ C ）
（A）如果没有摩擦，小球将运动到与释放时相同的高度
（B）如果没有摩擦，物体运动过程中机械能守恒
（C）维持物体作匀速直线运动并不需要力
（D）如果物体不受到力，就不会运动
2．重庆八中2012届高三第一次模拟滑块以速率v1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速率为v2，且v2< v1，若滑块向上运动的位移中点为A，取斜面底端重力势能为零，则（ C ）
A．上升时机械能减小，下降时机械能增大。
B．上升时动能减小，下降时动能也减小。
C．上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方。
D．上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方。
3．合肥一六八中学2012届高三第二次模拟下列关于力做功的说法中正确的是（ B ）
A．人用力F=300N将足球踢出，球在空中飞行40m，人对足球做功1200J
B．人用力推物体，但物体未被推动，人对物体做功为零
C．物体竖直上升时，重力不做功
D．只有恒力才能做功，变力不能做功
4. 北京市昌平一中高三年级第二次模拟汽车在平直公路上行驶，它受到的阻力大小不变，若发动机的功率保持恒定，汽车在加速行驶的过程中，它的牵引力F和加速度a的变化情况是（ A ）
A.F逐渐减小，a也逐渐减小 B.F逐渐增大，a逐渐减小
C.F逐渐减小，a逐渐增大 D.F逐渐增大，a也逐渐增大
5．广东省徐闻中学2012届高三模拟如图所示，斜面除AB段粗糙外，其余部分都是光滑的，一个物体从顶点滑下，经过A、C两点时的速度相等，且AB=BC，（物体与AB段段摩擦因数处处相等，斜面与水平面始终相对静止），则下列说法中正确的是( A )
A．物体的重力在以上两段运动中对物体做的功相等
B．物体在AB段和BC段运动的加速度相等
C．物体在以上两段运动过程中受到的速度改变量相等
D．物体在以上两段运动过程中，斜面受到水平面的静摩擦力相等
6. 上海市六校2012届高三第一次模拟 汽车以额定功率在平直公路上匀速行驶，在t1时刻司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻汽车又开始做匀速直线运动（设整个过程中汽车所受的阻力不变）。则在t1t2的这段时间内（ A ）
（A）汽车的加速度逐渐减小
（B）汽车的加速度逐渐增大
（C）汽车的速度先减小后增大
（D）汽车的速度逐渐增大
7．合肥一六八中学2012届高三第二次模拟一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在 O点，小球在水平恒力F作用下，从静止开始由平衡位置P点移动到Q点，此时绳与竖直方向的偏角为θ如图所示，则力F所做的功为（ C ）
A．mgLcosθ B．mgL(1－cosθ) C．FLsinθ D．FLθ
8. 北京市昌平一中高三年级第二次 模拟如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是（ CD ）
A.物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
B.物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C.物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能 之和
D.摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量
9．重庆八中2012届高三上学期第一次模拟某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆．由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用El、E2分别表示卫星在这两个轨道上的机械能，则 ( D )
A . r1r2，E1C. r1 E2 D . r1>r2，E1>E2
10．合肥一六八中学2012届高三第二次模拟半径为r和R（r＜R）的光滑半圆形槽，其圆心均在同一水平面上，如图所示，质量相等的两物体分别自半圆形槽左边缘的最高点无初速地释放，在下滑过程中两物体 （ D ）
A．机械能均逐渐减小
B．经最低点时动能相等
C．两球在最低点加速度大小不等
D．机械能总是相等的
11、天津市2012届高三上学期六校联考如图所示，小球以大小为v0的初速度由A端向右运动，到B端时的速度减小为vB；若以同样大小的初速度由B端向左运动，到A端时的速度减小为vA。已知小球运动过程中始终未离开该粗糙轨道，D为AB中点。一下说法正确的是 ( C )
A．vA>vB
B．vA=vB
C．vAD．两次经过D点时速度大小相等
12. 上海市六校2012届高三第一次模拟如图所示为竖直平面内的直角坐标系。一质量为m的质点，在恒力F和重力的作用下，从坐标原点O由静止开始沿直线ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角(θ<90°)。不计空气阻力，则以下说法正确的是（ BCD ）
（A）当F=mgtanθ时，拉力F最小
（B）当F=mgsinθ时，拉力F最小
（C）当F=mgsinθ时，质点的机械能守恒
（D）当F=mgtanθ时，质点的机械能可能减小也可能增大
13．广东省徐闻中学2012届高三模拟如图，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块放在小车的最左端。现在一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f。经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端。 ( AD )
A．此时物块的动能为(F－f)(s+l)
B．这一过程中，物块对小车所做的功为f(s+l)
C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs
D．这一过程中，物块和小车产生的内能为fl
14．合肥第八中学2012届高三第二次模拟如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板m2的左端，右端与小木块m1连接，且m1、m2及m2与地面之间接触面光滑，开始时m1和m2均静止，现同时对m1、m2施加等大反向的水平恒力F1和F2，从两物体开始运动以后的整个过程中，对m1、m2和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度），下列说法正确的是 ( D )
A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B．由于F1、F2分别对m1、m2做正功，故系统动能不断增加
C．由于F1、F2分别对m1、m2做正功，故系统机械能不断增加
D．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m1、m2的动能最大
15．广东省徐闻中学2012届高三模拟如图a、b所示，是一辆质量m=6×103kg的公共汽车在t=0和t=4s末两个时刻的两张照片。当t=0时，汽车刚启动（汽车的运动可看成匀加速直线运动）．图c是车内横杆上悬挂的拉手环经放大后的图像，测得θ=150．根据题中提供的信息，可以估算出的物理量有 ( AB )
A．汽车的长度 B．4s末汽车的速度
C．4s内汽车牵引力所做的功 D．4s末汽车牵引力的功率
16．广西桂林十八中2012届高三模拟如图所示，用一根长杆和两个小定滑轮组合成的装置来提升质量为m的重物A，长杆的一端放在地上，并且通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方的O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物AC点与O点的距离为，滑轮上端B点距O点的距离为。现在杆的另一端用力，使其沿逆时针方向由竖直位置以角速度缓缓转至水平位置(转过了90°角)．则在此过程中，下列说法正确的是 ( B )
A．重物A做匀速直线运动
B．重物A的速度先增大后减小，最大速度是
C．绳的拉力对A所做的功为
D．绳的拉力对A所做的功为
17．浙江省温州市十校联合体2012届高三期中联考如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（ CD ）
A．重力势能增加了mgh B．克服摩擦力做功mgh
C．动能损失了mgh D．机械能损失了
18．云南省昆一中2012届高三模拟如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，质量相等。Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于 ( B )A.P的初动能 B.P的初动能的1/2C.P的初动能的1/3 D.P的初动能的1/4
二、非选择题
19．北京市昌平一中高三年级第二次月考一物体沿倾角为θ的斜面从底端以初速度V。沿斜面向上滑去，滑至最高点后又回，返回到底端时速度是v，则物体上滑的最大高度为_______________物体与斜面间的摩擦因数μ为_______________。
答案：
20．北京市昌平一中高三年级第二次月考一质量为m的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动，设质点的最初速率是V0，当它运动一周时，其速率为V0/2,则摩擦力做的功为___________，动摩擦因数等于_________
答案：
21. 北京市昌平一中高三年级第二次月考 在光滑的水平地面上，质量为4kg的物体以3m/s的速度向右运动，另一个质量为8kg的物体以3m/s的速度向左运动，两物体相碰后粘在一起运动，则碰后它们的共同速度等于__________,碰撞过程中损失的机械能等于________。
答案：1m/s 向左 48J
22. 上海市六校2012届高三第一次联考一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如图所示。设该物体在to和2to时刻的速度大小分别为v1和v2，合外力从开始至to时刻做的功是W1，从to至2to时刻做的功是W2，则v2=_____ v1，W2=_____W1。
答案：v2=3v1，W2=8W1
23．合肥一六八中学2012届高三第二次模拟用200N竖直向上的拉力将地面上—个质量为10kg的物体提起5m高的位移，空气阻力不计，g取10m/s2，
求：（1）拉力对物体所做的功；
（2）物体提高后增加的重力势能；
（3）物体提高后具有的动能。
答案：（1）拉力对物体所做的功；1000J
（2）物体提高后增加的重力势能；500J
（3）物体提高后具有的动能。500J
24．北京市昌平一中高三年级第二次模拟如图，倾角为θ的斜面固定。有n个质量都为m的相同的小木块（可视为质点）放置在斜面上。相邻两小木块间距离都为，最下端的木块距底端也是，小木块与斜面间的动摩擦因数都为μ。在开始时刻，第一个小木块从斜面顶端以初速度v0沿斜面下滑，其余所有木块都静止，由于第一个木块的下滑将依次引起一系列的碰撞。设每次碰撞的时间极短，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，直到最后第n个木块到达底端时，速度刚好为零。已知重力加速度为g．求：
（1）第一次碰撞后小木块1的速度大小v；
（2）从第一个小木块开始运动到第一次碰撞后系统损失的机械能；
（3）发生一系列碰撞后，直到最后第n个木块到达底端，在整个过程中，由于碰撞所损失的总机械能总。
答案：(1)
(2)
(3)
25．合肥第六中学2012届高三第二次模拟如图所示，轻弹簧k一端与墙相连，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并压缩弹簧k，求弹簧在被压缩过程中最大的弹性势能及木块速度减为3m/s时弹簧的弹性势能。
答案：50J 32J
26．北京市昌平一中高三年级第二次模拟在竖直平面内有一个粗糙的圆弧轨道，其半径R=0.4m，轨道的最低点距地面高度h=0.8m。一质量m=0.1kg的小滑块从轨道的最高点由静止释放，到达最低点时以一定的水平速度离开轨道，落地点距轨道最低点的水平距离x=0.8m。空气阻力不计，g取10m/s2，求：
（1）小滑块离开轨道时的速度大小；
（2）小滑块运动到轨道最低点时，对轨道的压力大小；
（3）小滑块在轨道上运动的过程中，克服摩擦力所做的功。
答案：(1)2m/s (2)2N (3)0.2J
27．安徽省利辛二中2012届高三模拟质量为m=2kg小球用长为L=2m的轻绳连接在天花板上的O点，如图所示，现将小球拉至图示位置静止释放，图示位置绳与竖直方向夹角θ=60°，由于绳能承受的张力有限，当小球摆到最低点时，绳子恰好被拉断。
最低点距地面高h=1.25m。（空气阻力不计, g=10m/s2）
（1）求小球运动到最低点的速度。
（2）求绳子能承受的最大拉力约为多少？
（3）求小球自静止释放到着地过程中的水平位移。
解析：（1）由动能定理或机械能守恒定律解得v=……（4分）
（2）根据牛顿第二定律，最低点合力提供向心力得F=2mg=40N……（4分）
（3）根据平抛运动规律，x。=vt=X0.5S=……（3分）
X=x。+ Lsinθ=+……（1分）
28. 贵州省开阳三中2012届高三模拟某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.5w工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不记。图中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g=10 m/s2）
解：本题考查平抛、圆周运动和功能关系。
设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律
解得
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律
解得 m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能原理
由此可得 t=2.53s
29．重庆八中2012届高三上学期第一次模拟如图14所示，在同一竖直上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部，斜面高度为H=2L。小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动。离开斜面后，运动到最高点时与静止悬挂在此处的小球B发生碰撞（碰撞过程无动能损失）；碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，O点的投影O＇与P的距离为L/2。已知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）球A在两球碰撞后一瞬间的速度大小；
（2）碰后在球B摆动过程中悬绳中的最大拉力；
（3）弹簧的弹性力对球A所做的功。
解：（1）设碰撞后的一瞬间，球B的速度为vB/，由于球B恰好与悬点O同一高度，根据动能定理：
①
②
球A达到最高点时，只有水平方向速度，与球B发生弹性碰撞.设碰撞前的一瞬间，球A水平方向速度为vx.碰撞后的一瞬间，球A速度为vx/.
球A、B系统碰撞过程中水平方向动量守恒、机械能守恒：
③
④
由②③④解得： ⑤
⑥
故，.碰撞后的一瞬间，球A速度为
（2） 球A在摆动过程中，在最低点绳的拉力最大，由牛顿定律：
T-mg=m V’B V’B//L.
所以 T=
（3）碰后球A作平抛运动.设从抛出到落地时间为t，平抛高度为y，则：
⑦
⑧
由⑤⑦⑧得：y=L
以球A为研究对象，弹簧的弹性力所做的功为W，从静止位置运动到最高点：
⑨
由⑤⑥⑦得：
W=mgL
30. 浙江省温州市十校联合体2012届高三模拟如图所示，一个圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？
解：（1）小球离开C点做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得：
运动时间 （2分）
从C点射出的速度为
（2分）
设小球以v1经过C点受到管子对它的作用力为N，由向心力公式可得
（2分）
，
由牛顿第三定律知，小球对管子作用力大小为，方向竖直向下． （1分）
（2）小球下降的高度最高时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．
设能够落到N点的水平速度为v2，根据平抛运动求得：
（2分）
设小球下降的最大高度为H，根据机械能守恒定律可知，
（2分）
（2分）
A
B
C
θ
t
F
2Fo
Fo
O
to
2to
l
θ
1
2
3
n
n-1
l
l
l
v0机械能守恒
选择题
1.(2012广东肇庆高三一模) 质量为m的物体，从静止开始以的加速度竖直下落h的过程中，下列说法中正确的是（ BD ）
A.物体的机械能守恒 B.物体的机械能减少
C.物体的重力势能减少 D.物体克服阻力做功为
2.(江苏省铁富中学模拟) 如图所示，质量为m的物块从A点由静止开始下落， 速度是g/2，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，在由A运动到C的过程中，空气阻力恒定，则( D )
A．物块机械能守恒
B．物块和弹簧组成的系统机械能守恒
C．物块机械能减少
D．物块和弹簧组成的系统机械能减少
3.(2012年山东潍坊一模) 一个质量为m的小铁块沿半径为R 的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为 （ .D ）
A． mgR B． mgR
C． mgR D． mgR
4.(江苏省启东中学模拟) 如图所示，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过固定于斜面体顶端的小滑轮O，倾角为30°的斜面体置于水平地面上．A的质量为m，B的质量为4m．开始时，用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状态（绳中无拉力），OB绳平行于斜面，此时B静止不动．将A由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中正确的是( ABC )
A．物块B受到的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右
C．小球A的机械能守恒
D．小球A的机械能不守恒，A、B系统的机械能守恒
5. (2012年威海一中模拟) 如图所示，A为一放在竖直轻弹簧上的小球，在竖直向下恒力F的作用下，在弹簧弹性限度内，弹簧被压缩到B点，现突然撒去力F，小球将向上弹起直至速度为零，不计空气阻力，则小球在上升过程中（ D ）
A. 小球向上做匀变速直线运动
B. 当弹簧恢复到原长时，小球速度恰减为零
C. 小球机械能逐渐增大
D. 小球动能先增大后减小
6.(山东淄博模拟) 如图所示，带正电的小球穿在绝缘粗糙倾 角为θ的直杆上，整个空间存在着竖直向上的匀强电场和垂直于杆斜向上的匀强磁场，小球沿杆向下滑动，在a点时动能为100J，到C点时动能为零，则b点恰为a、c的中点，则在此运动过程中 （BD）
A．小球经b点时动能为50J
B．小球电势能增加量可能大于其重力势能减少量
C．小球在ab段克服摩擦力所做的功与在bc段克服摩擦力所做的功相等
D．小球到C点后可能沿杆向上运动
7.(2012年广东省乐从中学模拟) 在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是：（g为当地的重力加速度）（ D ）
A.他的动能减少了Fh B.他的重力势能增加了mgh
C.他的机械能减少了（F－mg）h D.他的机械能减少了Fh
8.(江苏省南阳中学模拟)如图所示，在光滑的水平板的中央有一光滑的小孔，一根不可伸长的轻绳穿过小孔．绳的两端分别拴有一小球C和一质量为m的物体B，在物体B的下端还悬挂有一质量为3m的物体A．使小球C在水平板上以小孔为圆心做匀速圆周运动，稳定时，圆周运动的半径为R．现剪断连接A、B的绳子，稳定后，小球以2R的半径在水平面上做匀速圆周运动，则下列说法正确的（ D ）
A．剪断连接A、B的绳子后，B和C组成的系统机械能增加
B．剪断连接A、B的绳子后，小球C的机械能不变
C．剪断连接A、B的绳子后，物体B对小球做功为3mgR
D．剪断连接A、B的绳子前，小球C的动能为2mgR
9.(山东日照模拟) 如图所示，倾角为30o的斜面体置于水平地面上，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过固定于斜面体顶端的光滑支点O。已知A的质量为m，B的质量为4m 现用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状态(绳中无拉力)，OB绳平行于斜面，此时物块B静止不动。将 A由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中正确的是（ABC ）
A．物块B受到的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右
C．小球A与地球组成的系统机械能守恒
D．小球A、物块B与地球组成的系统机械能不守恒
10.(江苏省江安中学模拟) 如图，一轻弹簧左端固定在长木块M的左端，右端与小木块m连接，且m、M及M与地面间接触光滑。开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2。从两物体开始运动以后的整个运动过程中，对m、M和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度）。正确的说法是 （ D ）
A、由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B、F1、F2 分别对m、M做正功，故系统动量不断增加
C、F1、F2 分别对m、M做正功，故系统机械能不断增加
D、当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M的动能最大
11.(江苏省上冈中学模拟) 如图所示，A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点，其中A、B、O沿同一竖直线，B、C同在以O为圆心的圆周（用虚线表示）上，沿AC方向固定有一光滑绝缘细杆L，在O点固定放置一带负电的小球．现有两个质量和电荷量都相同的带正电的小球a、b，先将小球a穿在细杆上，让其从A点由静止开始沿杆下滑，后使 b从A点由静止开始沿竖直方向下落．各带电小球均可视为点电荷，则下列说法中正确的是（ BC ）
A．从A点到C点，小球a做匀加速运动
B．小球a在C点的动能大于小球b在B点的动能
C．从A点到C点，小球a的机械能先增加后减小，但机械能与电势能之和不变
D．小球a从A点到C点的过程中电场力做的功大于小球b从A点到B点的过程中电场力做的功
12.(2012年广大附中模拟) .如图所示，在光滑的水平板的中央有一光滑的小孔，用不可伸长的轻绳穿过小孔，绳的两端分别挂上小球C和物体B，在B的下端再挂一重物A，现使小球C在水平板上以小孔为圆心做匀速圆周运动，稳定时圆周运动的半径为R，现剪断连接A、B的绳子，稳定后，小球以另一半径在水平面上做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ AD ）
A．小球运动半周，剪断连接A、B的绳子前受到的冲量大些
B．剪断连接A、B的绳子后，B、C的机械能增加
C．剪断连接A、B的绳子后，C的机械能不变
D．剪断连接A、B的绳子后，A、B、C的总机械能不变（A未落地前）
13.(2012山东莱芜四中模拟) 铜质金属环从条形磁铁的正上方由静止开始下落，在下落过程中，下列判断中正确的是（ B ）
A． 金属环在下落过程中的机械能守恒
B． 金属环在下落过程动能的增加量小于其重力势能的减少量
C． 金属环的机械能先减小后增大
D． 磁铁对桌面的压力始终大于其自身的重力
14.(北京宣武区2012届高三上学期期末试题)如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，已知小车的质量为M，小桶与沙子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是 ( B )
①绳拉车的力始终为mg
②当M远远大于m时，才可以认为绳拉车的力为mg
③小车获得的动能为mgh
④小车获得的动能为 Mmgh/（M+m）
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
二、非选择题
15.（2012山东省泰安模拟） 如图所示,位于光滑水平面桌面上的滑 块P和Q都视作质点,质量均为,与轻质弹簧相连,设Q静止,P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞,在整个过程中,弹簧具有的最大弹性势能等于____________.
答案
16.（2012广东省茂名模拟） 如图所示,劲度系数为k的轻弹簧,左端连着绝缘介质小球B，右端连在固定板上，放在光滑绝缘的水平面上。整个装置处在场强大小为E、方向水平向右的匀强电场中。现有一质量为m、带电荷量为+q的小球A，从距B球为S处自由释放，并与B球发生碰撞。碰撞中无机械能损失，且A球的电荷量始终不变。已知B球的质量M=3m，B球被碰后作周期性运动，其运动周期(A、B小球均可视为质点)。
(1)求A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度V1和B球的速度V2；
(2)要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求劲度系数k的可能取值。
答案 ：（1）设A球与B球碰撞前瞬间的速度为v0，
由动能定理得， ①
解得： ②
碰撞过程中动量守恒 ③
机械能无损失，有 ④
解得 负号表示方向向左
方向向右
(2）要使m与M第二次迎面碰撞仍发生在原位置，则必有A球重新回到O处所用的时间t恰好等于B球的
⑥
（n=0 、1 、2 、3 ……） ⑦
由题意得： ⑧
解得： （n=0 、1 、2 、3 ……） ⑨
17.(2012广东省实验中学模拟) 如图所示，矩形盒的质量为，底部长度为，放在水平面上，盒内有一质量为可视为质点的物体，与、与地面的动摩擦因数均为，开始时二者均静止，在的左端。向右的水平初速度，以后物体与盒的左右壁碰撞时，始终向右运动。当与的左壁最后一次碰撞后，立刻停止运动，继续向右滑行（）后也停止运动。
（1）与第一次碰撞前，是否运动？
（2）若第一次与碰后瞬间向左运动的速率为，求此时矩形盒的速度大小
（3）当停止运动时，的速度是多少？
答案 (1) 与第一次碰撞前，A、B之间的压力等于A的重力，即
A对B的摩擦力
而B与地面间的压力等于A、B重力之和，即
地面对B的最大静摩擦力
故与第一次碰撞前，B不运动
（2）设A第一次碰前速度为v，碰后B的速度为v2
则由动能定理有………………
…
碰撞过程中动量守恒……………………
有 ……………
解得…………
（3）当停止运动时， 继续向右滑行（）后停止，设B停止时，的速度为，则由动能定理………………
得……………
解得………………
18.（2012江苏省江浦中学模拟） 光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆型，半径R，固定在竖直平面内。AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上。将AB两环从图示位置静止释放，A环离开底部2R。不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求：
（1）AB两环都未进入半圆型底部前，杆上的作用力。
（2）A环到达最低点时，两球速度大小。
（3）若将杆换成长 ，A环仍从离开底部2R处静止释放，经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度 。
答案 ⑴ 对整体自由落体，加速度为g； 以A为研究对象，A作自由落体则杆对A一定没有作用力。
⑵ AB都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等
整体机械能守恒：
⑶ A再次上升后，位置比原来高h，如图所示。
由动能定理 ，
A离开底部
19. (2012广东省广大附中模拟) 如图所示，质量为M的平板车P高h，质量为m的小物块Q的大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平面地面上。一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球（大小不计）。今将小球拉至悬线与竖直位置成600角，由静止释放，小球到达最低点时与Q的碰撞时间极短，且无能量损失，已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m＝4：1，重力加速度为g。求：
（1）小物块到达最低点与Q碰撞之前瞬间的速度是多大？
（2）小物块Q离开平板车时平板车的速度为多大？
（3）平板车P的长度为多少？
（4）小物块Q落地时距小球的水平距离为多少？
答案： （1）小球由静止摆到最低点的过程中，有：
（2）小球与物块Q相撞时，没有能量损失，动量守恒，机械能守恒，则：
可知二者交换速度：，
Q在平板车上滑行的过程中，有：
则小物块Q离开平板车时平板车的速度为：
（3）由能的转化和守恒定律，知
解得，
20.(2012山东日照模拟) 如图所示，为光电计时器的实验简易示意图。当有不透光物体从光电门问通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间。光滑水平导轨MN上放置两个相同的物块A和B，左端挡板处有一弹射装置P，右端N处与水平传送带平滑连接，今将挡光效果好，宽度为d=3．6×10-3m的两块黑色磁带分别贴在物块A和和B上，且高出物块，并使高出物块部分在通过光电门时挡光。传送带水平部分的长度L=8m，沿逆时针方向以恒定速度v=6m／s匀速转动。物块A、B与传送带间的动摩擦因数p=O．2，且质量为mA=mB=
l kg开始时在A和B之间压缩一轻弹簧，锁定其处于静止状态，现解除锁定，弹开物块A和B，迅速移去轻弹簧，两物块第一次通过光电门，计时器显示读数均为t=9．0×10-4s，重力加速度g取10m／s2，试求：
(1)弹簧储存的弹性势能Ep
(2)物块B沿传送带向右滑动的最远距离sm；
(3)物块B滑回水平面MN的速度大小；
答案：(1)解除锁定，弹开物块AB后，两物体的速度大小VA=vB==4.0m/s
弹簧储存的弹性势能J
(2)物块B滑上传送带做匀减速运动，当速度减为零时，滑动的距离最远。
由动能定理得 得
(3)vB’= = 4m／s
21.(2012广东省教苑中学模拟) 如图所示，滑块在恒定外力F＝2mg的作 用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，求AB段与滑块间的动摩擦因数。
答案 设圆周的半径为R，则在C点：mg＝m①
离开C点，滑块做平抛运动，则2R＝gt2／2 ②
V0t＝sAB③ （3分）
由B到C过程，由机械能守恒定律得：mvC2/2+2mgR＝mvB2/2 ④
由A到B运动过程，由动能定理得： ⑤
由①②③④⑤式联立得到：?
22.（2012江苏省华罗庚中学模拟） 如图所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点A与最低点B各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图像如图，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球的最低点B的速度为20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？
答案（1）设轨道半径为R，由机械能守恒定律；
……………（1）
对B点： ………（2）
对A点： ……（3）
由（1）（2）（3）式得：
两点压力差 ………（4）
由图象得：截距 得 ………（5）
（2）因为图线的斜率 得 ……（6）
在A点不脱离的条件为： ……（7）
由（1）（5）（6）（7）式得： ………（8）
23.（2012江苏省高淳外校模拟） 如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的定点O处有光滑的固定转动轴，AO、BO的长分别为2L和L，开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求
（1）当A达到最低点时，A小球的速度大小v；
（2）B球能上升的最大高度h。（不计直角尺的质量）
答案：直角尺和两个小球组成的系统机械能守恒
（1）由
（2）设B球上升到最高时OA与竖直方向的夹角为θ，则有
则B球上升最大高度h=L（1+sinθ）=32L/25
24.(北京西城区2012年高三上学期期末试题)如图，倾角为θ的斜面固定。有n个质量都为m的相同的小木块（可视为质点）放置在斜面上。相邻两小木块间距离都为，最下端的木块距底端也是，小木块与斜面间的动摩擦因数都为μ。在开始时刻，第一个小木块从斜面顶端以初速度v0沿斜面下滑，其余所有木块都静止，由于第一个木块的下滑将依次引起一系列的碰撞。设每次碰撞的时间极短，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，直到最后第n个木块到达底端时，速度刚好为零。已知重力加速度为g．求：
（1）第一次碰撞后小木块1的速度大小v；
（2）从第一个小木块开始运动到第一次碰撞后系统损失的机械能；
（3）发生一系列碰撞后，直到最后第n个木块到达底端，在整个过程中，由于碰撞所损失的总机械能总。
解：（1）设小木块1碰前的速度为v1，从开始运动到碰前，根据动能定理
（2分）
对小木块1和2，由动量守恒 mv1 = 2mv （1分）
求出 （1分）
（2）碰撞前损失的机械能为 1 = μmgcosθ·l （1分）
因碰撞损失的机械能为 （1分）
求出 （1分）
（3）对n个木块碰撞的全过程
重力做的总功（1分）
克服摩擦做的总功
（1分）
根据功与能的关系 （2分）
由以上各式求出 （1分）
25.(2012山东省淄博模拟) 如图是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置，M是半径为R=1.0m的固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平。N为待检验的固定曲面，该曲面在竖直面内的截面为半径的圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于M轨道的上端点。M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m=0.01kg的小钢珠，假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M的上端点，水平飞出后落到曲面N的某一点上，取g=10m/s2。求：
（1）发射该钢球前，弹簧的弹性势能EP多大？
（2）钢珠从M圆弧轨道最高点飞出至落到圆弧N上所用的时间是多少（结果保留两位有
效数字）？
解：（1）设钢球的轨道M最高点的速度为v，在M的最低端速度为v0，则在最高点，
由题意得 ①
从最低点到最高点，由机械能守恒定律得： ②
由①②得： ③
设弹簧的弹性势能为，由机械能守恒定律得：
=1.5×10－1J ④
（2）钢珠从最高点飞出后，做平抛运动 ⑤
⑥
由几何关系 ⑦
联立⑤、⑥、⑦得t=0.24s
26.（2012江苏省沛县中学模拟） 如图所示，一个圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？
答案：（1）小球离开C点做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得：
运动时间
从C点射出的速度为
设小球以v1经过C点受到管子对它的作用力为N，由向心力公式可得
，
由牛顿第三定律知，小球对管子作用力大小为，方向竖直向下．
（2）根据机械能守恒定律，小球下降的高度越高，在C点小球获得的速度越大．要使小球落到垫子上，小球水平方向的运动位移应为R～4R，由于小球每次平抛运动的时间相同，速度越大，水平方向运动的距离越大，故应使小球运动的最大位移为4R，打到N点．
设能够落到N点的水平速度为v2，根据平抛运动求得：
设小球下降的最大高度为H，根据机械能守恒定律可知，
27.(2012广东省湛师附中模拟) 如图所示，光滑绝缘杆上套有两个完全相同、质量都是m的金属小球a、b，a带电量为q（q＞0），b不带电。M点是ON的中点，且OM=MN=L，整个装置放在与杆平行的匀强电场中。开始时，b静止在杆上MN之间的某点P处，a从杆上O点以速度v0向右运动，到达M点时速度为，再到P点与b球相碰并粘合在一起（碰撞时间极短），运动到N点时速度恰好为零。求：
⑴电场强度E的大小和方向；
⑵a、b两球碰撞中损失的机械能；
⑶a球碰撞b球前的速度v。
答案：⑴a球从O到M
WOM＝
得： 方向向左
⑵设碰撞中损失的机械能为△E，对a、b球从O到N的全过程应用能的转化和守恒定律：
－qE2L－△E＝0－
则碰撞中损失的机械能为 △E＝=
⑶设a与b碰撞前后的速度分别为v、v′，则 ：
mv＝2mv’
又减少的动能△E＝－＝
28.（2012山东省邹城二中模拟） 如图所示，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，它以的初速度由A点开始向B点滑行，AB=5R，并滑上光滑的半径为R的圆弧BC，在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方。若滑块滑过C点后P孔，又恰能从Q孔落下，则平台转动的角速度ω应满足什么条件？
答案：设滑块至B点时速度为vB，对滑块由A点到B点应用动能定理有
……
解得 ………
滑块从B点开始运动后机构能守恒，设滑块到达P处时速度为，则
……
解得 ………
滑块穿过P孔后再回到平台的时间 …………
要想实现题述过程，需满足 …………
（n=0，1，2……） ……
29.(2012广东省潮州市模拟) 如图所示，在光滑的水平面上放着一个质量为M=0.39kg的木块（可视为质点），在木块正上方1m处有一个固定悬点O，在悬点O和木块之间连接一根长度为1m的轻绳（轻绳不可伸长）。有一颗质量为m = 0.01kg的子弹以400m/s的速度水平射入木块并留在其中，随后木块开始绕O点在竖直平面内做圆周运动。g取10m/s2。求：
（1）当木块刚离开水平面时的速度；
（2）当木块到达最高点时轻绳对木块的拉力多大？
答案：（1）设子弹射入木块后共同速度为V，则
mV0= (M + m) V ①
所以 ②
（2）设木块在最高点速度为V1，绳子对木块拉力为F,由机械能守恒得
④
由牛顿定律得
⑤
由④．⑤联立， 解得 F = 20 N ⑥
30.(2012山东省威海一中模拟) 如下图所示，质量为M的长滑块静止在光滑水平地面上，左端固定一劲度系数为且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一不可伸长的细绳连接于竖直墙上，细绳所能承受的最大拉力为，使一质量为、初速度为的小物体，在滑块上无摩擦地向左滑动而后压缩弹簧，弹簧的弹性势能表达式为（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量）。
（1）给出细绳被拉断的条件。
（2）长滑块在细绳拉断后被加速的过程中，所能获得的最大向左的加速度为多大？
（3）小物体最后离开滑块时，相对地面速度恰好为零的条件是什么？
答案 （1）设弹簧压缩量为时绳被拉断：
从初始状态到压缩绳被拉断的过程中，
故细绳被拉断的条件为
（2）设绳被拉断瞬间，小物体的速度为，有
解得
当弹簧压缩至最短时，滑块有向左的最大加速度，
此时，设弹簧压缩量为，小物体和滑块有相同的速度为
从绳被拉断后到弹簧压缩至最短时，小物体和滑块，弹簧系统的动量守恒，机械能守恒：
由牛顿第二定律：
解得
（3）设小物体离开时，滑块M速度为，有：
，解得
由于，故物体最后离开滑块时，相对地面速度恰好为零的条件是
，且满足
A
B
O
30°
A
F
B
A
B
O
C
L机械能守恒
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．(2012年湖南师大附中模拟)如右图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的速度为v，与A点的竖直高度差为h，则( )
A．由A至B重力做功为mgh
B．由A至B重力势能减少mv2
C．由A至B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为
【答案】 AD
2．质量为m的物体，从距地面h高处由静止开始以加速度a＝g竖直下落到地面，在此过程中( )
A．物体的重力势能减少mgh
B．物体的动能增加mgh
C．物体的机械能减少mgh
D．物体的机械能保持不变
【解析】 物体所受合力为F合＝ma＝mg
由动能定理得，动能的增加量ΔEk＝F合·h＝mgh.
【答案】 B
3．如右图所示，具有一定初速度的物块，沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为4 m/s2，方向沿斜面向下，那么，在物块向上运动的过程中，正确的说法是( )
A．物块的机械能一定增加
B．物块的机械能一定减小
C．物块的机械能可能不变
D．物块的机械能可能增加也可能减小
【解析】 机械能变化的原因是非重力、弹力做功，题中除重力外，有拉力F和摩擦力Ff做功，则机械能的变化决定于F与Ff做功大小关系．
由mgsin α＋Ff－F＝ma，知F－Ff＝mgsin 30°－ma＞0，即F＞Ff.故F做正功多于克服摩擦力做功，故机械能增大．
【答案】 A
4．(2012年济宁模拟)如右图所示，固定斜面倾角为θ，整个斜面分为AB、BC两段，AB＝2BC.小物块P(可视为质点)与AB、BC两段斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2.已知P由静止开始从A点释放，恰好能滑动到C点而停下，那么θ、 μ1、 μ2间应满足的关系是( )
A．tan θ＝ B．tan θ＝
C．tan θ＝2μ1－μ2 D．tan θ＝2μ2－μ1
【解析】 由动能定理得mg·AC·sin θ－μ1mgcos θ·AB－μ2mgcos θ·BC＝0，则有tan θ＝，B项正确．
【答案】 B
5．两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2＝1∶2，速度之比v1∶v2＝2∶1，当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为l1，乙车滑行的最大距离为l2，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则( )
A．l1∶l2＝1∶2 B．l1∶l2＝1∶1
C．l1∶l2＝2∶1 D．l1∶l2＝4∶1
【解析】 由动能定理，对两车分别列式
－F1l1＝0－m1v，－F2l2＝0－m2v，
F1＝μm1g，F2＝μm2g.
由以上四式联立得l1∶l2＝4∶1
故选项D是正确的．
【答案】 D
6．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P以后，起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为
B．钢绳的最大拉力为
C．重物的最大速度v2＝
D．重物匀加速运动的加速度为－g
【解析】 由F－mg＝ma和P＝Fv可知，重物匀加速上升过程中钢绳拉力大于重力且不变，达到最大功率P后，随v增加，钢绳拉力F变小，当F＝mg时重物达最大速度v2，故v2＝，最大拉力F＝mg＋ma＝，A错误，B、C正确，由－mg＝ma得：a＝－g，D正确．
【答案】 BCD
7．如下图甲所示，质量为m＝1 kg的物体置于倾角为θ＝37°固定的粗糙斜面上，对物体施以平行于斜面向上的拉力F，t1＝1 s时撤去拉力，物体运动的部分v－t图象如图乙，下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．拉力F的大小为20 N
B．物体运动到最高点的时间为3 s
C．0～1 s内重力的平均功率为100 W
D．t＝4 s时物体的速度大小为10 m/s
【解析】 由乙图可知，物体加速时，a1＝20 m/s2，撤去F后，a2＝10 m/s2，方向沿斜面向下，由牛顿第二定律得：F－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1，mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，得：F＝30 N，物体减速的时间t2＝＝2 s，故B正确，A错误；mg＝mgsin θ·＝ 60 W，C错误；物体至最高点后mgsin θ－μmgcos θ＝ma3，得a3＝2 m/s2，故t＝4 s时物体的速度v＝a3(t－3)＝2 m/s，D错误．
【答案】 B
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
【解析】 受力分析可知，下滑时加速度为g－μgcos θ，上滑时加速度为g＋μgcos θ，所以C正确；设下滑的距离为l，根据能量守恒有μ(m＋M)glcos θ＋μMglcos θ＝mglsin θ，得m＝2M，也可以根据除了重力、弹力做功以外，其他力(非重力、弹力)做的功之和等于系统机械能的变化量，A错误B正确；在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D不正确．
【答案】 BC
9．带电荷量为＋q、质量为m的滑块，沿固定的斜面匀速下滑，现加上一竖直向上的匀强电场(如右图)，电场强度为E，且qEA．滑块将沿斜面减速下滑
B．滑块仍沿斜面匀速下滑
C．加电场后，重力势能和电势能之和不变
D．加电场后，重力势能和电势能之和减小
【解析】 没加电场时，滑块匀速下滑，有：mgsin θ＝μmgcos θ，加上电场后，因(mg－Eq)sin θ＝μ(mg－Eq)cos θ，故滑块仍匀速，B正确，加电场后，因重力做正功比电场力做负功多，所以重力势能减少得多，电势能增加得少，重力势能和电势能之和减小，C错误，D正确．
【答案】 BD
10．(2009年高考上海单科)小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的两倍，在下落至离地高度h处，小球的势能是动能的两倍，则h等于( )
A．H/9 B．2H/9
C．3H/9 D．4H/9
【解析】 小球上升至最高点过程，由动能定理：
－mgH－FfH＝0－mv
小球上升至离地高度h处过程，由动能定理：
－mgh－Ffh＝mv－mv
又mv＝2mgh
小球上升至最高点后又下降至离地高度h处过程，由动能定理：
－mgh－Ff(2H－h)＝mv－mv
又mv＝mgh
以上各式联立解得h＝H，答案D正确．
【答案】 D
二、实验题(本大题共2个小题，共10分)
11．(5分)为了探究恒力作用时的动能定理，某同学做了如下实验，他让滑块在某一水平面上滑行，利用速度采集器获取其初速度v，并测量出不同初速度的最大滑行距离x，得到下表所示几组数据：
数据组 1 2 3 4 5 6
v/(m·s－1) 0 0.16 0.19 0.24 0.30 0.49
x/m 0 0.045 0.075 0.111 0.163 0.442
(1)一同学根据表中数据，作出x－v图象如下图甲所示．观察该图象，该同学作出如下推理：根据x－v图象大致是一条抛物线，可以猜想x可能与v2成正比．请在图乙所示坐标纸上选择适当的坐标轴作出图线验证该同学的猜想．
(2)根据你所作的图象，你认为滑块滑行的最大距离x与滑块初速度平方v2的关系是________________________．
【解析】 (1)做出x－v2图线如右图所示
(2)由图可以看出，滑块滑行的最大距离x与滑块初速度平方v2成正比．
即x∝v2
【答案】 (1)见解析图 (2)x∝v2
12．(5分)在利用打点计时器等器材验证自由下落物体的机械能是否守恒时，打点计时器的电源频率是50 Hz，某同学先后打出两条纸带，纸带Ⅰ上第1、2两点，第2、3两点，第3、4两点，第4、5两点间的距离依次为1.9 mm、6.0 mm、10.0 mm、14.0 mm，纸带Ⅱ上第1、2两点，第2、3两点，第3、4两点，第4、5两点间的距离依次为2.5 mm、6.0 mm、10.0 mm、14.0 mm.那么应该选用纸带________进行测量和计算．根据你所选用的纸带，利用第2、3两点间的距离和第4、5两点间的距离，可以计算出当地的重力加速度的大小为________．在打第3点的瞬时，重物的速度为________m/s.为了验证机械能守恒定律，应该计算出打第2、3、4点时物体减少的________和增加的________．然后比较它们的数值在误差允许范围内是否近似相等．
【解析】 自由下落物体在0.02 s内位移
x＝gt2＝0.002 m＝2 mm.故选纸带Ⅰ.
第2、3两点中间时刻的速度
v＝ m/s＝0.3 m/s，
第4、5两点中间时刻的速度
v′＝ m/s＝0.7 m/s，
所以g＝＝ m/s2＝10 m/s2，
或者x45－x23＝2gT2，
所以g＝＝ m/s2＝10 m/s2.
v3＝＝ m/s＝0.4 m/s.
【答案】 Ⅰ 10 m/s2 0.4 重力势能 动能
三、计算题(本大题共4个小题，共40分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13．(8分)如右图所示，质量为M的小球被一根长为L的可绕O轴自由转动的轻质杆固定在其端点，同时又通过绳跨过光滑定滑轮与质量为m的小球相连．若将质量为M的球由杆呈水平状态开始释放，不计摩擦，竖直绳足够长，则当杆转动到竖直位置时，质量为m的球的速度是多大？
【解析】 杆转到竖直位置时，质量为M的球下落距离L，绳与竖直方向成45°角，质量为m的球上升的高度h＝L
设此时质量为M的球、质量为m的球的速度分别为vM、vm，有vM＝vm
在整个运动过程中，由机械能守恒有
MgL－mgL＝Mv＋mv
由以上式子得出质量为m的球的速度
vm＝.
【答案】
14．(10分)如右图所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好到最低点B位置时线被拉断．设摆线长为L＝1.6 m，B点与地面的竖直高度为6.6 m，不计空气阻力，求摆球着地时的速度大小．(g取10 m/s2)
【解析】 摆球从A摆到B的过程中，只有重力对其做功，机械能守恒．
设摆球摆到B点时的速度为v，取B点所在水平面为零势能参考平面，由机械能守恒定律得
mgL(1－cos 60°)＝mv2
解方程得摆球速度v＝＝ m/s＝4 m/s
摆球在B点断线后，以v＝4 m/s的速度做抛体运动，摆球在空中运动的过程中只有重力做功，机械能仍守恒，摆球在B点的机械能是
E1＝Ep1＋Ek1＝0＋mv2＝mv2，
落地时摆球的机械能是
E2＝Ep2＋Ek2＝－mgh＋mv′2，
由机械能守恒定律得：
－mgh＋mv′2＝mv2，
则摆球着地时速度的大小为：
v′＝＝ m/s
＝12.2 m/s.
【答案】 12.2 m/s
15．(10分)如右图所示，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，它以v0＝3的初速度由A点开始向B点滑行，AB＝5R，并滑上光滑的半径为R的圆弧BC，在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方．若滑块滑过C点后从P孔上升又恰能从Q孔落下，则平台转动的角速度ω应满足什么条件？
【解析】 设滑块滑至B点时速度为vB，对滑块由A点到B点应用动能定理有－μmg5R＝mv－mv
解得v＝8gR
16．(12分)(2009年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如下图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1 kg，通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直轨道前受到的阻力恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不记．图中L＝10.00 m，R＝0.32 m，h＝1.25 m，x＝1.50 m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g＝10 m/s2)
【解析】 设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律
x＝v1t
h＝gt2
解得：v1＝x＝3 m/s
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律得
mg＝m
mv＝mv＋mg(2R)
解得v3＝＝4 m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
vmin＝4 m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能关系
Pt－FfL＝mv
由此可得t＝2.53 s.
【答案】 2.53 s机械能守恒
机械能守恒定律是力学中的一条重要规律，下面从几个方面来阐述并应用机械能守恒定律，供大家参考。
一、正确选取研究对象
机械能守恒定律的研究对象必须是一个系统。这是因为势能是系统的概念，只有系统才具有势能，中学阶段这个系统通常有三种组成形式：由物体和地球组成；由物体和弹簧组成；由物体、弹簧和地球组成。
例1 如图1所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中（ ）
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
解析 A球在B球下摆过程中，重力势能增加，动能增加，机械能增加，所以A球和地球组成的系统机械能不守恒。由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒。因为A球、B球和地球组成的系统机械能守恒，而A球机械能增加，所以B球机械能一定减少。所以选项B、C正确。
二、正确理解机械能守恒的条件
严格地讲，物体系内“只有重力或弹簧的弹力做功”是机械能守恒的条件。但由于做功的过程最终实现能量的转化，所以在实际应用时可从能量转化的角度去理解，即只有物体的动能、系统的重力势能和弹簧的弹性势能之间发生相互转化，则系统机械能总量保持不变。
例2 如图2所示，A球用线悬挂且通过弹簧与B球相连，两球质量相等。当两球都静止时，将悬线烧断，下列说法正确的是：（ ）
A. 线断瞬间，A球的加速度大于B球的加速度；
B. 线段后最初一段时间里，重力势能转化为动能和弹性势能；
C. 在下落过程中，两小球和弹簧组成的系统机械能守恒；
D. 线断后最初一段时间里，动能的增量大于重力势能的减少。
解析 悬线烧断前弹簧处于伸长状态，弹簧对A球的作用力向下，对B球的作用力向上。当悬线烧断瞬间，弹簧的伸长来不及改变，对A球作用力仍然向下，故A球的加速度大于B球的加速度，即选项A正确。在下落过程中，只有重力和弹力做功，故两小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即选项C正确。悬线烧断后最初的一段时间里，弹簧缩短到原长以前，重力势能和弹性势能均减少，系统的动能增大，即选项D正确。 所以本题的正确答案为A、C、D。
对绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
例3 如图3所示，质量为m的小球用长为l的细线悬于固定点O。现将小球沿圆周拉到偏离水平方向θ=30°的B点由静止释放。试求它运动到最低处A点时对细线的拉力。
解析 如图4可知，在BC段机械能守恒：
vC方向竖直向下。当绳子被拉直时，的法向分量减为0；小球以切向分量开始做匀变速圆周运动。这一过程机械能守恒：
在最低点根据牛顿第二定律，有
从而求出绳子的拉力。
由本题可知，若有机械能损失的过程，在应用机械能守恒定律时都应该分段处理。
三、正确理解机械能守恒的相对性
机械能守恒的相对性是指动能的大小与参考系的选择有关、势能的大小与参考面（零势能）的选取有关，因此同一系统相对于不同的参考系和零势能描述的结果不相同。
例4 一根粗细均匀的软绳长为L，放在光滑水平桌面边上，有全长的1/4沿桌边下垂（如图5所示）。如软绳从静止开始运动，求当它全部滑离桌边的瞬间获得的速度有多大？（桌子的高度大于绳长L）
解析 取软绳和地球为一系统，设绳的总质量为M。软绳在顺桌边无摩擦下滑过程中，只有重力对绳做功，因此系统机械能守恒。以水平桌面为参考面，当软绳全部滑离桌边瞬间，设其速度为v，重心在水平桌面下方1/2L处。根据机械能守恒定律：
得：
四、运用机械能守恒定律解决综合问题
例5 如图6所示，作平抛运动的小球的初动能为6J，不计一切阻力，它落在斜面上P点时的动能为：（ ）
A. 12J B. 10J C. 14J D. 8J
解析：把小球的位移分解成水平位移s和竖直方向的位移h。
即
所以，
根据机械能守恒定律得
所以
。
所以正确答案为C。
研究平抛运动与斜面的几何关系，常是解这类问题的切入点；运用机械能守恒定律则是解这类能量问题的一种重要思路。
例6 如图7所示，在光滑水平面上放置一质量为m的小车，小车上有一半径为R的1/4光滑的弧形轨道，设有一质量为m的小球，以v0的速度，方向水平向左沿圆弧轨道向上滑动，达到某一高度h后，又沿轨道下滑，试求h的大小及小球刚离开轨道时的速度。
解析 小球从进入轨道到h高度时为过程的第一阶段，在这一过程中，小球有一部分动能转化为重力势能，但系统机械能守恒；系统在水平方向不受外力，所以水平方向动量守恒，设当小球上升到h高度时球和车的速度为v，则有：
解得：
小球从进入到离开，整个过程类似弹性碰撞模型，又由于小球和车的质量相等，由弹性碰撞规律可知，两物体在分离时速度交换，故小球离开轨道时速度为零。
图1
